PROBABILITÉS : CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE Ω

PROBABILITÉS : CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE
 = {e 1 ; e 2 ; e 3 ; … ; e n} désigne l’univers d’une expérience aléatoire, sur lequel est définie une loi de
probabilité, et P la probabilité associée à cette loi de probabilité.
I.
PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
1)
Définition
Définition 1 Soit A un événement de  tel que P (A)  0.
Pour tout événement B, on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A
le réel noté PA (B) , défini par : PA (B) = P (A  B) .
P (A)
On admet que PA est une probabilité sur  .
Propriété 1
Soit A et B deux événements de  tel que P (A)  0 et P (B)  0.
P (A  B) = P (A)  PA (B) = P (B)  PB (A)
Propriété 2
Soit A ,B et C trois événements de , avec P (A)  0.
 0  PA (B)  1  PA (A) = 1
;
PA ( A ) = 0
 PA ( B ) = 1 – PA (B)
 A et B sont incompatibles si, et seulement si, PA (A  B) = 0
 PA (B  C) = PA (B) + PA (B) – PA (A  B)
En particulier, si B et C sont incompatibles : PA (B  C) = PA (B) + PA (B)
On peut utiliser arbre pondéré.
PA (B)
B
→ événement A  B
;
P (A  B) = P (A)  PA (B)
B
→ événement A  B
;
P (A  B ) = P (A)  PA ( B )
B
→ événement A  B
;
P ( A  B) = p ( A )  P
B
→ événement A  B
;
P ( A B) = P ( A) P
A
P (A)

PA ( B )
P A (B)
P ( A)
A
(B)
A
P A(B)




A
(B)
Une branche est représentée par un segment ; chacune porte une probabilité (son « poids »).
Un nœud est la jonction de plusieurs branches.
La somme des probabilités portées sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.
Ainsi pour le nœud  on a PA (B) + PA ( B ) = 1.
Un chemin est l’événement réalisé en suivant des branches successives.
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées sur ses branches.
Ainsi le chemin en gras correspond à l’événement A  B et sa probabilité est P (A  B ) = P (A)  PA ( B ).
P (B) = P (B  A) + P (B  A ) = P (A)  PA (B) + P ( A )  P A (B)
On dit que la probabilité d’un événement (ici B) est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.
Cette égalité est appelée formule des probabilités totales (voir le paragraphe suivant).
1/3
exercice 1 Dans un mélange de graines de fleurs roses et de fleurs jaunes, 70 % sont des graines de fleurs roses.
On sait que 60 % des graines de fleurs roses et 80 % des graines de fleurs jaunes germent correctement.
On sème une graine prise au hasard dans le mélange.
On considère les événements R : « la graine est de fleur rose », J ; « la graine est de fleur jaune »
et G : « la graine germe correctement ».
1) Représenter la situation décrite dans l’énoncé par un arbre pondéré.
Les probabilités portées par les branches seront déterminées au fur et à mesure de l’exercice.
2) Déterminer P (R) et P (J).
3) À quelle probabilité conditionnelles correspondent les pourcentages 60 % et 80 % ?
En déduire PR ( G ) et PJ ( G ).
4) Décrire par une phrase l’événement R  G puis calculer les probabilités P (R  G) et P (J  G).
En déduire la probabilité que la graine prise au hasard germe correctement.
2)
Formule des probabilités totales
Définition 2 Dire que des événements forment une partition de l’univers  signifie qu’ils ne sont pas
impossibles, qu’ils sont deux à deux disjoints et que leur réunion est .
Par exemple, dans l’exercice 1, les événements R et J forment une partition de l’univers.
De manière générale un événement et son contraire forment une partition de l’univers.
Théorème 1 Soit A1, A2, …, An des événements de probabilités non nulles
formant une partition de l’univers Pour tout événement B de  :
P (B) = P (B  A1) + P (B  A2) + … + P (B  An)
P (B) = P (A1)  PA ( B) + p (A2)  PA ( B) + … + p (An)  PA (B) .
1
2
n
On a donc
P (A1) + P (A2) + … + P (An) = 1
Lorsqu’on utilise une des ces
égalités on écrit : « d’après la
formule des prob. totales … »
exercice 2 Un musée très fréquenté propose à la vente trois sortes de billets :
 au prix de 5 €, un billet pour visiter uniquement le fonds permanent des collections ;
 au prix de 3 €, un billet pour visiter uniquement une exposition temporaire ;
 au prix de 6 €, un billet pour visiter uniquement le fonds permanent et l’exposition temporaire.
Le musée propose à la vente un catalogue sur l’exposition temporaire. On a recueilli les données suivantes :




85 % des visiteurs visitent le fonds et 35 % des visiteurs visitent l’exposition.
35 % des personnes qui ne visitent que l’exposition achètent le catalogue.
25 % des personnes qui visitent le fonds et l’exposition achètent le catalogue.
97 % des visiteurs du seul fonds n’achètent pas le catalogue.
Un visiteur se présente à l’entrée du musée et achète un billet. On considère les événements suivants :
F « le visiteur achète un billet à 5 € », E « le visiteur achète un billet à 3 € », M « le visiteur achète un billet à 6 € »
et C « le visiteur achète le catalogue ».
1) Traduire les données par un arbre pondéré.
2) Déterminer la probabilité que le visiteur achète le catalogue après avoir visité le fonds et l’exposition.
3) Déterminer la probabilité que le visiteur achète le catalogue.
II. INDÉPENDANCE
1)
Indépendance de deux événements
Définition 3 On dit que deux événements A et B de  sont indépendants
pour la probabilité P lorsque P (B  A) = P (A)  P (B) .
Propriété 3
En pratique, on omet de préciser
« pour la probabilité P » car il
n’y a jamais ambiguïté.
Soit A et B deux événements de  de probabilités non nulles.
A et B de  sont indépendants si, et seulement si, PA (B) = P (B) (ou PB (A) = P (A) )
remarques :  La probabilité de l’un des événement ne dépend pas de la réalisation de l’autre.
 Deux événements de probabilités non nulles ne peuvent pas être incompatibles et indépendants en même temps.
 A et  (événement certain) d’une part, A et  (événement impossible) sont indépendants.
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exercice 3
P (A) = 0,2 ; P (A  B) = 0,08 et P (A  B) = 0,5. Calculer P (B). A et B sont-ils indépendants ?
exercice 4
P (A) = 0,4 ; P (B) = 0,5 et P ( A  B ) = 0,3. A et B sont-ils indépendants ?
Calculer P (A  B) et P (A  B). A et B sont-ils indépendants ?
exercice 5 Des études statistiques menées sur le lancer
d’un dé pipé ont permis d’obtenir les résultats ci-contre.
issue
probabilité
1
0,4
2
3
0,15
4
5
0,2
6
0,05
On considère les événements : A « on obtient un résultat pair » et B : « on obtient un résultat inférieur à 4 ».
1) Déterminer si A et B sont indépendants.
2) Déterminer si A et B sont indépendants dans le cas d’un dé non pipé.
exercice 6 On interroge les parents d’une famille pour connaître le rhésus sanguin de leurs enfants : + ou – .
On suppose que les rhésus + et – sont également répartis parmi les enfants.
On considère les événements : A « les enfants n’ont pas tous le même rhésus »
et B « un enfant au plus est de rhésus – »
1) On se place dans le cas d’une famille ayant deux enfants.
a) Construire un arbre représentant toutes les issues.
b) Déterminer P (A) , P (B) et P (A  B). A et B sont-ils indépendants ?
2) On se place maintenant dans le cas d’une famille ayant trois enfants.
a) Compléter l’arbre précédent pour représenter toutes les issues.
b) Déterminer P (A) , P (B) et P (A  B). A et B sont-ils indépendants ?
2)
Répétitions d’expériences indépendantes
Définition 4 On dit que des d’expériences aléatoires répétées sont indépendantes lorsque le déroulement
de l’une d’entre elles n’a aucune influence (de façon intuitive) sur le déroulement des autres.
Les lancers successifs d’une pièce, d’un dé … la répétition de tirages, avec remise entre chaque tirage, les réponses
à un questionnaire … sont des expériences indépendantes.
Exemple :
On lance un dé cubique où figurent 1, 2, 2, 2, 3, 3, puis une pièce, puis un dé tétraédrique
où figurent 1, 1, 1, 2 . La réalisation de ces trois expériences indépendantes constitue une nouvelle
expérience comportant 12 issues ou listes de résultats.
On a : P (3 ; F ; 1) =
Propriété 4
exercice 7
3)
et
3 × 2 × 2 = 12
p (2 ; F ; 2) =
Lors de la répétition d’expériences aléatoires indépendantes, la probabilité d’une liste de
résultats est égale au produit des probabilités de chacun de ces résultats.
Sur le trajet d’un automobiliste se trouvent trois feux tricolores. Ces feux n’ont pas été synchronisés
(ils fonctionnent de manière indépendante). Le cycle de chacun d’eux est réglé ainsi : 35 s au vert, 5 s
à l’orange et 20 s au rouge. Calculer la probabilité des événements suivants :
 A : « Il rencontre deux feux verts puis un feu rouge » ;
 B : « Il rencontre un feu rouge puis deux feux verts » ;
 C : « Il rencontre un feu rouge et deux feux verts » ;
 D : « Il rencontre exactement deux feux verts ».
Variables aléatoires indépendantes
Définition 5 Soit X et Y deux expériences aléatoires sur  prenant respectivement les valeurs x1, x2 , … , xk
et y1, y2 , …, yp , avec k  n et p  n .
On dit que X et Y sont indépendantes lorsque les événements (X = xi) et (Y = yj) sont
indépendants pour tous les entiers i et j compris entre 1 et respectivement k et p.
3/3
INTRODUCTION
Le tableau ci-contre établit le décompte des fumeurs dans un groupe de 300 personnes.
Fumeurs
Non fumeurs
Total
Hommes
140
60
200
Femmes
40
60
100
Total
180
120
300
On interroge au hasard une personne de ce groupe.
Soit les événements A : « On interroge un homme » et B : « On interroge un fumeur».
1) Calculer P (A), P (B) et P (A ∩ B).
2) On sait que la personne interrogée est un homme.
Quelle est la probabilité qu’il fume ?
Vérifier que cette probabilité est égale à
P (A  B)
P (A)
1) On a un univers avec 300 issues équiprobables.
P (A) =
;
P (B) =
= 0,6 ; P (A ∩ B) =
2) On a un nouvel univers avec 300 issues équiprobables.
La probabilité cherchée est égale à
=
×
= 0,7.
= 0,7.
Cette probabilité est notée PA (B).
On lit « Probabilité de B sachant A » ou « P de B sachant A ».