Applications linéaires Nous avons vu plusieurs fois au cours de cette année l’argument de linéarité : mais où exactement ? – linéarité de la somme Σ – linéarité de la dérivation R – linéarité de l’intégrale – linéarité de l’espérance E En fait, derrière ce mot, se cache une et une seule notion ... définie ci-dessous ! 1 Généralités Soient E et F deux K−espaces vectoriels. 1.1 Définition Définition On dit qu’une application f : E → F est linéaire si 1. ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , f (~x + ~y ) = f (~x) + f (~y ). 2. ∀~x ∈ E, ∀λ ∈ K, f (λ~x) = λf (~x). Autrement dit, f doit préserver la structure d’espace vectoriel. Vocabulaire et Notations : L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L (E, F ). Par ailleurs, on appelle : – endomorphisme de E, toute application linéaire de E dans E (cas particulier F = E). On note L (E) au lieu de L (E, E) l’ensemble des endormorphismes de E. – forme linéaire sur E, toute application linéaire de E dans K(=R ou C). – isomorphisme de E sur F toute application linéaire bijective de E dans F . – automorphisme de E, tout endomorphisme bijectif de E. L’ensemble des automorphismes de E est noté GL(E). Exemples particuliers – L’application linéaire nulle notée 0L (E,F ) : E → F ~x 7→ ~0F . – L’endomorphisme identité IdE : E → E, est linéaire et bijective, donc est un automorphisme de E. ~x 7→ ~x Proposition Critère pratique Soit une application f : E → F . Alors f est linéaire ssi ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , ∀λ ∈ K, f (λ~x + ~y ) = λf (~x) + f (~y ) Exemples : 1. Soit f : R3 → R f est une forme linéaire sur R3 . (x1 , x2 , x3 ) 7→ −x1 + 2x2 + 5x3 . En effet, soit ~x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 et ~y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 . Alors ~x + ~y = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) et f (~x + ~y ) = −(x1 + y1 ) + 2(x2 + y2 ) + 5(x3 + y3 ) = −x1 + 2x2 + 5x3 − y1 + 2y2 + 5y3 = f (~x) + f (~y ). De même si λ ∈ R, λ~x = (λx1 , λx2 , λx3 ) d’où f (λ~x) = −(λx1 ) + 2(λx2 ) + 5(λx3 ) = λ[−x1 + 2x2 + 5x3 ] = λf (~x). 2. Soit S : Kn → K. Alors S est une forme linéaire sur K. n P (x1 , ..., xn ) 7→ xk . k=1 3. Soit D : R[X] → R[X]. Alors D est un endomorphisme de R[X]. P 7→ P 0 1 4. soit C ([0, 1]) l’ensemble des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles. Alors I : C ([0, 1]) → RR est une forme linéaire sur C ([0, 1]). 1 f 7→ 0 f (t)dt Propriétés fondamentales des applications linéaires : Proposition Soit f : E → F une application linéaire. Alors 1. f (~0E ) = ~0F . 2. ∀~x ∈ E, f (−~x) = −f (~x), et ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , f (~x − ~y ) = f (~x) − f (~y ). 3. Plus généralement, l’image d’une combinaison linéaire de vecteurs de l’espace de départ est la combinaison linéaire des images de ces vecteurs : ∀(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn , ∀(~x1 , . . . , ~xn ) ∈ E n , f (λ1 ~x1 + λ2 ~x2 + · · · + λn ~xn ) = λ1 f (~x1 ) + λ2 f (~x2 ) + · · · + λn f (~xn ). Démonstration 1. En effet, ~0E = ~0E + ~0E donc f (~0E ) = f (~0E + ~0E ) = f (~0E ) + f (~0E ) = 2 ∗ f (~0E ). Donc f (~0E ) = 2 ∗ f (~0E ) soit f (~0E ) = ~0F . 2. c’est le cas particulier λ = −1. 3. par récurrence sur n. 1.2 Opérations sur les applications linéaires Proposition Soit f ,g ∈ L (E, F ) et λ ∈ K. Alors f + g ∈ L (E, F ), et λf ∈ L (E, F ). Autrement dit, L (E, F ) est un sous-espace vectoriel de F E (ensemble des applications de E dans F ) donc est un espace vectoriel. Proposition Composée Soit E, F et G trois K − ev, et soit f ∈ L (E, F ) et g ∈ L (F, G). Alors g ◦ f ∈ L (E, G). Si de plus, f et g sont des isomorphismes sur leurs ensembles respectifs, alors g ◦ f est un isomorphisme de E sur G. En particulier, la composée de deux automorphismes de E est un automorphisme de E. Proposition La bijection réciproque d’un isomorphisme de E vers F est un isomorphisme de F vers E. Quelques règles de calcul Soit f, g, h ∈ L (E) Alors (f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h Si de plus λ ∈ K, f ◦ (λg) = λf ◦ g. et f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h. Démonstration La première propriété est vraie, même si f , g et h ne sont pas linéaires. En effet, pour tout x ∈ E, (f + g) ◦ h(x) = (f + g)(h(x)) = f (h(x)) + g(h(x)) = f ◦ h(x) + g ◦ h(x). En revanche, les deux propriétés suivantes demandent la linéarité de f : ∀x ∈ E, f ◦ (g + h)(x) = f (g(x) + h(x)) = f (g(x)) + f (h(x)) [par linéarité de f ] = f ◦ g(x) + f ◦ h(x). Et si λ ∈ R, f ◦ (λg)(x) = f (λg(x)) = λf (g(x)) [par linéarité de f ] = λf ◦ g(x). Définition Puissance d’un endomorphisme Soit f ∈ L (E), alors par convention, on pose f 0 = idE , et pour tout n ∈ N∗ , on définit l’endomorphisme f n de E par f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f . | {z } n fois 2 Remarque c’est la proposition sur la composée précédente qui garantit que f n ainsi défini, est un endormorphisme de E. Règles de calcul ∀(n, p) ∈ N2 , f n ◦ f p = f n+p = f p ◦ f n et (f n )p = f np = (f p )n . Attention, en général, (g ◦ f )n 6= g n ◦ f n ! En revanche, si f et g commutent, càd si g ◦ f = f ◦ g, alors cette propriété est vraie ainsi que la formule du n P n k n−k . binôme version endomorphisme : pour tout n ∈ N, (f + g)n = k f ◦g k=0 Remarque La composition f ◦ g dans L (E) obéit aux mêmes règles de calcul que le produit matriciel AB dans Mn (R). Définition Polyn^ ome d’endomorphisme n P k ak X ∈ K[X] et f ∈ L (E). Soit P = k=0 On définit l’endomorphisme P (f ) ∈ L (E) par P (f ) = n P ak f k = a0 idE + a1 f + a2 f ◦ f + ... + an f n . k=0 P est un polynôme annulateur de f si P (f ) = 0L (E) . 2 2.1 Etude des applications linéaires Noyau Soit f une application linéaire de E dans F . Définition Le noyau de f ∈ L (E, F ), noté Ker(f ), est l’ensemble des antécédents de ~0 par f : Ker (f )={~x ∈ E/ f (~x) = ~0F } Remarque : Comme f est linéaire on sait que f (~0E ) = ~0F donc ~0E ∈ Ker(f ) et Ker(f ) 6= ∅. Théorème Ker(f ) est un sous-espace vectoriel de E. Démonstration On sait déjà que Ker(f ) ⊂ E est non vide. Soient (~x, ~y ) ∈ Ker(f ) et λ ∈ R : donc f (~x) = ~0 = f (~y ). Montrons que λ~x + ~y ∈ Ker(f ) c’est-à-dire montrons que f (λ~x + ~y ) = ~0. Or f (λ~x + ~y ) = λf (~x) + f (~y ) (par linéarité de f ) = λ~0 + ~0 = ~0 Exemple 1 : Soit la forme linéaire précédente : f : R3 → R définie par f (x1 , x2 , x3 ) = −x1 +2x2 +5x3 . Alors le noyau de f est : Ker(f ) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 / −x1 +2x2 +5x3 = 0} = {(2x2 +5x3 , x2 , x3 ), (x2 , x3 ) ∈ R2 } = V ect((5, 0, 1), (2, 1, 0)). Exemple 2 : Déterminer le noyau de l’endomorphisme D de RR[X] défini par D : P 7→ P 0 . 2.2 Image Définition (Rappel) L’image de f noté Im(f ) est l’ensemble des images par f des vecteurs de E : Im(f ) = f (E) = {f (~x), ~x ∈ E} = {~y ∈ F/ ∃~x ∈ E tel que f (~x) = ~y }. Remarque : Comme f (~0E ) = ~0F on a ~0F ∈ Im(f ) et Im(f ) 6= ∅. Théorème Im(f ) est un sous-espace vectoriel de F . 3 Démonstration On sait déjà Im(f ) ⊂ F et Im(f ) 6= ∅. Soient (~x, ~y ) ∈ Im(f )2 , et montrons que ~x + ~y ∈ Im(f ). ~x ∈ Im(f ) ⇒ ∃~a ∈ E/ f (~a) = ~x. De même, ∃~b ∈ E/ f (~b) = ~y . Montrons alors que ~a + ~b est un antécédent de ~x + ~y par f : f (~a + ~b) = f (~a) + f (~b) = ~x + ~y . Donc ~x + ~y ∈ Im(f ). Soit maintenant λ ∈ R, et montrons que λ~x ∈ Im(f ) : or f (λ~a) = λf (~a) = λ~x donc on a bien trouvé un antécédent de λ~x et λ~x ∈ Im(f ). Exemple : Reprenons la forme linéaire définie sur R3 par f (x1 , x2 , x3 ) = −x1 + 2x2 + 5x3 . On sait déjà par définition que Im(f ) ⊂ F = R. Montrons ici que Im(f ) = R. Soit y ∈ R, on cherche ~x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 tel que f (~x) = y. Mais f (~x) = y ⇔ −x1 + 2x2 + 5x3 = y donc le triplet (−y, 0, 0) convient. Conclusion : Im(f ) = R. Exemple : Soit l’endomorphisme f : R3 → R3 Déterminons son image Im(f ) ⊂ R3 . (x, y, z) 7→ (x − y, y − z, z − x) (a, b, c) ∈ Im(f ) ⇔ ∃ (x, y, z) ∈ R3 /(a, b, c) = f (x, y, z) = (x − y, y − z, z − x). x−y =a y − z = b est compatible. ⇔ le système S = −x + z = c x − y = a x−y =a y−z =b y−z =b ⇔ . or S ⇔ −y + z = c + a L3 ← L3 + L1 0 =c+a+b L3 ← L3 + L2 Donc le système S est compatible ssi a + b + c = 0 donc Im(f ) = {(a, b, c) ∈ R3 / a + b + c = 0}. Im(f ) est le plan vectoriel engendré par (−1, 0, 1) et (−1, 1, 0). Exercice : Soit f ∈ L (E, F ) et g ∈ L (F, G). Montrer que g ◦ f = 0 ⇔ Im(f ) ⊂ Ker(g). Remarquer que g ◦ f = 0 ne donne pas nécessairement f = 0 ou g = 0. Contreex avec f ∈ L (R2 ) définie par f (x, y) = (x, x) et g ∈ L (R2 , R) définie par g(x, y) = x − y. 2.3 Isomorphismes Théorème Soit f ∈ L (E, F ). Alors 1. f est injective sur E ⇔ 2. f est surjective de E sur F Ker(f ) = {~0} ⇔ Im(f ) = F Démonstration 1. ”⇒” : supposons que f est injective et montrons que Ker(f ) = {~0}. On sait déjà ~0 ∈Ker(f ) ; montrons que ~0 est le seul élément. Soit ~x ∈Ker(f ). Alors f (~x) = ~0. D’autre part, on sait f (~0) = ~0. D’où f (~x) = f (~0) et comme f est injective on obtient ~x = ~0. ” ⇐ ” : Supposons que Ker(f )={~0}, et montrons que f est injective. Soient (~x, ~y ) ∈ E 2 tels que f (~x) = f (~y ). Montrons que ~x = ~y . Mais f (~x) = f (~y ) ⇔ f (~x) − f (~y ) = ~0 ⇔ f (~x − ~y ) = ~0 ⇔ (~x − ~y ) ∈Ker(f ) = {~0} ⇔ ~x − ~y = ~0 ⇔ ~x = ~y . et f est injective. 2. Cette équivalence n’est rien d’autre que la définition de la surjectivité ! 1 1 Exemple : Soit A = et f l’endomorphisme de M2 (R) défini par : M 7→ AM . 2 1 Vérifier que A est inversible puis montrer que f est injectif. 4 3 Applications linéaires et bases Dans toute cette section, on suppose que E admet une base finie, que l’on notera (e~1 , e~2 , ..., e~n ). 3.1 Détermination d’une application linéaire par l’image d’une base Théorème Soit E un K−ev admettant une base finie (e~1 , e~2 , ..., e~n ) et soit f~1 , ..., f~n n vecteurs fixés quelconques de F . Alors, il existe une unique application linéaire f : E → F , telle que ∀k ∈ [[0, n]], f (e~k ) = f~k . C’est l’application f qui à tout ~x = x1 e~1 + ... + xn e~n associe f (~x) = x1 f~1 + ... + xn f~n . Démonstration Analyse : si une telle application existe, alors par linéarité elle doit être définie comme ci-dessus. En effet, pour tout ~x = x1~e1 + ... + xn~en ∈ E, f (~x) = x1 f (~e1 ) + ... + xn f (~en ) = x1 f~1 + ... + xn f~n . Donc il en existe au plus une. Synthèse : il reste à vérifier que cette application convient bien. Remarques : 1. pour définir une application linéaire f ∈ L (E, F ) il suffit de donner les n images : f (e~1 ), f (e~2 ), ..., f (e~n ). 2. pour montrer que deux applications linéaires f et g de E vers F sont égales, il suffit de vérifier qu’elles coı̈ncident sur les vecteurs de la base cad : ∀i ∈ [[1, n]], f (~ ei ) = g(~ ei ). Exemples : 1. déterminer l’unique application linéaire f de R2 dans R3 telle que f ((1, 0)) = (1, 0, 1) et f ((0, 1)) = (1, 1, 2). 2. déterminer l’unique application linéaire f : R2 [X] → R3 telle que f (1) = (1, 1, 1), f (X) = (1, 0, 1) et f (X 2 ) = (−1, 0, 2). 3.2 Caractérisation de l’image Proposition Soit E un K−espace vectoriel admettant une base finie (e~1 , ..., e~n ). Alors Im(f ) = V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n )) . Démonstration Montrons la double inclusion : 1. Montrons que Im(f ) ⊂ V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n )). Rappel : V ect(u~1 , ..., u~n ) = {λ1 u~1 +...+λn u~n , λ1 , ...λn ∈ K}) Soit ~y ∈ Im(f ). Alors ∃~x ∈ E tel que f (~x) = ~y . Or (e~1 , ..., e~n ) est une base de E, donc ~x ∈ E ⇒ ∃(λ1 , ..., λn ) ∈ Kn |~x = λ1 e~1 + ... + λn e~n . Et par linéarité, ~y = f (~x) = f (λ1 e~1 + ... + λn e~n ) = λ1 f (e~1 ) + ... + λn f (e~n ) ∈ V ect((f (e~1 ), ..., f (e~n )). 2. Montrons que V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n )) ⊂ Im(f ). Rédaction 1 : Im(f ) est un sev de F qui contient les vecteurs f (e1 ), ...,f (en ) (sont des images !) donc contient V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n ))) (plus petit sev contenant ces vecteurs). D’où V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n )) ⊂ Im(f ). Ou rédaction 2 : dans l’esprit de l’autre inclusion ... soit ~y ∈ V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n )). Alors il existe (λ1 , ..., λn ) ∈ Kn tels que ~y = λ1 f (e~1 ) + ... + λn f (e~n ) et par linéarité, on obtient ~y = f (λ1 e~1 + ... + λn e~n ) ∈ Im(f ).) Exemple : Soit f : R2 → R3 définie par f ((x, y)) = (x + y, y, x + 2y). Donner une base de l’image. Im(f ) = V ect(f (1, 0)), f (0, 1)) = V ect((1, 0, 1), (1, 1, 2)). Or ces deux vecteurs sont libres (car non colinéaires), donc ils forment une base de Im(f ). −→ critère très pratique lorsque f est définie via l’image d’une base, ou lorsque f est surjective ... 5 3.3 Isomorphismes et bases Théorème Soit E un K−espace vectoriel admettant une base finie (e~1 , ..., e~n ) et soit f ∈ L (E, F ). Alors 1. f est injective ssi (f (e~1 ), ..., f (e~n )) est une famille libre. 2. f est surjective ssi (f (e~1 ), ..., f (e~n )) est une famille génératrice de F . 3. f est bijective ssi (f (e~1 ), ..., f (e~n )) est une base de F . Démonstration 1. Supposons f injective ; donc Ker(f ) = {~0}. Montrons que la famille est libre : soit λ1 , ..., λn des scalaires tels que λ1 f (e1 ) + ... + λn f (en ) = 0. Alors par linéarité, f (λe1 + ... + λen ) = 0 càd λ1 e1 + ... + λn en ∈ Kerf = {~0}. Donc λ1 e1 + ... + λn en = ~0. Donc λ1 = ... = λn = 0 car (e1 , ..., en ) est une base de E donc une famille libre. Réciproquement, supposons que la famille (f (e1 ), ..., f (en )) soit libre et montrons que Kerf = {~0}. On sait que ~0 ∈ Kerf , donc il suffit de montrer que Kerf ⊂ {~0}. Soit x ∈ Ker(f ). Alors ~x ∈ E donc ~x s’écrit : ~x = x1 e1 + ... + xn en d’où f (~x) = ~0 = x1 f (e1 ) + ... + xn f (en ). On obtient (famille libre) que x1 = ... = xn = 0, d’où ~x = 0, et Ker(f ) = {~0}. 2. Supposons f surjective, et soit y ∈ F . Comme F = Im(f ), ∃x ∈ E tel que y = f (x). Puis x ∈ E implique que x s’écrit x = x1 e1 + ... + xn en . Alors y = f (x) = x1 f (e1 ) + ... + xn f (en ). Vrai pour tout y ∈ F donc la famille (f (e1 ), ..., f (en )) est génératrice. Réciproquement, si cette famille est génératrice, tout y ∈ F s’écrit y = y1 f (e1 ) + ... + yn f (en ) = f (y1 e1 + ... + yn en ) ∈ Imf donc f est surjective. 3. Il suffit d’utiliser que bij ⇔ inj et surj ; et base ⇔ libre et génératrice .... Exemple : Justifier que l’application linéaire f ∈ L (R3 , R2 [X]) définie par f ((1, 0, 0)) = X 2 , f ((0, 1, 0)) = 1 et f ((0, 0, 1) = X est un isomorphisme. 6