- UVT e-doc - Université Virtuelle de Tunis
Analyse Complexe
Hajer Bahouri,Mohamed Majdoub,Amor Nakouri
Université Virtuelle de Tunis
2009
Ce module porte sur l’analyse complexe. On se concentre sur l’étude des fonctions holomporphes et
leurs propriétés particulières : propriétés a priori surprenantes, au sens ou rien d’analogue n’existe
pour les fonctions différentiables même indéfiniment différentiables. Le principal but du cours est
de définir la notion de fonctions holomorphes et de mettre à jour les premières propriétés
particulières.
Introduction
Le module s'adresse d'abord aux étudiants de Licence(L3) de Mathématiques. Il s'inscrit dans
le programme du diplôme L3 de Mathématiques. L'étudiant ou l'étudiante devrait avoir une
connaissance de base en L1 et L2. Il a comme préalable tous le(s) module(s) de L1 et L2.
Ce « Guide d'étude » a pour objectif de vous préparer à suivre le cours. Il définit en quelque
sorte un mode d'emploi, non seulement pour le matériel didactique du cours, mais aussi pour
le cheminement que vous devez adopter et les différentes exigences auxquelles vous devez
répondre.
But et objectifs du cours
Le but de ce module est de mettre à jour les propriétés des fonctions holomorphes. Plus
spécifiquement, au terme de ce module, l'étudiant ou l'étudiante sera en mesure :
• De se familiariser avec la notion d’holomorphie : Définition de la notion d’holomorhie se
traduisant par les conditions de Cauchy-Riemann.
• De noter la relation entre l’holomorphie et les applications conformes : si on transforme par
une fonction holomorhe de dérivée non nulle deux courbes se coupant en faisant un angle
orienté, les courbes images font entre elles le meme angle orienté.
• Etudier les séries entières : rayon de convergence, étude sur le cercle de convergence…
• D’être capable de développer une fonction holomorphe en une série entière.
• Calculer les résidus.
• Calculer certaines intégrales par la méthode des résidus : outil puissant pour le calcul de
certaines intégrales.
• Bien retenir les propriétés particulières des fonctions holomorphes : zéros isolés,
prolongement unique, principe du maximum, principe du minimum, lemme de Shwarz,
caractérisation des automorphismes du disque unité,…• Etudier et caractériser les fonctions
méromorphes.
• Poser le problème des primitives pour les fonctions holomorhes.• Topologie de l’espace des
fonctions holomorhes.
• Construction d’une fonction holomorphe ayant des zéros fixés par la méthode des produits
infinis.
Chapitre 1
Fonctions holomorphes
1 Complexe di¤érentiabilité
Dé…nition 1.1
On dit que f: C!Cest C-di¤érentiable en z02o
s’il existe une
application C-linéaire L:C!Ctelle que
lim
h!0
h2C
jf(z0+h)f(z0)L(h)j
jhj= 0:(1)
Si fest C-di¤érentiable au point z0, alors l’application Lvéri…ant (1) est
unique. Le nombre complexe L(1) s’appelle la dérivée (par rapport à z) de f
au point z0, on la note
df
dz (z0) = f0(z0) = lim
z!z0
f(z)f(z0)
zz0
:
Exercice
Véri…er que la fonction puissance f(z) = zn, où n2N, est partout
C-di¤érentiable dans Cet donner sa dérivée.
Solution
En e¤et, on a pour tout z02C,
zn=zn
0+ (zz0)f1(z)
avec
f1(z) = zn1+z0zn2+ +zn2
0z+zn1
0
ce qui montre que f0(z0) = nzn1
0:
Exercice
Montrer que la fonction conjuguée f(z) = zn’est C-di¤érentiable en
aucun point de C.
Solution
En e¤et, pour tout z02C
f(z0+h)f(z0)
h=
h
h; h 6= 0;
1
or
h
ha pour valeur 1 lorsque h2Ret pour valeur 1lorsque h2iRet par
conséquent n’admet pas de limite lorsque h!0.
2 Complexe et réel-di¤érentiabilité
Soit
f: C! C
z=x+iy 7! f(z) = u(x; y) + iv(x; y)
une application d’un ouvert non vide Cdans Cet soit z0=x0+iy02.
Proposition 2.1
Si fest C-di¤érentiable en z0alors @f
@x (z0)et @f
@y (z0)existent et véri…ent
l’équation de Cauchy-Riemann
@f
@y (z0) = i@f
@x (z0)
ou, de manière équivalente
(@u
@x (x0; y0) = @v
@y (x0; y0)
@u
@y (x0; y0) = @v
@x (x0; y0)(2)
Preuve
Le résultat découle trivialement du fait que la limite obtenue en approchant
z0parallèlement à l’axe des xest la même que celle obtenue en approchant z0
parallèlement à l’axe des y. En e¤et, on a par dé…nition
f0(z0) = lim
h!0
u(x0+h; y0)u(x0; y0)
h+ilim
h!0
v(x0+h; y0)v(x0; y0)
h
= lim
h!0
u(x0; y0+h)u(x0; y0)
ih +ilim
h!0
v(x0; y0+h)v(x0; y0)
ih
Ce qui entraîne que uet vadmettent des dérivées partielles en (x0; y0)satis-
faisant les équations di¤érentielles de Cauchy-Riemann (2).
La réciproque de la proposition précédente n’est pas vraie. Il existe des fonctions
non C-di¤érentiables qui admettent des dérivées partielles véri…ant les équations de
Cauchy-Riemann. Par exemple, si on considére la fonction
f(z) = f(x; y) = 8
>
>
<
>
>
:
xy(x+iy)
x2+y2si z6= 0 0 si z= 0:
0si z= 0:
2
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