Second degré - Lux-M@th

TRINÔME DU SECOND
DEGRÉ
Activité de recherche : Résoudre un problème démographique
A l’issue d’une étude, des démographes font des projections concernant la population de deux
villages A et B de la campagne tarnaise pour les 50 prochaines années.
Ils estiment que l’effectif de la population du village A dans n années à compter d’aujourd’hui
peut être modélisé et calculé grâce à la fonction suivante : P : n → 3500 − n2 + 69n.
Il est prévu que l’effectif de la population du village B décroisse de façon affine. Alors qu’aujourd’hui, l’effectif est de 4300, il devrait être de 4000 dans 20 ans. On note R(n) l’effectif de
la population du village B dans n années à compter d’aujourd’hui.
On se demande en quelle année, l’écart entre le nombre d’habitants sera le plus grand.
Déterminer ce nombre d’années par la méthode de votre choix. On reviendra en fin de chapitre
sur de nouveaux outils.
I Généralités :
1. Fonction trinôme du second degré :
On appelle fonction trinôme du second degré , toute fonction f définie sur R
par f (x) = ax2 + bx + c ; a, b, et c étant trois réels avec a non nul.
EXEMPLES :
Les fonctions f , g et h définies sur R par f (x) = 2x2 − 3x + 1 ; g(x) = −x2 + 3 et
1
h(x) = x2 − 2x.
2
Donnez pour chacune d’elle les coefficients : Pour f , a =..... ; b =..... et c =......
Pour g, a =..... ; b =..... et c =......
Pour h, a =..... ; b =..... et c =......
Remarque(s) : On utilisera parfois l’expression "trinôme" au lieu de "trinôme du second
degré".
L’expression sous la forme f (x) = ax2 + bx + c est appelée forme développée de la
fonction.
Il existe d’autres expressions de cette fonction :
- la forme canonique : f (x) = a(x − α)2 + β ; α et β étant deux réels.
- la forme factorisée : f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) ; x1 et x2 étant deux réels.
Exercice 1.
On considère la fonction trinôme g dont la forme canonique est g(x) = 3[(x − 1)2 − 9].
(a) Déterminer la forme développée et la forme factorisée de g.
√
(b) Calculer g(0), g(1), g(4) et g( 2).
(c) Résoudre l’équation g(x) = 0.
2. Racine :
On appelle racine d’une fonction trinôme f tout réel x0 pour lequel f (x0 ) = 0.
Remarque(s) :
Les racines d’une fonction trinôme f sont les solutions de l’équation f (x) = 0.
A ne pas confondre avec "racine carrée".
Exercice 2.
Déterminer un trinôme dont 1 et −3 soient racines.
Exercice 3.
√
Montrer que le trinôme −x2 + 2x + 1 a pour racine 1 − 2.
Exercice 4.
Résoudre les équations du second degré :
1) x2 − 6x = 0
2) 3x2 − 9 = 0
3) 2x2 + 7 = 0.
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3. Discriminant :
Exercice 5.
(a) Compléter :
1) x2 + 6x + ... = (x + ...)2
(b) Compléter :
1) x2 + 4x − 5 = (x + ...)2 − ...
(c) Compléter :
1) 2x2 + 4x − 5 = 2[(x + ...)2 − ...]
2) x2 − ...x +
9
= (x − ...)2
4
2)x2 − 3x + 4 = (x − ...)2 + ...
2) − 3x2 + 6x + 4 = −3[(x − ...)2 + ...]
D’une manière générale, on considère le trinôme
= ax2 + bx +
" f (x)
# c ; a "6=0.
#
2
2
2
2
b
b
b
c
c
4ac
b
b
= a x+
=a x+
On peut écrire f (x) = a x2 + x +
− 2+
− 2+ 2 .
a
a
a
4a
a
a
4a
4a
#
"
2
b2 − 4ac
b
−
Donc f (x) = a x +
a
4a2
On considère le trinôme f (x) = ax2 + bx + c ; a, b, et c étant trois réels avec a non nul.
On appelle discriminant du trinôme et on note ∆ le nombre réel ∆ = b2 − 4ac.
Remarque(s) :
"
#
2
b
∆
L’écriture f (x) = a x +
− 2 est appelée forme canonique du trinôme.
2a
4a
Elle n’a pas à être mémorisée, celle du discriminant doit l’être.
En seconde, on obtenait en effet la forme canonique sous la forme
−b
f (x) = a(x − α)2 + β avec α =
et β = f (α).
2a
II Étude des trinômes (rappels de 2nde) :
1. Courbe représentative d’une fonction du second degré :
Exercice 6. Donner la forme canonique de la fonction f définie sur R
par f (x) = 2x2 − 8x + 11.
α = ...... = ........
β = f (α) = ...................
Donc f (x) = ..........................
Représentation graphique d’une fonction trinôme du second degré :
→
− −
→
Le plan est rapporté au repère orthogonal (O; i , j ).
Soit f la fonction trinôme du second degré définie par f (x) = ax2 + bx + c, et soit Cf sa
2
courbe représentative. Soit P la parabole d’équation (y =ax
).
α
On obtient Cf en appliquant à P la translation de vecteur
. Ainsi, Cf est elle-même
β
b
une parabole, de sommet le point d’abscisse α = − .
2a
b
La droite d’équation x = − est axe de symétrie de Cf .
2a
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Exercice 7.
On veut représenter la fonction f définie sur R par :
5.5
5.0
4.5
f (x) = 2x2 − 8x + 11
4.0
3.5
On a f (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.0
2.5
P
2.0
Il suffit d’appliquer
une translation de
...
à la parabole d’équation
vecteur
...
(y = 2x2 ).
1.5
1.0
0.5
−1.5−1.0−0.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
2. Variations de la fonction :
On peut déduire des tableaux de variations de la fonction x 7−→ ax2 le tableau de variations de la fonction f où f (x) = ax2 + bx + c ; cela dépend du signe de a :
– Si a > 0 : les branches de la parabole sont dirigées vers le . . . . . . . . . . . .
x
−∞
−b
2a
+∞
−∞
x
variations
de x 7→ ax2
−b
2a
+∞
−b
2a
+∞
variations
de x 7→ f (x)
– Si a < 0 : les branches de la parabole sont dirigées vers le . . . . . . . . . . . .
x
−∞
−b
2a
+∞
−∞
x
variations
de x 7→ ax2
variations
de x 7→ f (x)
Exercice 8. Donner les tableaux de variation des fonctions f et g suivantes :
f (x) = 2x2 + 6x + 15
g(x) = −3x2 + 6x + 2
x
variations
de x 7→ f (x)
−∞
+∞
x
−∞
+∞
variations
de x 7→ g(x)
→
− →
−
Indiquer la position de la courbe dans un repère orthogonal (O; i , j ).
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III Factorisation des trinômes :
On se donne le trinôme du second degré f (x) = ax2 + bx + c = 0 ; a 6= 0.
La forme canonique du trinôme f est donnée par f (x) = a (x − α)2 + β
On peut l’écrire également sous la forme suivante (en factorisant le coefficient dominant a) :
"
#
2
b
∆
f (x) = a x +
− 2
2a
4a
Il est alors, dans certains cas, possible de factoriser l’expression entre crochets :
– si le discriminant ∆ est négatif, alors l’expression entre crochets n’est pas factorisable.
Le trinôme n’a pas de racines.
– si le discriminant ∆ est nul, alors le trinôme f est déjà factorisé, puisqu’il s’écrit
2
b
f (x) = a x +
2a
b
.
2a
– si le discriminant
alors l’expression entre crochets est du type A2 − B 2 ,
√
∆ est positif,
b
∆
avec A = x +
et B =
.
2a
2a
On a alors la factorisation suivante (de la forme (A − B)(A + B)) :
√ !
√ !
∆
∆
b
b
x+
f (x) = a x +
+
−
2a
2a
2a
2a
Le trinôme a une racine double : x0 = −
√
√
−b − ∆
−b + ∆
Le trinôme a deux racines : x1 =
et x2 =
.
2a
2a
Pour résumer : si f (x) = ax2 + bx + c, de discriminant ∆ = b2 − 4ac
Factorisation de f :
Si ∆ < 0
Si ∆ = 0
Si ∆ > 0
pas de
f (x) = a (x − x0 )2
b
où x0 = −
2a
f (x) = a(x − x1 )(x − x2 )
√
−b − ∆
où x1 =
2a√
−b + ∆
et x2 =
2a
factorisation
possible
Remarque(s)
- L’utilisation du discriminant concerne uniquement les équations du second degré. On ne peut
pas les utiliser dans d’autres cas( équation du troisième degré par exemple).
- Dans certains cas il n’est pas utile de l’utiliser (en général si b ou c est nul).
Exercice 9.
Pour les équations du second degré suivantes, entourer-les quand l’utilisation du discriminant
est utile pour les factoriser. Sinon, donner cette factorisation.
1) 2x2 − x + 1
2) x2 − 5x
3) 4 − x2
x2 3
1
6)
+
4) x3 − x
5) x2 + 3x − 5
2
4
7
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Exercice 10.
Factoriser si possible les expressions suivantes.
f (x) = 2x2 − 5x + 7
∆ =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D’où . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g(x) = −3x2 + 18x − 27
∆ =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D’où . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h(x) = 5x2 − x − 4
∆ =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D’où . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Résolution d’équations du second degré :
Soit f une fonction du second degré définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, de
discriminant ∆ = b2 − 4ac. On veut résoudre f (x) = 0.
#
"
2
∆
b
− 2 =0
Grâce aux résultats précédents, f (x) = 0 ⇔ a x +
2a
4a
-Si ∆ < 0 alors l’expression entre crochets est la somme d’un carré et d’un nombre strictement positif. Cette expression, strictement positive, ne pourra jamais s’annuler.
Il n’y a pas de solution réelle à cette équation.
2
b
-Si ∆ = 0 alors l’équation peut s’écrire : a x +
= 0.
2a
Il y a une unique solution à cette équation, dite double c’est x0 = −
b
.
2a
-Si ∆ > 0 alors!l’expression entre!crochets se factorise, l’équation
peut s’écrire!:
√ !
√
√
√
∆
∆
b
−b + ∆
−b − ∆
b
x+
=0 ⇔a x−
x−
= 0.
−
+
a x+
2a
2a
2a
2a
2a
2a
√
√
−b − ∆
−b + ∆
Il y a deux solutions distinctes : x1 =
et x2 =
.
2a
2a
Exercice 11.
On considère les fonctions f et g définies par f (x) = x2 et g(x) = 2x + 2.
Représenter f et g sur le même graphique.
Déterminer les abscisses des points d’intersection des deux courbes.
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f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0
Factorisation de f :
Si ∆ < 0
Si ∆ = 0
Si ∆ > 0
pas de
f (x) = a (x − x0 )2
f (x) = a(x − x1 )(x − x2 )
√
−b − ∆
où x1 =
2a
√
−b + ∆
et x2 =
2a
factorisation
où x0 = −
b
2a
possible
Résolution de f (x) = 0 :
pas de
Une seule solution
solution
b
x0 = −
2a
Deux solutions distinctes
√
−b − ∆
x1 =
2a
√
−b + ∆
et x2 =
2a
sur R
Remarque(s) : Le nombre de solutions de l’équation ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, dépend de
la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses.
Compléter les graphiques ci-dessous en y plaçant les paraboles qui conviennent.
Si ∆ < 0
−3
−2
a>0
−3
−2
a<0
Si ∆ = 0
Si ∆ > 0
2
2
2
1
1
1
−1
−1
1
2
3
−3
−2
−1
−1
1
2
3
−3
−2
−1
−1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
2
2
2
1
1
1
−1
−1
1
2
3
−3
−2
−1
−1
1
2
3
−3
−2
−1
−1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
1
2
3
1
2
3
Exercice 12.
Soit f la fonction définie sur [0; 20] par f (x) = −0, 02x2 + 0, 16x + 82, 18. On admet que f (x)
modélise la population, en millions d’habitants, de l’Allemagne pour l’année 2000 + x.
1. Donner la population de l’Allemagne en 2007.
2. En quelle année la population de l’Allemagne sera-t-elle de 80,5 millions ?
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V Signe du trinôme :
On considère le trinôme f (x) = ax2 + bx + c , a 6= 0, avec son discriminant ∆ = b2 − 4ac.
On rappelle sa forme canonique :
"
#
2
b
∆
f (x) = a x +
− 2
2a
4a
– si le discriminant ∆ est négatif alors le trinôme n’a pas de racines
; il ne peut pas se
b 2
factoriser et l’expression entre crochets est égale à un carré x + 2a auquel on ajoute
un nombre strictement positif (− 4a∆2 ). Cette expression entre crochets est donc strictement positive ; autrement dit, le trinôme f (x) est du même signe que son coefficient
dominant a.
x
+∞
−∞
Signe de f (x)
signe de a
– si le discriminant ∆ est nul alors le trinôme peut s’écrire
f (x) = a x +
b 2
2a
b
. Mais pour les autres valeurs du
Cette expression, on l’a vu, est nulle pour x = α = − 2a
2
b
nombre x, cette expression est un carré x + 2a
multiplié par un nombre réel a ; on peut
en déduire que ce trinôme sera alors du même signe que son coefficient dominant a.
−∞
x
Signe de (x − α)2
Signe de f (x) = a(x − α)2
+∞
α
+
+
signe de a
signe de a
– si le discriminant ∆ est positif alors le trinôme ax2 + bx + c peut se factoriser, et le
trinôme peut s’écrire
√ !
√ !
b
b
∆
∆
f (x) = a x +
x+
+
−
2a
2a
2a
2a
Il est alors possible
de compléter√un tableau de signes : les valeurs frontières sont les
√
−b− ∆
racines x1 = 2a et x2 = −b+2a ∆ , et on a (en supposant que x1 < x2 , sinon il n’y a
qu’à inverser) :
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−∞
x
x1
+∞
x2
Signe de x − x1
Signe de x − x2
Signe de (x − x1 )(x − x2 )
Signe de f (x) = a(x − x1 )(x − x2 )
signe de a
signe de -a
signe de a
Remarque(s) :
-Il peut être utile de visualiser l’allure de la courbe (voir page 6) pour vérifier ou compléter
ces tableaux de signes.
-Faire un tableau de signes permet par exemple de résoudre une inéquation.
Exercice 13.
1. Faire le tableau de signes des trinômes suivants :
1) 2x2 − 4x + 5
2) 2x2 − 5x + 2
3) −4x2 + 4x − 1
2. Résoudre les inéquations suivantes :
1) 2x2 − 4x + 5 < 0
2) 2x2 − 5x + 2 ≥ 0
3) −4x2 + 4x − 1 < 0
Exercice 14.
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = (2 − x)(2x2 − 5x + 1).
1. Résoudre l’équation f (x) = 0.
2. Donner, suivant les valeurs de x, le signe de f (x).
3. Déterminer, sans faire de calculs, le signe de f (25) et le signe de f (2, 0005).
Exercice 15.
Sur le dessin ci-contre sont représentées deux fonctions trinômes du second degré f et g.
1. On sait que le discriminant de f est
positif et celui de g négatif.
Indiquer, en justifiant, laquelle des
deux courbes représente f et laquelle
représente g.
2. f a pour racines 0 et 5 et de plus
f (1) = 2.
Déterminer l’expression de f (x).
7
3. g a un minimum en
et de plus
2
les courbes de f et g se coupent en
A(2; 3) et B(4; 2).
Déterminer l’expression de g(x).
5
4
3
2
1
−3
4. Vérifier en représentant graphiquement les fonctions f et g à partir des
expressions obtenues dans 2) et 3).
5. Calculer l’extrémum de f et celui de
g.
−2
1
−1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
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5
6
Exercice 16.
Un artisan fabrique des vases qu’il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqués sont
vendus. L’artisan veut faire une étude sur la production d’un nombre de vases compris entre
0 et 60.
Il estime que le coût de production en euros de x vases fabriqués est modélisé par la fonction
C dont l’expression est : C(x) = x2 − 10x + 500, où x appartient à l’intervalle [0; 60].
Chaque vase est vendu 50 euros.
1. Tracer dans un même repère la courbe (C ) représentant la fonction C et la droite (D)
d’équation : y = 50x.
2. Par lecture graphique, déterminer :
(a) le coût de production de 40 vases fabriqués.
(b) la production, à une unité près, qui correspond à un coût total de 1 300 euros.
3. On note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases fabriqués.
(a) Exprimer R(x) en fonction de x.
(b) Déterminer graphiquement le nombre de vases que l’artisan doit fabriquer pour
réaliser un bénéfice.
4. (a) Montrer que le bénéfice, en euros, réalisé par la fabrication et la vente de x vases,
est donné par la fonction B dont l’expression est B(x) = −x2 + 60x − 500, où x
appartient à l’intervalle [0; 60].
(b) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l’intervalle [0; 60].
(c) En déduire le nombre de vases à fabriquer et à vendre pour réaliser un bénéfice
maximal.
Exercice 17.
Voici un algorithme de résolution de l’équation ax2 + bx + c = 0 avec a 6= 0.
1. Compléter-le.
Variables :
Entrée :
Traitement
et sorties :
a, b, c, d, x, y sont des nombres réels
Saisir a, b, c
Affecter à d la valeur b2 − 4ac
Afficher d
Si d > 0 alors
|Affecter à x la valeur .........
|Affecter à y la valeur .........
|Afficher x, y
FinSi
Si d = 0 alors
|Affecter à x la valeur .........
|Afficher x
FinSi
Si ....... alors
|Afficher "Pas de solution"
FinSi
2. Coder cet algorithme dans le langage de votre calculatrice.
3. Résoudre les équations suivantes à l’aide de votre programme :
1) 4x2 + 8x − 5 = 0
2) −3x2 − x + 2 = 0
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