Ch 6 Sommaire 0- Objectifs ARITHMÉTIQUE

ARITHMÉTIQUE
Ch 6
Sommaire
0- Objectifs
1- Diviseurs et multiples d'un nombre entier
2- PGCD de deux nombres entiers
3- Algorithmes de calcul du PGCD
4- Applications
0- Objectifs
• - Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux entiers (algorithme
des soustractions, algorithme d’Euclide).
• - Calculer le PGCD de deux entiers.
• - Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux.
• - Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.
1- Diviseurs et multiples d'un nombre entier
Exemples :
* Les diviseurs positifs de 6 sont : 1, 2, 3 et 6 car 6 = 1×6 = 2×3
* Les multiples positifs de 6 sont : 0, 6, 12, 18, 24,…
* 256 est un multiple de 8 car 256 = 8×32
* 13 est un diviseur de 91 car 91=13×7
Remarque :
En additionnant les diviseurs positifs de 6 (autre que 6), on a 1+2+3 = 6
On dit que 6 est un nombre parfait.
Utilisation de la division euclidienne :
* 325 ÷R 13 donne un reste égal à 0 donc 13 est un diviseur de 325
325 = 13×25
* 325 ÷R 7 donne un reste égal à 3 donc 7 n'est pas un diviseur de 325
325 = 7×46+3
Utilisation des critères de divisibilité :
* 325 est un multiple de 5 car son chiffre des unités est 5
* 325 n'est pas un multiple de 3, ni de 9, car 3+2+5 = 10 qui n'est pas un
multiple de 3, ni de 9.
* 325 n'est pas un multiple de 2 car son chiffre des unités est impair.
Définition :
Lorsqu'un nombre entier positif n'a que deux diviseurs positifs (1 et luimême), on dit que c'est un nombre premier.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 sont des nombres premiers.
2- PGCD de deux nombres entiers
On ne s'intéresse qu'aux diviseurs positifs sans le préciser à chaque fois.
Exemples :
* Les diviseurs de 18 sont les nombres 1, 2, 3, 6, 9 et 18
en effet : 18 = 1×18 = 2×9 = 3×6
Les diviseurs de 12 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6 et 12
en effet : 12 = 1×12 = 2×6 = 3×4
Ainsi, 12 et 18 ont des diviseurs communs : 1, 2, 3 et 6 ; le plus grand est 6 :
c'est le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de 12 et de 18.
On note : 6 = PGCD(12;18)
* Trouver le PGCD(160;336)
On a : 1×160=2×80=4×40=5×32=8×20=10×16
donc les diviseurs de 160 sont 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80 et 160
de même :
1×336=2×168=3×112=4×84=6×56=7×48=8×42=12×28=14×24=16×21
donc les diviseurs de 336 sont 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 42,
56, 84, 112, 168 et 336
il en résulte que les diviseurs communs de 336 et de 160 sont : 1, 2, 4, 8 et
16 et donc le plus grand est 16 ;
ainsi, PGCD(160;336) = 16
* Trouver le PGCD(16;25)
Les diviseurs de 16 sont 1, 2, 4, 8 et 16 car 16=1×16=2×8=4×4
Les diviseurs de 25 sont 1, 5 et 25 car 25=1×25=5×5
1 est donc le seul diviseur commun de 16 et de 25.
ainsi, PGCD(16;25) = 1 On dit que 16 et 25 sont premiers entre eux.
Définition :
On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux quand leur PGCD
est égal à 1.
3- Algorithmes de calcul du PGCD
Propriétés :
Pour tous nombres entiers positifs a et b,
* Si a > b alors PGCD(a;b) = PGCD(b;a−b)
* PGCD(a;a) = a
* PGCD(a;0) = a
Ces trois propriétés sont à la base d'un algorithme de recherche du PGCD de
2 nombres : c'est l'algorithme des différences.
Exemples :
* Calculer le PGCD de 12 et 18
utilisons l'algorithme des différences :
18−12 = 6
12−6 = 6 ← dernière différence non nulle
6−6 = 0
donc PGCD(12;18) = 6
* Calculer le PGCD de 160 et 336
utilisons l'algorithme des différences :
336−160 = 176
176−160 = 16
160−16 = 144
144−16 = 128
128−16 = 112
112−16 = 96
96−16 = 80
80−16 = 64
64−16 = 48
48−16 = 32
32−16 = 16 ← dernière différence non nulle
16−16 = 0
donc PGCD(160;336) = 16
* Calculer le PGCD de 16 et 25
utilisons l'algorithme des différences :
25−16 = 9
16−9 = 5
9−5 = 4
5−4 = 1
donc PGCD(16;25) = 1
4−1 = 3
3−1 = 2
2−1 = 1 ← dernière différence non nulle
1−1 = 0
Dans les deux derniers exemples, on enlève plusieurs fois le même nombre :
on peut donc utiliser la division euclidienne à la place de la soustraction
pour accélérer l'algorithme des différences : c'est l'algorithme d'Euclide.
Exemples :
* Calculer PGCD(160;336)
utilisons l'algorithme d'Euclide :
336÷R160 → reste 16 ← dernier reste non nulle
160÷R16 → reste 0
donc PGCD(160;336) = 16
* Calculer PGCD(227;9)
utilisons l'algorithme d'Euclide :
227÷R9 → reste 2
9÷R2 → reste 1
2÷R1 → reste 1 ← dernier reste non nulle
1÷R1 → reste 0
donc PGCD(227;9) = 1
Ce qui montre que 227 et 9 sont premiers entre eux.
4- Applications
Exemple 1 : simplifier une fraction
* Rendre irréductible la fraction
336
160
336
on peut diviser 336 et 160 par un de leurs diviseurs
160
communs. Si on utilise leur PGCD, on obtient une fraction irréductible :
c'est-à-dire qu'on ne pourra pas la simplifier davantage.
On sait que PGCD(160;336) = 16 (voir ci-dessus pour les calculs) donc :
336 336÷16 21
=
=
160 160÷16 10
Pour simplifier
Exemple 2 : partage équitable
* Un fleuriste possède 300 marguerites et 240 tulipes. Il veut composer des
bouquets ayant le même nombre de marguerites et le même nombre de
tulipes.
Quel est le nombre maximum de bouquets qu'il peut réaliser ?
Quel est alors la composition de chaque bouquet ?
Comme toutes les marguerites et toutes les tulipes sont équitablement
réparties en bouquets, ce nombre de bouquets est un diviseur commun de
300 et 240 : le nombre maximum de bouquets est donc le PGCD de 300 et
240.
utilisons l'algorithme d'Euclide :
300 ÷R240 → reste 60
240 ÷R60 → reste 0
donc PGCD(300;240) = 60
Par ailleurs, 300 = 5×60 et 240 = 4×60
Le fleuriste peut donc réaliser 60 bouquets au maximum et chaque bouquet
comprendra 5 marguerites et 4 tulipes.