Second degré - Lux-M@th

TRINÔME DU SECOND
DEGRÉ
Activité de recherche : Résoudre un problème démographique
A l’issue d’une étude, des démographes font des projections concernant la population de deux
villages A et B de la campagne tarnaise pour les 50 prochaines années.
Ils estiment que l’effectif de la population du village A dans nannées à compter d’aujourd’hui
peut être modélisé et calculé grâce à la fonction suivante : P:n→3500 −n2+ 69n.
Il est prévu que l’effectif de la population du village B décroisse de façon affine. Alors qu’au-
jourd’hui, l’effectif est de 4300, il devrait être de 4000 dans 20 ans. On note R(n)l’effectif de
la population du village B dans nannées à compter d’aujourd’hui.
On se demande en quelle année, l’écart entre le nombre d’habitants sera le plus grand.
Déterminer ce nombre d’années par la méthode de votre choix. On reviendra en fin de chapitre
sur de nouveaux outils.
I Généralités :
1. Fonction trinôme du second degré :
On appelle fonction trinôme du second degré , toute fonction fdéfinie sur R
par f(x) = ax2+bx +c;a,b, et cétant trois réels avec a non nul.
EXEMPLES :
Les fonctions f,get hdéfinies sur Rpar f(x) = 2x2−3x+ 1 ;g(x) = −x2+ 3 et
h(x) = 1
2x2−2x.
Donnez pour chacune d’elle les coefficients : Pour f,a=..... ; b=..... et c=......
Pour g,a=..... ; b=..... et c=...... Pour h,a=..... ; b=..... et c=......
Remarque(s) : On utilisera parfois l’expression "trinôme" au lieu de "trinôme du second
degré".
L’expression sous la forme f(x) = ax2+bx +cest appelée forme développée de la
fonction.
Il existe d’autres expressions de cette fonction :
- la forme canonique :f(x) = a(x−α)2+β;αet βétant deux réels.
- la forme factorisée :f(x) = a(x−x1)(x−x2);x1et x2étant deux réels.
Exercice 1.
On considère la fonction trinôme gdont la forme canonique est g(x) = 3[(x−1)2−9].
(a) Déterminer la forme développée et la forme factorisée de g.
(b) Calculer g(0),g(1),g(4) et g(√2).
(c) Résoudre l’équation g(x) = 0.
2. Racine :
On appelle racine d’une fonction trinôme ftout réel x0pour lequel f(x0) = 0.
Remarque(s) :
Les racines d’une fonction trinôme fsont les solutions de l’équation f(x) = 0.
A ne pas confondre avec "racine carrée".
Exercice 2.
Déterminer un trinôme dont 1et −3soient racines.
Exercice 3.
Montrer que le trinôme −x2+ 2x+ 1 a pour racine 1−√2.
Exercice 4.
Résoudre les équations du second degré :
1) x2−6x= 0 2) 3x2−9 = 0 3) 2x2+ 7 = 0.
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3. Discriminant :
Exercice 5.
(a) Compléter :
1) x2+ 6x+... = (x+...)22) x2−...x +9
4= (x−...)2
(b) Compléter :
1) x2+ 4x−5 = (x+...)2−... 2)x2−3x+ 4 = (x−...)2+...
(c) Compléter :
1) 2x2+ 4x−5 = 2[(x+...)2−...] 2) −3x2+ 6x+ 4 = −3[(x−...)2+...]
D’une manière générale, on considère le trinôme f(x) = ax2+bx +c;a6= 0.
On peut écrire f(x) = ax2+b
ax+c a=a"x+b a2
−b2
4a2+c a#=a"x+b a2
−b2
4a2+4ac 4a2#.
Donc f(x) = a"x+b
a2
−b2−4ac
4a2#
On considère le trinôme f(x) = ax2+bx +c;a,b, et cétant trois réels avec a non nul.
On appelle discriminant du trinôme et on note ∆le nombre réel ∆ = b2−4ac.
Remarque(s) :
L’écriture f(x) = a"x+b
2a2
−∆
4a2#est appelée forme canonique du trinôme.
Elle n’a pas à être mémorisée, celle du discriminant doit l’être.
En seconde, on obtenait en effet la forme canonique sous la forme
f(x) = a(x−α)2+βavec α=−b
2aet β=f(α).
II Étude des trinômes (rappels de 2nde) :
1. Courbe représentative d’une fonction du second degré :
Exercice 6. Donner la forme canonique de la fonction fdéfinie sur R
par f(x) = 2x2−8x+ 11.
α=...... =........ β =f(α) = ...................
Donc f(x) = ..........................
Représentation graphique d’une fonction trinôme du second degré :
Le plan est rapporté au repère orthogonal (O;−→ i , −→ j).
Soit fla fonction trinôme du second degré définie par f(x) = ax2+bx +c, et soit Cfsa
courbe représentative. Soit Pla parabole d’équation (y=ax2).
On obtient Cfen appliquant à Pla translation de vecteur α
β. Ainsi, Cfest elle-même
une parabole, de sommet le point d’abscisse α=−b
2a.
La droite d’équation x=−b
2aest axe de symétrie de Cf.
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Exercice 7.
On veut représenter la fonction fdéfi-
nie sur Rpar :
f(x) = 2x2−8x+ 11
On a f(x) = .........................
Il suffit d’appliquer une translation de
vecteur ...
...à la parabole d’équation
(y= 2x2).
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5−0.5−1.0−1.5
P
2. Variations de la fonction :
On peut déduire des tableaux de variations de la fonction x7−→ ax2le tableau de varia-
tions de la fonction foù f(x) = ax2+bx +c; cela dépend du signe de a:
– Si a > 0: les branches de la parabole sont dirigées vers le ............
x−∞ −b
2a+∞
variations
de x7→ ax2
x−∞ −b
2a+∞
variations
de x7→ f(x)
– Si a < 0: les branches de la parabole sont dirigées vers le ............
x−∞ −b
2a+∞
variations
de x7→ ax2
x−∞ −b
2a+∞
variations
de x7→ f(x)
Exercice 8. Donner les tableaux de variation des fonctions fet gsuivantes :
f(x) = 2x2+ 6x+ 15 g(x) = −3x2+ 6x+ 2
x−∞ +∞
variations
de x7→ f(x)
x−∞ +∞
variations
de x7→ g(x)
Indiquer la position de la courbe dans un repère orthogonal (O;−→ i , −→ j).
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III Factorisation des trinômes :
On se donne le trinôme du second degré f(x) = ax2+bx +c= 0 ;a6= 0.
La forme canonique du trinôme fest donnée par f(x) = a(x−α)2+β
On peut l’écrire également sous la forme suivante (en factorisant le coefficient dominant a) :
f(x) = a"x+b
2a2
−∆
4a2#
Il est alors, dans certains cas, possible de factoriser l’expression entre crochets :
–si le discriminant ∆est négatif, alors l’expression entre crochets n’est pas factorisable.
Le trinôme n’a pas de racines.
–si le discriminant ∆est nul, alors le trinôme fest déjà factorisé, puisqu’il s’écrit
f(x) = ax+b
2a2
Le trinôme a une racine double : x0=−b
2a.
–si le discriminant ∆est positif, alors l’expression entre crochets est du type A2−B2,
avec A=x+b
2aet B=√∆ 2a.
On a alors la factorisation suivante (de la forme (A−B)(A+B)) :
f(x) = a x+b
2a+√∆ 2a! x+b 2a−√∆ 2a!
Le trinôme a deux racines : x1=−b−√∆
2aet x2=−b+√∆ 2a.
Pour résumer : si f(x) = ax2+bx +c, de discriminant ∆ = b2−4ac
Si ∆<0Si ∆ = 0 Si ∆>0
pas de f(x) = a(x−x0)2f(x) = a(x−x1)(x−x2)
Factorisation de f: factorisation où x0=−b
2aoù x1=−b−√∆ 2a
possible et x2=−b+√∆
2a
Remarque(s)
- L’utilisation du discriminant concerne uniquement les équations du second degré. On ne peut
pas les utiliser dans d’autres cas( équation du troisième degré par exemple).
- Dans certains cas il n’est pas utile de l’utiliser (en général si bou cest nul).
Exercice 9.
Pour les équations du second degré suivantes, entourer-les quand l’utilisation du discriminant
est utile pour les factoriser. Sinon, donner cette factorisation.
1) 2x2−x+ 1 2) x2−5x3) 4−x2
4) x3−x5) 1
2x2+ 3x−56) x2 4+3 7
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Exercice 10. Factoriser si possible les expressions suivantes.
f(x) = 2x2−5x+ 7
∆ =.....................................................................................
D’où ...................................................................................
g(x) = −3x2+ 18x−27
∆ =.....................................................................................
D’où ...................................................................................
h(x) = 5x2−x−4
∆ =.....................................................................................
D’où ...................................................................................
IV Résolution d’équations du second degré :
Soit fune fonction du second degré définie sur Rpar f(x) = ax2+bx +c,a6= 0, de
discriminant ∆ = b2−4ac. On veut résoudre f(x) = 0.
Grâce aux résultats précédents, f(x) = 0 ⇔a"x+b
2a2
−∆
4a2#= 0
-Si ∆<0alors l’expression entre crochets est la somme d’un carré et d’un nombre stricte-
ment positif. Cette expression, strictement positive, ne pourra jamais s’annuler.
Il n’y a pas de solution réelle à cette équation.
-Si ∆ = 0 alors l’équation peut s’écrire : ax+b
2a2
= 0.
Il y a une unique solution à cette équation, dite double c’est x0=−b
2a.
-Si ∆>0alors l’expression entre crochets se factorise, l’équation peut s’écrire :
a x+b
2a−√∆ 2a! x+b 2a+√∆ 2a!= 0 ⇔a x−−b+√∆ 2a! x−−b−√∆ 2a!= 0.
Il y a deux solutions distinctes : x1=−b−√∆
2aet x2=−b+√∆ 2a.
Exercice 11.
On considère les fonctions fet gdéfinies par f(x) = x2et g(x) = 2x+ 2.
Représenter fet gsur le même graphique.
Déterminer les abscisses des points d’intersection des deux courbes.
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