Plan de l`exposé - Internet Infopub

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Mat2070 UQÀM
Chapitre 2. Modèle Uniforme et analyse combinatoire
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Plan de l’exposé
•Modèle uniforme
•Règle de multiplication
•Règles d’arrangements
–Arrangements avec répétitions
–Arrangements sans répétition
–Exemples
Règle de permutations
–Permutations avec répétitions
–Permutations sans répétition
–Exemples
•Règle de combinaisons
–Combinaisons avec remise
–Combinaisons sans remise
–Exemples
•Propriétés des combinaisons
–Exemples
•Exercices
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Modèle uniforme
Lorsque Sest fini ou dénombrable et que la probabilité p(s)de chaque élément
sde Sest connue, On peut obtenir la probabilité de n’importe quel événement
Aen calculant
Pr(A)=
s∈A
p(s).
Quand Sest fini, il arrive fréquemment que, grâce à une symétrie globale, il
soit évident pour chaque élément des éléments de Sait la même probabilité.
On aura alors, pour chaque élément s∈S,
p(s)= 1
Card(S),
où Card(S)désigne la cardinale de S.
Quand tous les éléments de Ssont équiprobables, on dit que le modèle est
uniforme.
Le Calcul de la probabilité d’un événement Ase réduit alors à
Pr(A)= Card(A)
Card(S).
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Exemple 1.
On lance trois dés. Quelle est la probabilité que la somme des points
obtenus soit exactement 7?
Solution:
Considérons alors les dés distincts, on a 63= 216 résultats possibles.
Card(S) = 216.Par symétrie, tous les résultats sont équiprobables et on
est donc bien dans le modèle uniforme. Il reste donc à dénombrer
l’ensemble des résultats où la somme est 7.
Posons A:"la somme est 7 ".
A={(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(1,4,2)(1,5,1),(2,1,4),(2,2,3),(2,4,1),
(2,3,2),(3,1,3),(3,2,2),(3,3,1),(4,1,2),(4,2,1),(5,1,1)}
Donc Card(A)=15et
Pr(A)= 15
216 =5 72 .
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Exemple 2.
Une urne contient 2 balles blanches et 3 balles noirs. On tire au hazard (et
sans remplacement) 3 balles de l’urne. Quelle est la probabilité que ces
trois balles soient formées de 2 blanches et une noire?
Solution:
Désignons par b1et b2les balles blanches et n1,n2et n3les balles noires.
En ne tenant pas compte de l’ordre des tirages, l’ensembles Scontient 10
éléments qui sont
S={(b1,b
2,n 1),(b1,b 2,n 2),(b1,b 2,n 3),(b1,n 1,n 2),(b1,n 1,n 3),
(b1,n
2,n 3),(b2,n 1,n 2),(b2,n 1,n 3),(b2,n 2,n 3),(n1,n 2,n 3)}
Posons A:"on a tiré 2 balles blanches et 1 balle noirs ".
A={(b1,b
2,n 1),(b1,b 2,n 2),(b1,b 2,n 3)}
Donc
Pr(A)= 3
10
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Analyse combinatoire
Dans les deux exemples qui précédent, on a peu calculer la probabilité désirée
en determinant au long tous les éléments de Aet de S.Ilvadesoiquecette
méthode devient lourde si les ensembles à étudier sont très grands. Il nous faut
des outils, des formules permettant de dénombrer les ensembles sans avoir à
dresser la liste de tous leurs éléments.
Règle de multiplication:
Considérons une expérience qui est le résultat de kexpériences ayant
respectivement n1,n
2,...,n
krésultats possibles. Il y a alors
n1×n2×...×nkrésultats possibles à l’expérience. De plus, si les
résultats de chaque expérience sont équiprobables, les n1×n2×...×nk
résultats sont équiprobables.
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Exemples.
Example 1. On lance deux dés. Cette expérience aléatoire est en fait constituée
de deux expériences indépendantes : le lancer du premier dé et le lancer du
deuxième dé. Il y a 6 résultats possibles à la première expérience et 6
résultats possibles à la deuxième expérience. Cela veut dire qu’il y a
6×6=36résultats possibles pour le lancer de deux dés. Puisque les deux
expériences ont chacune 6 résultats équiprobables, les 36 résultats sont
équiprobables.
Example 2. On veut déterminer le nombre de plaques d’immatriculation qu’il
est possible de construire avec une série de 3 lettres suivie d’ une série de 3
chiffres. Cette expérience est composée de 6 expériences, soit choisir la
première lettre, choisir la deuxième lettre, choisir la troisième lettre,
choisir le premier chiffre, choisir le deuxième chiffre, choisir le troisième
chiffre. Il y a 26 résultats possibles pour le choix d’une lettre et 10
résultats possibles pour le choix d’un chiffre. Cela veut dire qu’il existe
26 ×26 ×26 ×10 ×10 ×10 = 17 576 000
plaques différentes.
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Exemple (suite).
Si une plaque est choisie au hasard au bureau des véhicules automobiles et
qu’on cherche la probabilité d’obtenir une plaque se terminant par «007»,
il faut évaluer la cardinalité de l’ensemble A:{une plaque a «007»}.
L’ensemble Acontient toutes les plaques ayant «007» fixé. Cela veut dire
qu’il y a 26 possibilités pour la première lettre, 26 pour la deuxième et 26
pour la troisième d’où Card(A)=26×26 ×26 = 17 576.
La probabilité de Aest donc
Pr (A)= Card(A)
Card(S)=17576 17576000 =1 1000
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Example 3.
La voiture ”Galaxie” peut être livrée avec un choix de 5 couleurs, de 3
types de moteur, toit ouvrant ou non et en version automatique ou non.
Le nombre de ”galaxie” différentes est donc de 5×3×2×2=60
Exemple 4.
Le menu d’un restaurant offre 3 sortes de soupe, 10 plates principaux et 6
desserts différents. Combien y a-t-il de façons de commander un repas
complet comprenant soupe, plat principal et dessert?
C’est: 3×10 ×6 = 180.
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Exemple introductif:
On considère un ensemble Eayant 3 éléments, E={a, b, c}, choisir 2
éléments dans cet ensemble peut se faire donc de plusieurs manières
différentes suivant que l’on ordonne les éléments et que l’on autorise la
possibilité de choisir plusieurs fois le même objet ou non. On visualise tous
les cas possibles dans le tableau ci-dessous:
les répétitions
sont permises
les répétitions ne
sont pas permises
l’ordre est
important
aa ab ac
ba bb bc
ca cb cc
ab ac
ba bc
ca cb
l’ordre n’a pas
d’importance
aa ab ac
bb bc cc ab ac bc
Donc, dans un problème de dénombrement, on a à calculer le nombre de
façons qu’il y a de choisir kobjets parmi n. Selon qu’il soit ou non permis
de choisir plus d’une fois le même objet et selon qu’on tienne compte ou
non de l’ordre dans lequel les objets sont choisis. Les formules de
dénombrement sont donc différentes.
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