1.4 diviseurs communs
Liste des diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
Liste des diviseurs de 27 : 1, 3, 9, 27.
42 et 27 ont pour diviseurs communs 1 et 3.
3 est le plus grand diviseur commun de 42 et 27, on écrit : PGCD(42 ;27)=3.
Liste des diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Liste des diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
donc P GCD(24; 36) = 12.
Lorsque le PGCD de deux entiers est 1, on dit que ces deux entiers sont premiers entre eux.
Exemple :
Liste des diviseurs de 23 : 1, 23.
Liste des diviseurs de 6 : 1, 2, 3, 6.
donc P GCD(23; 6) = 1 : 23 et 6 sont premiers entre eux.
2 Recherche du PGCD
2.1 lister les diviseurs
Voir ci-dessus.
2.2 algorithme d’Euclide
On veut calculer le PGCD de 360 et 252.
a b reste
360 252 108 360 = 1 ×252 + 108
252 108 36 252 = 2 ×108 + 36
108 36 0108 = 3 ×36
Le dernier reste non nul est 36, c’est le PGCD de 360 et 252.
3 Applications
3.1 Fractions irréductibles
Une fraction est dite irréductible lorsqu’elle est simplifiée « le plus possible ».
Propriété :
Une fraction est irréductible lorsque numérateur et dénominateur sont premiers entre eux.
Exemple :
27 et 14 sont premiers entre eux, donc 27
14 et 14
27 sont des fractions irréductibles.
Pour rendre une fraction irréductible, on peut diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.
Exemple :
Rendre irréductible la fraction 2585
715 .
On calcule le PGCD de 2585 et 715 par l’algorithme d’Euclide :
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