I Exercices

Chapitre 3 – Dérivée I EXERCICES – page I-1
I Exercices
Comment déterminer le coefficient directeur d’une
droite (AB)?
Exemple : A(2,; 2) ; B(4 ; 3) (l’unité du repère est un carreau)
•Graphiquement : on compte les carreaux comme c’est in-
diqué sur le graphique ci-contre, puis on calcule : 1
2= 0,5
Le coefficient directeur de la droite (AB) est 0,5 .
•Par un calcul : yB−yA
xB−xA
=3−2
4−2=1 2= 0,5
A
B
+2
+1
1
Pour chaque figure ci-dessous, déterminer le coefficient directeur de la droite (AB), graphiquement
et par le calcul. L’unité du repère est chaque fois un carreau.
Fig. 1
A
B
Fig. 2
A
B
Fig. 3
A
B
2
Pour chaque figure ci-dessous, déterminer le coefficient directeur de la droite (AB), graphiquement
et par le calcul. L’unité du repère est chaque fois un carreau.
Fig. 1
A
B
+1
+5
Fig. 2
A
B
Fig. 3
AB
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Chapitre 3 – Dérivée I EXERCICES – page I-2
3
Dans chaque repère ci-dessous, tracer la droite qui passe par le point Ade coefficient directeur m.
Les unités sont chaque fois celles du quadrillage.
1. A(−1 ; 3) ; m=−22. A(0 ; −1) ; m=3
43. A(−4 ; −2) ; m=3 2
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Chapitre 3 – Dérivée I EXERCICES – page I-3
Rappel
L’équation réduite d’une droite s’écrit y=mx +p.
mest son coefficient directeur, pest l’ordonnée à l’origine.
Comment déterminer l’équation réduite d’une droite (AB)?
Exemple : équation réduite de la droite (AB) pour les points A(2 ; 1) B(3 ; 4) (figure plus bas).
Graphiquement
On détermine le coefficient directeur comme c’est indiqué sur la figure, donc l’équation réduite
de la droite (AB) est y= 3x−5
Par des calculs
•L’équation réduite de la droite (AB), est sous la forme y=mx +p
•Calcul du coefficient directeur m:m=yB−yA
xB−xA
=4−1
3−2=3 1= 3
•L’équation réduite de la droite (AB) est donc : y= 3x+p
•Calcul de l’ordonnée à l’origine p: on remplace xet ypar les coordonnées de A(2 ; 1) dans
l’équation y= 3x+b
y= 3x+p
1 = 3 ×2 + b
3×2 + b= 1
6 + b= 1
b= 1 −6 = −5
•Donc l’équation réduite de la droite (AB) est : y= 3x+ (−5) soit y= 3x−5
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1234−1−2
O I
J
+
+A
B
+ 1
+ 3
coefficient directeur
m=3
1= 3
ordonnée à l’origine
p=−5
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Chapitre 3 – Dérivée I EXERCICES – page I-4
4
Dans chaque repère, déterminer l’équation réduite de la droite, graphiquement, et par le calcul. Les
unités sont chaque fois celles du quadrillage.
A
B
5
La fonction fest représentée par la courbe Cftracée dans le repère ci-dessous.
1. Répondre à ces questions par lecture graphique
a) Quelles sont les images de 4, et de 8 :
f(4)= ................ f(8)= ................
b) Quel est le minimum de fet en quelle valeur de x
est-il atteint ? minimum = . . . . . . . . x= ........
2. La fonction fest définie par f(x) = x2−10x+ 19
Calculer les images de 4, de 5 et de 8 en détaillant :
f(4)= ..............................................
f(5)= ..............................................
f(8)= ..............................................
3. Calculer la dérivée de la fonction f(voir rappel plus
bas). f′(x)= .......................................
4. Sur la courbe Cf, placer le point A d’abscisse 4, le
point B d’abscisse 5, le point C d’abscisse 8.
5. Calculer f′(4), f′(5), f′(8) : f′(4)= .................
f′(5)= .............................................
f′(8)= .............................................
6. a) Tracer la tangente à la courbe Cfen A, c’est à
dire la droite qui passe par A, de coefficient direc-
teur f′(4).
b) Tracer les tangentes à la courbe Cfen B et en C.
2
4
6
8
10
−2
−4
−6
2 4 6 8
Rappels
•Une fonction définie sous la forme f(x) = ax2+bx +cest une fonction du second degré.
Une fonction du second degré est dérivable et sa fonction dérivée est définie par f′(x) = 2ax+b.
•Si un point A est sur une courbe Cfqui représente une fonction dérivable f,
la tangente à la courbe Cfen A est la droite qui passe par A, de coefficient directeur f′(xA).
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Chapitre 3 – Dérivée I EXERCICES – page I-5
Comment calculer l’équation réduite d’une tangente ?
Par exemple, dans l’exercice 5 calculons l’équation réduite de la droite (dA) tangente à la courbe Cf
en A.
•L’équation réduite de cette tangente est sous la forme y=mx +p
•Son coefficient directeur est : m=f′(4) = −2 donc l’équation réduite de la droite (dA) est :
y=−2x+p
•Calcul de l’ordonnée à l’origine p: on remplace xet ypar les coordonnées de A(4 ; −5) dans
l’équation y=−2x+b y =−2x+p
−5 = −2×4 + p
−2×4 + p=−5
−8 + p=−5
p=−5 + 8 = 3
•Donc l’équation réduite de la tangente à la courbe Cfen A est : y=−2x+ 3
6
Dans l’exercice 5 calculer les équations réduites de la droite (dB) et (dC), tangentes à la courbe Cf
en B et en C. Lire les explications ci-dessus.
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
7
La fonction fest représentée par la courbe Cftracée
dans le repère ci-contre.
5
10
−5
1 2 3 4−1−2
1. Avec la précision permise par le graphique, indiquer approximativement le maximum de fet
la valeur de xoù il est atteint. maximum ≈..................... x≈.....................
2. La fonction fest définie par f(x) = −2x2+ 7x+ 4 sur l’intervalle [−2 ; 5]
Calculer sa dérivée : f′(x)= ..............................................................
3. Dresser le tableau de signe de la dérivée. Voir le rappel ci-dessous.
x
Signe de f′(x)
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