Chapitre XI Racine carrée d`un nombre positif Paragraphe I : Activité
Chapitre XI Racine carrée d'un nombre positif
Paragraphe I : Activité d'introduction sur des carrés d'aire A donnée
Trouver la valeur exacte du côté c de chaque carré.
Pour le côté du dernier carré d'aire 2 cm², nous avons approché sa valeur « par
dichotomie » en constatant d'abord que son côté était nécessairement compris entre 1 et 2
puisque
1²
2
2²
. Puis, nous avons précisé le côté en testant 1,5 ²=2,25 (trop grand) puis
1,4²=1,96 (trop petit). Et ainsi de suite... Le procédé ne prend jamais fin!
Le côté d'un carré d'aire 2 vaut environ 1,41 (c'est un nombre irrationnel, c'est à dire
qu'on ne peut pas écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers) et s'écrit
EXACTEMENT racine de 2, ce qu'on note
2
Ce nombre a la même nature que
π
La racine de 2, c'est LE nombre POSITIF qui, élevé au carré vaut 2.
« illustration » :
2
2
Définition : LA racine carrée d'un nombre positif
a
, c'est LE nombre positif qui
lorsqu'il est élevé au carré vaut
a
. Ce nombre se note
a
Autrement dit
a
2
=
a
Illustration : a est un nombre POSITIF
a
a
A=1cm²
c=1 cm car 1²=1
A=4 cm² A=1,44 cm²
c=1,2 cm car
1,2²=1,44
A= 2 cm²
c=2 cm car 2²=4
Mettre au carré
Prendre la racine carrée
Mettre au carré
Prendre la racine carrée
Paragraphe II Liste des carrés parfaits et des racines parfaites
A connaître par coeur
1
2
=
1
;
2
2
=
4
;
3
2
=
9
;
4
2
=
16
;
5
2
=
25
;
6
2
=
36
;
7
2
=
49
;
8
2
=
64
;
9
2
=
81
;
10
2
=
100
;
11
2
=
121
;
12
2
=
144
;
13
2
=
169
;
14
2
=
196
;
15
2
=
225
Dans l'autre sens à connaître aussi par coeur!
1
=
1
;
4
=
2
:
9
=
3
;
16
=
4
;
25
=
5
;
36
=
6
;
49
=
7
;
64
=
8
;
81
=
9
100
=
10
;
121
=
11
;
144
=
12
;
169
=
13
;
196
=
14
;
225
=
15
Toutes les racines « entre » ces racines parfaites ne seront pas des nombres entiers, le but
de ce chapitre est d'apprendre à maîtriser des règles qui vont nous permettre de simplifier
l'écriture de racines non parfaites comme
12 qui deviendra 2
3
Paragraphe III : Opérations et racines carrées
Propriétés :
a et b sont des nombres positifs
a
×
b
=
a
×
b
a
b
=
a
b
(avec a et b positifs et b non nul!)
Application : Ces 2 propriétés permettent d'exprimer des radicaux (des racines carrées)
complexes plus simplement
Par exemple
32
=
16
×
2
=
4
2
×
2
=
4
2
×
2
=
4
×
2
on écrit
4
2
Remarque on aurait pu écrire
32
=
4
×
8
=
4
×
8
=
2
2
×
8
=
2
×
8
=
2
8
Il est plus simple d'écrire
4
2que 2
8
, on cherchera TOUJOURS le plus GRAND
carré parfait sous la racine
Autrement dit on cherchera la forme
a
2
×
b
avec a le plus grand possible ( b est le plus
petit possible!)
Simplifier au maximum
72 ;
150 ;
288 ;
96
72
=
36
×
2
=
6
2
×
2
=
6
2
150
=
5
2
×
6
=
5
2
×
6
=
5
6
288
=
144
×
2
=
12
2
×
2
=
12
2
96
=
16
×
6
=
4
2
×
6
=
4
6
Au brevet, on nous demandera par exemple d'écrire plus simplement
725
288
On trouve
72
5
288
=
6
2
5
×
12
2
=
6
2
60
2
=
66
2
(grâce aux
calculs réalisés précédemment)
Paragraphe IV : Utilisation des règles de calcul
Exercice type 1 : Extraire une racine parfaite
La méthode : on cherche dans 72 le plus grand carré parfait c'est à dire 72=a² b avec a le
plus grand possible (quelques exemples au paragraphe II déjà)
72
=
36
×
2
=
6
2
×
2
=
6
2
×
2
=
6
2
128
=
8
2
×
2
=
8
2
×
2
=
8
2
150
=
5
2
×
6
=
5
2
×
6
=
5
6
Exercice type 2 : réduire une somme de racines
A
=
72
2
128
3
18
Exprimer sous la forme
a
2
On vient de trouver
72
=
6
2
128
=
8
2
et
18
=
9
×
2
=
3
2
×
2
=
3
2
×
2
=
3
2
Et finalement :
A=
722
1283
18=6
22×8
23×3
2
A=6
216
29
2
A
=
19
2
Remarque : c'est comme si on avait 6x-16x-9x=-19x
Exercice type 3 : Développer une expression comportant des racines carrées
A
=
4
×
5
3
A
=
20
4
3
B
=
1
2
×
2
2
B
=
2
1
2
2
2
2
2
B
=
2
1
2
2
B
=
2
on écrit
2plutôt que 1
2
C
=
1
5
2
on reconnait la 1ère IR avec a
=
1et b
=
5
C
=
1
2
2
×
1
×
5
5
2
C
=
1
2
5
5
C
=
6
2
5
D
=
2
3
2
On reconnait la 2ème IRavec a
=
2et b
=
3
donc a
2
2ab
b
2
D
=
2
2
2
×
2
×
3
3
2
D
=
4
4
3
3
D
=
7
4
3
E
=
2
3
2
3
On reconnait la 3ème IR avec a
=
2et b
=
3
on obtient a
2
b
2
E
=
2
2
3
2
E
=
2
3
E
=
1
1
/
4
100%
