FICHE 3 Définition Grand Commun Diviseur) de a et de b et se note

FICHE 3
PGCD
Dénition
Soient a et b deux entiers naturels non nuls. L'ensemble des diviseurs communs
positifs de a et b n'est pas vide, puisqu'il contient au moins l'entier 1.
Le plus grand diviseur (positif) commun de a et b s'appelle le P GCD (Plus
Grand Commun Diviseur) de a et de b et se note P GCD(a ; b).
Exemple Les diviseurs positifs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Les diviseurs positifs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Le plus grand des diviseurs communs de 24 et 36 est 12.
Algorithme d'Euclide
Un algorithme est une méthode précisément décrite qui permet de mener à bien et
avec certitude une tâche donnée, par exemple un calcul.
L'algorithme d'Euclide permet de calculer le P GCD de deux entiers naturels.
Il repose sur les deux principes suivants :
Principe 1 Si a = bq + r, P GCD(a ; b) = P GCD(b ; r).
Démonstration Soit d un diviseur commun de a et de b : d'après une propriété
citée dans la che 1, d est aussi un diviseur de a − bq = r. d est donc un diviseur
commun de b et de r. Réciproquement, si d est un diviseur commun de b et de r,
alors d divise également a = bq + r : c'est donc un diviseur commun de a et de b.
Les diviseurs communs de a et de b sont donc les mêmes entiers que les diviseurs
communs de b et de r, d'où l'égalité : P GCD(a ; b) = P GCD(b ; r).
Principe 2 Si b divise a, P GCD(a ; b) = b.
Démonstration
Si b divise a, b est un diviseur commun de a et de b. P GCD(a ; b) = b, car aucun
nombre plus grand que b ne peut diviser b. On peut remarquer que la réciproque est
exacte, c'est-à-dire que P GCD(a ; b) = b entraîne que b divise a.
L'algorithme d'Euclide consiste alors à eectuer la division euclidienne de a par b :
on obtient un reste r1 . On divise ensuite b par r1 : on obtient un reste r2 .
On continue . . .
On a donc :
a = bq1 + r1
0 ≤ r1 < b
b = r1 q2 + r2 0 ≤ r2 < r1
r1 = r2 q3 + r3 0 ≤ r3 < r2
...
La suite des entiers naturels b, r1 , r2 , r3 , . . . ne pouvant décroître indéniment, on
va nir par obtenir un reste nul rn+1 = 0.
Les calculs se termineront donc par :
...
rn−2 = rn−1 qn + rn 0 ≤ rn < rn−1
rn−1 = rn qn+1 .
FICHE 3
1
PGCD
On peut ensuite écrire, d'après le principe 1 :
P GCD(a ; b) = P GCD(b ; r1 ) = P GCD(r1 ; r2 ) = . . . = P GCD(rn−1 ; rn )
et d'après le principe 2 : P GCD(rn−1 ; rn ) = rn .
Le P GCD de a et de b est donc rn c'est-à-dire le dernier reste non nul obtenu.
Plus précisément on a même montré que les diviseurs (positifs) communs de a et b
sont les diviseurs de rn , c'est-à-dire de leur P GCD.
Exemple
Recherche du P GCD de 138 807 et 52 089
a = bq1 + r1
s'écrit ici : 138 807 = 52 089 × 2 + 34 629
b = r1 q2 + r2
: 52 089 = 34 629 × 1 + 17 460
r1 = r2 q3 + r3
: 34 629 = 17 460 × 1 + 17 169
r2 = r3 q4 + r4
: 17 460 = 17 169 × 1 + 291
r3 = r4 q5
: 17 169 = 291 × 59
Le P GCD est le dernier reste non nul, c'est-à-dire : r4 = 291.
On écrit P GCD(138 807 ; 52 089) = 291.
On peut présenter les calculs dans un tableau :
étapes
1
2
3
4
5
a
138 807
52 089
34 629
17 460
17 169
b
52 089
34 629
17 460
17 169
291
restes
34 629
17 460
17 169
291
0
Théorème
L'ensemble des diviseurs communs entre deux entiers naturels non nuls a et b
est l'ensemble des diviseurs de leur P GCD.
Plus symboliquement, quel que soit l'entier c : c | a et c | b si et seulement si
c | P GCD(a ; b).
La démonstration de ce théorème est contenue dans la justication de l'algorithme
d'Euclide.
Exemples Les diviseurs communs entre 24 et 36 sont les diviseurs de 12.
Les diviseurs communs entre 138 807 et 52 089 sont les diviseurs de 291.
Remarque On peut étendre la dénition du P GCD à tous les entiers relatifs non
nuls en posant : P GCD(a ; b) = P GCD(| a | ; | b |).
Propriétés
Soit a, b et k trois entiers non nuls.
P GCD(a ; b) = P GCD(b ; a)
P GCD(ka ; kb) = | k | × P GCD(a ; b) µ
¶
a b
P GCD(a ; b)
;
Si a et b sont divisibles par k : P GCD
=
k k
|k|
Principe de la démonstration
La première propriété est évidente.
FICHE 3
2
PGCD
La deuxième propriété vient du fait que, dans l'algorithme d'Euclide, si l'on multiplie
a et b par k (> 0), tous les restes sont multipliés par k et en particulier le dernier
reste non nul qui est le P GCD.
a
a
La troisième propriété se déduit de la deuxième en remplaçant a par et b par .
k
k
Dénition
Deux entiers non nuls sont dits premiers entre eux lorsque leur P GCD est
égal à 1.
Il revient au même de dire qu'ils n'ont pas d'autre diviseur positif commun
que 1.
a
b
Si a et b sont deux entiers non nuls, et d = P GCD(a ; b), alors = a0 et = b0 sont
d
d
P GCD(a ; b)
a b
= 1.
deux entiers premiers entre eux puisque P GCD( ; ) =
d d
d
En d'autres termes, si a et b sont deux entiers non nuls, on peut toujours écrire :

 a = a0 d
b = b0 d
avec d = P GCD(a ; b).

P GCD(a0 ; b0 ) = 1
Dénition Lorsque a et b (b 6= 0) sont premiers entre eux, on dit que la
a
fraction est irréductible.
b
D'après ce qui précède, toute fraction
¨
§Ex
a
a0
est égale à une fraction irréductible 0 .
b
b
¥
3.1 ¦
En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer le P GCD de :
1. 604 800 et 476 280 ;
2. 1 309 770 et 571 725 ;
3. 154 791 et 105 105 ;
4. 220 248 et 195 624.
¨
§Ex
¥
3.2 ¦
Si on divise 4 294 et 3 521 par un même entier positif, on obtient respectivement 10
et 11 comme restes. Quel est ce nombre ?
¨
§Ex
¥
3.3 ¦
Trouver les diviseurs positifs communs à a et à b :
1. a = 300 et b = 350
2. a = 168 et b = 2 160
3. a = 308 et b = 364.
¨
§Ex
¥
3.4 ¦
a = 630 ; P GCD(a ; b) = 105 ; 600 < b < 1 100. Trouver b.
FICHE 3
3
PGCD
¨
§Ex
¥
3.5 ¦
Expliquer, sans nécessairement calculer les P GCD, pourquoi tous les résultats suivants sont visiblement faux :
1. PGCD(1602 ; 1846)=3
2. PGCD(1714 ; 3026)=1
3. PGCD(15 ; 23)=7
4. PGCD(132 ; 63)=63
5. PGCD(2121 ; 111)=140
6. PGCD(121 ; 128)=8
¨
§Ex
¥
3.6 ¦
Trouver les nombres entiers naturels non nuls a et b de P GCD égal à 8 et tels que
a + b = 144.
¨
§Ex
¥
3.7 ¦
n est un entier naturel non nul ; a = 2n2 et b = n (2n + 1).
Justier que 2n et 2n + 1 sont premiers entre eux. En déduire le P GCD de a et b.
¨
§Ex
¥
3.8 ¦
a et b sont des entiers naturels. Trouver a et b sachant que ab = 1 734 et que le
P GCD de a et b est 17.
FICHE 3
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PGCD