I Exercices
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I EXERCICES – page I-1 Chapitre 3 – Dérivée I Exercices Comment déterminer droite (AB) ? le coefficient directeur d’une B A Exemple : A (2, ; 2) ; B (4 ; 3) (l’unité du repère est un carreau) b +1 b +2 • Graphiquement : on compte les carreaux comme c’est in1 diqué sur le graphique ci-contre, puis on calcule : = 0, 5 2 Le coefficient directeur de la droite (AB) est 0,5 . 3−2 1 yB − yA = = = 0, 5 • Par un calcul : xB − xA 4−2 2 1 Pour chaque figure ci-dessous, déterminer le coefficient directeur de la droite (AB), graphiquement et par le calcul. L’unité du repère est chaque fois un carreau. Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 B B b b A A b b A b B b 2 Pour chaque figure ci-dessous, déterminer le coefficient directeur de la droite (AB), graphiquement et par le calcul. L’unité du repère est chaque fois un carreau. Fig. 1 B Fig. 2 Fig. 3 b +5 A b A b b +1 B A Term. STMG – Mathématiques TDM B b b http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-2 Chapitre 3 – Dérivée 3 Dans chaque repère ci-dessous, tracer la droite qui passe par le point A de coefficient directeur m. Les unités sont chaque fois celles du quadrillage. 1. A (−1 ; 3) ; m = −2 Term. STMG – Mathématiques 2. A (0 ; −1) ; m = TDM 3 4 3. A (−4 ; −2) ; m = 3 2 http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-3 Chapitre 3 – Dérivée Rappel L’équation réduite d’une droite s’écrit y = mx + p. m est son coefficient directeur, p est l’ordonnée à l’origine. Comment déterminer l’équation réduite d’une droite (AB) ? Exemple : équation réduite de la droite (AB) pour les points A(2 ; 1) B(3 ; 4) (figure plus bas). Graphiquement On détermine le coefficient directeur comme c’est indiqué sur la figure, donc l’équation réduite de la droite (AB) est y = 3x − 5 Par des calculs • L’équation réduite de la droite (AB), est sous la forme y = mx + p yB − yA 4−1 3 • Calcul du coefficient directeur m : m = = = =3 xB − xA 3−2 1 • L’équation réduite de la droite (AB) est donc : y = 3x + p • Calcul de l’ordonnée à l’origine p : on remplace x et y par les coordonnées de A(2 ; 1) dans l’équation y = 3x + b y = 3x + p 1=3×2+b 3×2+b=1 6+b=1 b = 1 − 6 = −5 • Donc l’équation réduite de la droite (AB) est : y = 3x + (−5) soit y = 3x − 5 B 4 3 coefficient directeur 3 +3 m= =3 1 2 1 −1 −1 A +J O −2 b b +1 I + 1 2 3 4 −2 −3 −4 −5 ordonnée à l’origine p = −5 −6 Term. STMG – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-4 Chapitre 3 – Dérivée 4 Dans chaque repère, déterminer l’équation réduite de la droite, graphiquement, et par le calcul. Les unités sont chaque fois celles du quadrillage. B b b b b A b b 5 La fonction f est représentée par la courbe Cf tracée dans le repère ci-dessous. 1. Répondre à ces questions par lecture graphique a) Quelles sont les images de 4, et de 8 : f (4) = . . . . . . . . . . . . . . . . 10 f (8) = . . . . . . . . . . . . . . . . b) Quel est le minimum de f et en quelle valeur de x est-il atteint ? minimum = . . . . . . . . x = . . . . . . . . 2. La fonction f est définie par f (x) = x2 − 10x + 19 Calculer les images de 4, de 5 et de 8 en détaillant : 8 6 4 f (4) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 f (5) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (8) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Calculer la dérivée de la fonction f (voir rappel plus bas). f (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ′ 4. Sur la courbe Cf , placer le point A d’abscisse 4, le point B d’abscisse 5, le point C d’abscisse 8. 5. Calculer f ′ (4), f ′ (5), f ′ (8) : f ′ (4) = . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 6 8 −2 −4 −6 f ′ (5) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f ′ (8) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. a) Tracer la tangente à la courbe Cf en A, c’est à dire la droite qui passe par A, de coefficient directeur f ′ (4). b) Tracer les tangentes à la courbe Cf en B et en C. Rappels • Une fonction définie sous la forme f (x) = ax2 + bx + c est une fonction du second degré. Une fonction du second degré est dérivable et sa fonction dérivée est définie par f ′ (x) = 2ax+b. • Si un point A est sur une courbe Cf qui représente une fonction dérivable f , la tangente à la courbe Cf en A est la droite qui passe par A, de coefficient directeur f ′ (xA ). Term. STMG – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-5 Chapitre 3 – Dérivée Comment calculer l’équation réduite d’une tangente ? Par exemple, dans l’exercice 5 calculons l’équation réduite de la droite (dA ) tangente à la courbe Cf en A. • L’équation réduite de cette tangente est sous la forme y = mx + p • Son coefficient directeur est : m = f ′ (4) = −2 donc l’équation réduite de la droite (dA ) est : y = −2x + p • Calcul de l’ordonnée à l’origine p : on remplace x et y par les coordonnées de A(4 ; −5) dans l’équation y = −2x + b y = −2x + p −5 = −2 × 4 + p −2 × 4 + p = −5 −8 + p = −5 p = −5 + 8 = 3 • Donc l’équation réduite de la tangente à la courbe Cf en A est : y = −2x + 3 6 Dans l’exercice 5 calculer les équations réduites de la droite (dB ) et (dC ), tangentes à la courbe Cf en B et en C. Lire les explications ci-dessus. ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ 7 La fonction f est représentée par la courbe Cf tracée dans le repère ci-contre. 10 5 −2 −1 −5 1 2 3 4 1. Avec la précision permise par le graphique, indiquer approximativement le maximum de f et la valeur de x où il est atteint. maximum ≈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x ≈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. La fonction f est définie par f (x) = −2x2 + 7x + 4 sur l’intervalle [−2 ; 5] Calculer sa dérivée : f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Dresser le tableau de signe de la dérivée. Voir le rappel ci-dessous. x Signe de f ′ (x) Term. STMG – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-6 Chapitre 3 – Dérivée 4. Dresser le tableau de variation de la fonction f . x Variations de f 5. Quel est le maximum de f et en quelle valeur de x est-il atteint ? Donner les valeurs exactes. maximum = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rappel Le signe de ax + b selon les valeurs de x est donné par le tableau ci-dessous. x Signe de ax + b −∞ − Signe de − a b a +∞ Signe de a 0 8 Dans l’exercice 7 1. Placer sur la courbe Cf le point A d’abscisse 3. 2. Calculer f (3) et f ′ (3) : f (3) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f ′ (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Calculer l’équation réduite de la tangente à la courbe Cf en A. ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ ................................................ Term. STMG – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-7 Chapitre 3 – Dérivée Dérivée d’une fonction définie sous la forme f (x) = xn On sait que si une fonction est définie sous la forme f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, alors sa dérivée est définie par f ′ (x) = 3ax2 + 2bx + c La fonction cube est définie par f (x) = x3 , c’est à dire f (x) = 1x3 + 0x2 + 0x + 0 donc f ′ (x) = 3 × 1x2 + 2 × 0x + 0 donc f ′ (x) = 3x2 Pour la fonction définie par f (x) = x3 , sa dérivée est définie par f ′ (x) = 3x2 On admettra que Pour la fonction définie par f (x) = xn , sa dérivée est définie par f ′ (x) = nxn−1 Dérivée d’une fonction constante : f (x) = k Pour la fonction définie par f (x) = k (constante), sa dérivée est définie par f ′ (x) = 0 Dérivée de la fonction définie par f (x) = Pour la fonction définie par f (x) = 1 x 1 1 , sa dérivée est définie par f ′ (x) = − 2 x x 9 Calculer chaque fois la fonction dérivée. 1. f (x) = x4 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. f (x) = x7 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. f (x) = x2 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. f (x) = x ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. f (x) = 6 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. f (x) = −2 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dérivée d’une somme Par exemple ont veut dériver la fonction définie par f (x) = x3 + x5 La formule à appliquer est : (u + v)′ = u′ + v ′ qui veut dire qu’on va calculer la somme des dérivées. Donc : f ′ (x) = 3x2 + 5x4 10 Calculer chaque fois la fonction dérivée. 1. f (x) = x6 + x8 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. f (x) = x9 + x8 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. f (x) = x3 + x ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. f (x) = x5 + 8 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. f (x) = 4 + x2 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. f (x) = x7 − 3 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 + 5 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 8. f (x) = x3 + x2 + x ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. f (x) = Term. STMG – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-8 Chapitre 3 – Dérivée Dérivée d’une fonction multipliée par une constante Par exemple ont veut dériver la fonction définie par f (x) = 7x4 Formule à appliquer : (ku)′ = ku′ ce qui veut dire qu’on va calculer k multiplié par la dérivée de u. Donc : f ′ (x) = 7 × 4x3 = 28x3 11 Calculer chaque fois la fonction dérivée. 1. f (x) = 5x6 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. f (x) = −8x2 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. f (x) = −6x3 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. f (x) = 4x ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5. f (x) = = 4 × ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x 7 1 5. f (x) = − = −7 × ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x 12 Calculer chaque fois la fonction dérivée. 1. f (x) = 5x4 + 6x3 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. f (x) = −3x5 + ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 4 3. f (x) = −2x + 3x3 − 6x2 + 9 ; f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dérivée d’un quotient de fonctions Par exemple ont veut dériver la fonction définie par f (x) = Formule à appliquer : u v ′ On pose alors : On calcule les dérivées : Donc : f ′ (x) = = 5x − 4 2x + 1 u′ v − v ′ u v2 u(x) = 5x − 4 u′ (x) = 5 v(x) = 2x + 1 v ′ (x) = 2 10x + 5 − 10x + 8 13 5 × (2x + 1) − 2 × (5x − 4) = = (2x + 1)2 (2x + 1)2 (2x + 1)2 13 u(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3x + 2 4x − 1 v(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calculer la dérivée de la fonction définie par f (x) = f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Term. STMG – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-9 Chapitre 3 – Dérivée 14 La fonction f est définie sur [−8 ; 6] par f (x) = x3 + 3x2 − 24x − 10 1. Calculer la dérivée f ′ (x). 2. Résoudre l’équation f ′ (x) = 0 (voir rappel ci-dessous). 3. Dresser le tableau de signe de f ′ (x) selon les valeurs de x sur [−8 ; 6] (voir rappel ci-dessous). 4. Dresser le tableau de variations de f sur [−8 ; 6]. Arrondir à 0,01 près si c’est nécessaire. 5. Afficher la représentation graphique de la fonction f sur l’écran de la calculatrice. a) En quelle valeur de x est atteint le minimum de la fonction f sur son intervalle de définition ? b) Calculer ce minimum. Arrondir à 0,01 près si c’est nécessaire. 6. Mêmes questions a) et b) pour le maximum. Rappel : équation du second degré (ax2 + bx + c = 0 ). ∆ = b2 − 4ac Quand on résout l’équation ax2 + bx + c = 0, les trois cas ci-dessous peuvent se produire. Si ∆ < 0 l’équation ax2 + bx + c = 0 n’a pas de solution. b 2a √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 Si ∆ > 0 l’équation ax + bx + c = 0 a deux solutions qui sont x1 = et x2 = 2a 2a Si ∆ = 0 l’équation ax2 + bx + c = 0 a une seule solution qui est x0 = − Rappel : signe de ax2 + bx + c x Si ∆ < 0 Si ∆ = 0 Signe de ax2 + bx + c +∞ x0 −∞ Signe de a Signe de ax2 + bx + c x Si ∆ > 0 Signe de a Signe de ax2 + bx + c x +∞ −∞ 0 Signe de a x1 −∞ Signe de a 0 +∞ x2 Signe de − a 0 Signe de a 15 Même exercice que l’exercice 14 avec la fonction définie sur [−9 ; 4] par f (x) = 2x3 +10, 5x2 −45x+20. 16 Même exercice que l’exercice 14 avec la fonction définie sur [−4 ; 10] par f (x) = −x3 + 7, 5x2 + 18x. 17 Même exercice que l’exercice 14 avec la fonction définie sur [−3 ; 3] par f (x) = x3 + x2 − 8x − 1. Term. STMG – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-10 Chapitre 3 – Dérivée 18 Un entrepreneur lance sur le marché de nouvelles coques haut de gamme pour les téléphones mobiles. Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représentant les recettes (en trait plein) et les coûts (en pointillés), en fonction du nombre de produits fabriqués exprimé en centaines d’unités. On admet que la fabrication est comprise entre 0 et 700 unités. Les recettes et les coûts sont exprimés en milliers d’euros. Partie A lecture graphique Répondre aux questions suivantes en vous aidant du graphique ci-dessous. 1. Combien faut-il fabriquer de produits pour avoir une recette égale à 140 000 euros ? 2. Combien de produits doit-on fabriquer pour obtenir un bénéfice positif ou nul ? Partie B étude du bénéfice On modélise : • les recettes par la fonction R définie sur [0 ; 7] par R(x) = −2x3 + 4, 5x2 + 62x • les coûts par la fonction C définie sur [0 ; 7] par C(x) = 20x + 10. 1. Calculer la recette et le coût pour 300 produits fabriqués. En déduire le bénéfice correspondant. 2. On note B la fonction bénéfice. Donner l’expression de B(x) sur l’intervalle [0 ; 7]. 3. Vérifier que B ′ (x) = −6x2 + 9x + 42 où B ′ désigne la fonction dérivée de la fonction B. 4. Étudier le signe de B ′ (x). Donner le tableau de variations de B. 5. En déduire la valeur du bénéfice maximal ainsi que le nombre de produits à fabriquer pour l’obtenir. y 240 220 200 Recettes 180 160 140 120 100 ûts Co 80 60 40 20 −20 x 1 Term. STMG – Mathématiques 2 3 4 TDM 5 6 7 http://www.maths.lyceebellepierre.fr I EXERCICES – page I-11 Chapitre 3 – Dérivée 5 bis La fonction f est représentée par la courbe Cf tracée dans le repère ci-dessous. La fonction f est définie par f (x) = 3x2 − 12x + 16 1. Calculer la dérivée de la fonction f 25 f ′ (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Sur la courbe Cf , placer le point A d’abscisse 4. 3. Calculer f (4) et f ′ (4) : f (4) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f ′ (4) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Tracer la tangente à la courbe Cf en A. 20 15 10 5 0 Term. STMG – Mathématiques TDM 0 1 2 3 4 5 http://www.maths.lyceebellepierre.fr
