Applications linéaires

Applications linéaires
Nous avons vu plusieurs fois au cours de cette année l’argument de linéarité : mais où exactement ?
– linéarité de la somme Σ
– linéarité de la dérivation
R
– linéarité de l’intégrale
– linéarité de l’espérance E
En fait, derrière ce mot, se cache une et une seule notion ... définie ci-dessous !
1
Généralités
Soient E et F deux K−espaces vectoriels.
1.1
Définition
Définition
On dit qu’une application f : E → F est linéaire si
1. ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , f (~x + ~y ) = f (~x) + f (~y ).
2. ∀~x ∈ E, ∀λ ∈ K, f (λ~x) = λf (~x).
Autrement dit, f doit préserver la structure d’espace vectoriel.
Vocabulaire et Notations :
L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L (E, F ).
Par ailleurs, on appelle :
– endomorphisme de E, toute application linéaire de E dans E (cas particulier F = E).
On note L (E) au lieu de L (E, E) l’ensemble des endormorphismes de E.
– forme linéaire sur E, toute application linéaire de E dans K(=R ou C).
– isomorphisme de E sur F toute application linéaire bijective de E dans F .
– automorphisme de E, tout endomorphisme bijectif de E.
L’ensemble des automorphismes de E est noté GL(E).
Exemples particuliers
– L’application linéaire nulle notée 0L (E,F ) : E → F
~x 7→ ~0F .
– L’endomorphisme identité IdE : E → E, est linéaire et bijective, donc est un automorphisme de E.
~x 7→ ~x
Proposition Critère pratique
Soit une application f : E → F . Alors
f est linéaire ssi ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , ∀λ ∈ K, f (λ~x + ~y ) = λf (~x) + f (~y )
Exemples :
1. Soit f : R3 → R
f est une forme linéaire sur R3 .
(x1 , x2 , x3 ) 7→ −x1 + 2x2 + 5x3 .
En effet, soit ~x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 et ~y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 . Alors ~x + ~y = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) et
f (~x + ~y ) = −(x1 + y1 ) + 2(x2 + y2 ) + 5(x3 + y3 ) = −x1 + 2x2 + 5x3 − y1 + 2y2 + 5y3 = f (~x) + f (~y ). De même
si λ ∈ R, λ~x = (λx1 , λx2 , λx3 ) d’où f (λ~x) = −(λx1 ) + 2(λx2 ) + 5(λx3 ) = λ[−x1 + 2x2 + 5x3 ] = λf (~x).
2. Soit S : Kn → K. Alors S est une forme linéaire sur K.
n
P
(x1 , ..., xn ) 7→
xk .
k=1
3. Soit D : R[X] → R[X]. Alors D est un endomorphisme de R[X].
P 7→ P 0
1
4. soit C ([0, 1]) l’ensemble des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles.
Alors I : C ([0, 1]) → RR est une forme linéaire sur C ([0, 1]).
1
f 7→ 0 f (t)dt
Propriétés fondamentales des applications linéaires :
Proposition
Soit f : E → F une application linéaire. Alors
1. f (~0E ) = ~0F .
2. ∀~x ∈ E, f (−~x) = −f (~x), et ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , f (~x − ~y ) = f (~x) − f (~y ).
3. Plus généralement, l’image d’une combinaison linéaire de vecteurs de l’espace de départ est la combinaison
linéaire des images de ces vecteurs :
∀(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn , ∀(~x1 , . . . , ~xn ) ∈ E n , f (λ1 ~x1 + λ2 ~x2 + · · · + λn ~xn ) = λ1 f (~x1 ) + λ2 f (~x2 ) + · · · + λn f (~xn ).
Démonstration
1. En effet, ~0E = ~0E + ~0E donc f (~0E ) = f (~0E + ~0E ) = f (~0E ) + f (~0E ) = 2 ∗ f (~0E ).
Donc f (~0E ) = 2 ∗ f (~0E ) soit f (~0E ) = ~0F .
2. c’est le cas particulier λ = −1.
3. par récurrence sur n.
1.2
Opérations sur les applications linéaires
Proposition
Soit f ,g ∈ L (E, F ) et λ ∈ K. Alors f + g ∈ L (E, F ), et λf ∈ L (E, F ).
Autrement dit, L (E, F ) est un sous-espace vectoriel de F E (ensemble des applications de E dans F ) donc est
un espace vectoriel.
Proposition Composée
Soit E, F et G trois K − ev, et soit f ∈ L (E, F ) et g ∈ L (F, G).
Alors g ◦ f ∈ L (E, G).
Si de plus, f et g sont des isomorphismes sur leurs ensembles respectifs, alors g ◦ f est un isomorphisme de E
sur G.
En particulier, la composée de deux automorphismes de E est un automorphisme de E.
Proposition
La bijection réciproque d’un isomorphisme de E vers F est un isomorphisme de F vers E.
Quelques règles de calcul
Soit f, g, h ∈ L (E) Alors
(f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h
Si de plus λ ∈ K, f ◦ (λg) = λf ◦ g.
et f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h.
Démonstration
La première propriété est vraie, même si f , g et h ne sont pas linéaires. En effet, pour tout x ∈ E,
(f + g) ◦ h(x) = (f + g)(h(x)) = f (h(x)) + g(h(x)) = f ◦ h(x) + g ◦ h(x).
En revanche, les deux propriétés suivantes demandent la linéarité de f :
∀x ∈ E, f ◦ (g + h)(x) = f (g(x) + h(x)) = f (g(x)) + f (h(x)) [par linéarité de f ] = f ◦ g(x) + f ◦ h(x).
Et si λ ∈ R, f ◦ (λg)(x) = f (λg(x)) = λf (g(x)) [par linéarité de f ] = λf ◦ g(x).
Définition Puissance d’un endomorphisme
Soit f ∈ L (E), alors par convention, on pose f 0 = idE ,
et pour tout n ∈ N∗ , on définit l’endomorphisme f n de E par f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f .
|
{z
}
n fois
2
Remarque c’est la proposition sur la composée précédente qui garantit que f n ainsi défini, est un endormorphisme de E.
Règles de calcul
∀(n, p) ∈ N2 , f n ◦ f p = f n+p = f p ◦ f n
et (f n )p = f np = (f p )n .
Attention, en général, (g ◦ f )n 6= g n ◦ f n !
En revanche, si f et g commutent, càd si g ◦ f = f ◦ g, alors cette propriété est vraie ainsi que la formule du
n
P
n k
n−k .
binôme version endomorphisme : pour tout n ∈ N, (f + g)n =
k f ◦g
k=0
Remarque
La composition f ◦ g dans L (E) obéit aux mêmes règles de calcul que le produit matriciel AB dans Mn (R).
Définition Polyn^
ome d’endomorphisme
n
P
k
ak X ∈ K[X] et f ∈ L (E).
Soit P =
k=0
On définit l’endomorphisme P (f ) ∈ L (E) par P (f ) =
n
P
ak f k = a0 idE + a1 f + a2 f ◦ f + ... + an f n .
k=0
P est un polynôme annulateur de f si P (f ) = 0L (E) .
2
2.1
Etude des applications linéaires
Noyau
Soit f une application linéaire de E dans F .
Définition
Le noyau de f ∈ L (E, F ), noté Ker(f ), est l’ensemble des antécédents de ~0 par f :
Ker (f )={~x ∈ E/ f (~x) = ~0F }
Remarque
: Comme f est linéaire on sait que f (~0E ) = ~0F donc ~0E ∈ Ker(f ) et Ker(f ) 6= ∅.
Théorème
Ker(f ) est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration On sait déjà que Ker(f ) ⊂ E est non vide.
Soient (~x, ~y ) ∈ Ker(f ) et λ ∈ R : donc f (~x) = ~0 = f (~y ).
Montrons que λ~x + ~y ∈ Ker(f ) c’est-à-dire montrons que f (λ~x + ~y ) = ~0.
Or f (λ~x + ~y ) = λf (~x) + f (~y ) (par linéarité de f ) = λ~0 + ~0 = ~0
Exemple 1 :
Soit la forme linéaire précédente : f : R3 → R définie par f (x1 , x2 , x3 ) = −x1 +2x2 +5x3 . Alors le noyau de f est :
Ker(f ) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 / −x1 +2x2 +5x3 = 0} = {(2x2 +5x3 , x2 , x3 ), (x2 , x3 ) ∈ R2 } = V ect((5, 0, 1), (2, 1, 0)).
Exemple 2 : Déterminer le noyau de l’endomorphisme D de RR[X] défini par D : P 7→ P 0 .
2.2
Image
Définition (Rappel)
L’image de f noté Im(f ) est l’ensemble des images par f des vecteurs de E :
Im(f ) = f (E) = {f (~x), ~x ∈ E} = {~y ∈ F/ ∃~x ∈ E tel que f (~x) = ~y }.
Remarque
: Comme f (~0E ) = ~0F on a ~0F ∈ Im(f ) et Im(f ) 6= ∅.
Théorème
Im(f ) est un sous-espace vectoriel de F .
3
Démonstration
On sait déjà Im(f ) ⊂ F et Im(f ) 6= ∅.
Soient (~x, ~y ) ∈ Im(f )2 , et montrons que ~x + ~y ∈ Im(f ).
~x ∈ Im(f ) ⇒ ∃~a ∈ E/ f (~a) = ~x. De même, ∃~b ∈ E/ f (~b) = ~y .
Montrons alors que ~a + ~b est un antécédent de ~x + ~y par f : f (~a + ~b) = f (~a) + f (~b) = ~x + ~y . Donc ~x + ~y ∈ Im(f ).
Soit maintenant λ ∈ R, et montrons que λ~x ∈ Im(f ) : or f (λ~a) = λf (~a) = λ~x donc on a bien trouvé un
antécédent de λ~x et λ~x ∈ Im(f ).
Exemple :
Reprenons la forme linéaire définie sur R3 par f (x1 , x2 , x3 ) = −x1 + 2x2 + 5x3 .
On sait déjà par définition que Im(f ) ⊂ F = R. Montrons ici que Im(f ) = R.
Soit y ∈ R, on cherche ~x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 tel que f (~x) = y. Mais f (~x) = y ⇔ −x1 + 2x2 + 5x3 = y
donc le triplet (−y, 0, 0) convient.
Conclusion : Im(f ) = R.
Exemple : Soit l’endomorphisme f : R3 → R3
Déterminons son image Im(f ) ⊂ R3 .
(x, y, z) 7→ (x − y, y − z, z − x)
(a, b, c) ∈ Im(f ) ⇔ ∃ (x, y, z) ∈ R3 /(a, b, c) = f (x, y, z) = (x − y, y − z, z − x).
 x−y =a
y − z = b est compatible.
⇔ le système S =

−x + z = c


x
−
y
=
a

 x−y =a
y−z =b
y−z =b
⇔
.
or S ⇔


−y + z = c + a
L3 ← L3 + L1
0
=c+a+b
L3 ← L3 + L2
Donc le système S est compatible ssi a + b + c = 0 donc Im(f ) = {(a, b, c) ∈ R3 / a + b + c = 0}.
Im(f ) est le plan vectoriel engendré par (−1, 0, 1) et (−1, 1, 0).
Exercice : Soit f ∈ L (E, F ) et g ∈ L (F, G). Montrer que g ◦ f = 0 ⇔ Im(f ) ⊂ Ker(g).
Remarquer que g ◦ f = 0 ne donne pas nécessairement f = 0 ou g = 0.
Contreex avec f ∈ L (R2 ) définie par f (x, y) = (x, x) et g ∈ L (R2 , R) définie par g(x, y) = x − y.
2.3
Isomorphismes
Théorème
Soit f ∈ L (E, F ). Alors
1. f est injective sur E
⇔
2. f est surjective de E sur F
Ker(f ) = {~0}
⇔
Im(f ) = F
Démonstration
1. ”⇒” : supposons que f est injective et montrons que Ker(f ) = {~0}. On sait déjà ~0 ∈Ker(f ) ; montrons que
~0 est le seul élément. Soit ~x ∈Ker(f ). Alors f (~x) = ~0. D’autre part, on sait f (~0) = ~0. D’où f (~x) = f (~0) et
comme f est injective on obtient ~x = ~0.
” ⇐ ” : Supposons que Ker(f )={~0}, et montrons que f est injective.
Soient (~x, ~y ) ∈ E 2 tels que f (~x) = f (~y ). Montrons que ~x = ~y .
Mais f (~x) = f (~y ) ⇔ f (~x) − f (~y ) = ~0 ⇔ f (~x − ~y ) = ~0 ⇔ (~x − ~y ) ∈Ker(f ) = {~0} ⇔ ~x − ~y = ~0 ⇔ ~x = ~y .
et f est injective.
2. Cette équivalence n’est rien d’autre que la définition de la surjectivité !
1 1
Exemple : Soit A =
et f l’endomorphisme de M2 (R) défini par : M 7→ AM .
2 1
Vérifier que A est inversible puis montrer que f est injectif.
4
3
Applications linéaires et bases
Dans toute cette section, on suppose que E admet une base finie, que l’on notera (e~1 , e~2 , ..., e~n ).
3.1
Détermination d’une application linéaire par l’image d’une base
Théorème
Soit E un K−ev admettant une base finie (e~1 , e~2 , ..., e~n ) et soit f~1 , ..., f~n n vecteurs fixés quelconques de F .
Alors, il existe une unique application linéaire f : E → F , telle que ∀k ∈ [[0, n]], f (e~k ) = f~k .
C’est l’application f qui à tout ~x = x1 e~1 + ... + xn e~n associe f (~x) = x1 f~1 + ... + xn f~n .
Démonstration
Analyse : si une telle application existe, alors par linéarité elle doit être définie comme ci-dessus.
En effet, pour tout ~x = x1~e1 + ... + xn~en ∈ E, f (~x) = x1 f (~e1 ) + ... + xn f (~en ) = x1 f~1 + ... + xn f~n .
Donc il en existe au plus une.
Synthèse : il reste à vérifier que cette application convient bien.
Remarques :
1. pour définir une application linéaire f ∈ L (E, F ) il suffit de donner les n images : f (e~1 ), f (e~2 ), ..., f (e~n ).
2. pour montrer que deux applications linéaires f et g de E vers F sont égales, il suffit de vérifier qu’elles
coı̈ncident sur les vecteurs de la base cad : ∀i ∈ [[1, n]], f (~
ei ) = g(~
ei ).
Exemples :
1. déterminer l’unique application linéaire f de R2 dans R3 telle que f ((1, 0)) = (1, 0, 1) et f ((0, 1)) = (1, 1, 2).
2. déterminer l’unique application linéaire f : R2 [X] → R3 telle que f (1) = (1, 1, 1), f (X) = (1, 0, 1) et
f (X 2 ) = (−1, 0, 2).
3.2
Caractérisation de l’image
Proposition
Soit E un K−espace vectoriel admettant une base finie (e~1 , ..., e~n ).
Alors Im(f ) = V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n )) .
Démonstration
Montrons la double inclusion :
1. Montrons que Im(f ) ⊂ V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n )).
Rappel : V ect(u~1 , ..., u~n ) = {λ1 u~1 +...+λn u~n , λ1 , ...λn ∈ K})
Soit ~y ∈ Im(f ). Alors ∃~x ∈ E tel que f (~x) = ~y .
Or (e~1 , ..., e~n ) est une base de E, donc ~x ∈ E ⇒ ∃(λ1 , ..., λn ) ∈ Kn |~x = λ1 e~1 + ... + λn e~n . Et par linéarité,
~y = f (~x) = f (λ1 e~1 + ... + λn e~n ) = λ1 f (e~1 ) + ... + λn f (e~n ) ∈ V ect((f (e~1 ), ..., f (e~n )).
2. Montrons que V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n )) ⊂ Im(f ).
Rédaction 1 :
Im(f ) est un sev de F qui contient les vecteurs f (e1 ), ...,f (en ) (sont des images !) donc contient V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n )))
(plus petit sev contenant ces vecteurs). D’où V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n )) ⊂ Im(f ).
Ou rédaction 2 : dans l’esprit de l’autre inclusion ...
soit ~y ∈ V ect(f (e~1 ), ..., f (e~n )). Alors il existe (λ1 , ..., λn ) ∈ Kn tels que ~y = λ1 f (e~1 ) + ... + λn f (e~n ) et par
linéarité, on obtient ~y = f (λ1 e~1 + ... + λn e~n ) ∈ Im(f ).)
Exemple : Soit f : R2 → R3 définie par f ((x, y)) = (x + y, y, x + 2y). Donner une base de l’image.
Im(f ) = V ect(f (1, 0)), f (0, 1)) = V ect((1, 0, 1), (1, 1, 2)). Or ces deux vecteurs sont libres (car non colinéaires),
donc ils forment une base de Im(f ).
−→ critère très pratique lorsque f est définie via l’image d’une base, ou lorsque f est surjective ...
5
3.3
Isomorphismes et bases
Théorème
Soit E un K−espace vectoriel admettant une base finie (e~1 , ..., e~n ) et soit f ∈ L (E, F ). Alors
1. f est injective ssi (f (e~1 ), ..., f (e~n )) est une famille libre.
2. f est surjective ssi (f (e~1 ), ..., f (e~n )) est une famille génératrice de F .
3. f est bijective ssi (f (e~1 ), ..., f (e~n )) est une base de F .
Démonstration
1. Supposons f injective ; donc Ker(f ) = {~0}. Montrons que la famille est libre : soit λ1 , ..., λn des scalaires
tels que λ1 f (e1 ) + ... + λn f (en ) = 0. Alors par linéarité, f (λe1 + ... + λen ) = 0 càd λ1 e1 + ... + λn en ∈
Kerf = {~0}. Donc λ1 e1 + ... + λn en = ~0. Donc λ1 = ... = λn = 0 car (e1 , ..., en ) est une base de E donc
une famille libre.
Réciproquement, supposons que la famille (f (e1 ), ..., f (en )) soit libre et montrons que Kerf = {~0}.
On sait que ~0 ∈ Kerf , donc il suffit de montrer que Kerf ⊂ {~0}.
Soit x ∈ Ker(f ). Alors ~x ∈ E donc ~x s’écrit : ~x = x1 e1 + ... + xn en d’où f (~x) = ~0 = x1 f (e1 ) + ... + xn f (en ).
On obtient (famille libre) que x1 = ... = xn = 0, d’où ~x = 0, et Ker(f ) = {~0}.
2. Supposons f surjective, et soit y ∈ F . Comme F = Im(f ), ∃x ∈ E tel que y = f (x). Puis x ∈ E implique
que x s’écrit x = x1 e1 + ... + xn en . Alors y = f (x) = x1 f (e1 ) + ... + xn f (en ). Vrai pour tout y ∈ F donc
la famille (f (e1 ), ..., f (en )) est génératrice.
Réciproquement, si cette famille est génératrice, tout y ∈ F s’écrit y = y1 f (e1 ) + ... + yn f (en ) = f (y1 e1 +
... + yn en ) ∈ Imf donc f est surjective.
3. Il suffit d’utiliser que bij ⇔ inj et surj ; et base ⇔ libre et génératrice ....
Exemple : Justifier que l’application linéaire f ∈ L (R3 , R2 [X]) définie par f ((1, 0, 0)) = X 2 , f ((0, 1, 0)) = 1 et
f ((0, 0, 1) = X est un isomorphisme.
6