Ch 6 Sommaire 0- Objectifs ARITHMÉTIQUE

Ch 6
Sommaire
0- Objectifs
1- Diviseurs et multiples d'un nombre entier
2- PGCD de deux nombres entiers
3- Algorithmes de calcul du PGCD
4- Applications
0- Objectifs
•- Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux entiers (algorithme
des soustractions, algorithme d’Euclide).
•- Calculer le PGCD de deux entiers.
•- Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux.
•- Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.
ARITHMÉTIQUE

1- Diviseurs et multiples d'un nombre entier
Exemples :
* Les diviseurs positifs de 6 sont : 1, 2, 3 et 6 car 6 = 1×6 = 2×3
* Les multiples positifs de 6 sont : 0, 6, 12, 18, 24,…
* 256 est un multiple de 8 car 256 = 8×32
* 13 est un diviseur de 91 car 91=13×7
Remarque :
En additionnant les diviseurs positifs de 6 (autre que 6), on a 1+2+3 = 6
On dit que 6 est un nombre parfait.
Utilisation de la division euclidienne :
* 325 ÷R 13 donne un reste égal à 0 donc 13 est un diviseur de 325
325 = 13×25
* 325 ÷R 7 donne un reste égal à 3 donc 7 n'est pas un diviseur de 325
325 = 7×46+3
Utilisation des critères de divisibilité :
* 325 est un multiple de 5 car son chiffre des unités est 5
* 325 n'est pas un multiple de 3, ni de 9, car 3+2+5 = 10 qui n'est pas un
multiple de 3, ni de 9.
* 325 n'est pas un multiple de 2 car son chiffre des unités est impair.
Définition :
Lorsqu'un nombre entier positif n'a que deux diviseurs positifs (1 et lui-
même), on dit que c'est un nombre premier.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 sont des nombres premiers.

2- PGCD de deux nombres entiers
On ne s'intéresse qu'aux diviseurs positifs sans le préciser à chaque fois.
Exemples :
* Les diviseurs de 18 sont les nombres 1, 2, 3, 6, 9 et 18
en effet : 18 = 1×18 = 2×9 = 3×6
Les diviseurs de 12 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6 et 12
en effet : 12 = 1×12 = 2×6 = 3×4
Ainsi, 12 et 18 ont des diviseurs communs : 1, 2, 3 et 6 ; le plus grand est 6 :
c'est le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de 12 et de 18.
On note : 6 = PGCD(12;18)
* Trouver le PGCD(160;336)
On a : 1×160=2×80=4×40=5×32=8×20=10×16
donc les diviseurs de 160 sont 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80 et 160
de même :
1×336=2×168=3×112=4×84=6×56=7×48=8×42=12×28=14×24=16×21
donc les diviseurs de 336 sont 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 42,
56, 84, 112, 168 et 336
il en résulte que les diviseurs communs de 336 et de 160 sont : 1, 2, 4, 8 et
16 et donc le plus grand est 16 ;
ainsi, PGCD(160;336) = 16
* Trouver le PGCD(16;25)
Les diviseurs de 16 sont 1, 2, 4, 8 et 16 car 16=1×16=2×8=4×4
Les diviseurs de 25 sont 1, 5 et 25 car 25=1×25=5×5
1 est donc le seul diviseur commun de 16 et de 25.
ainsi, PGCD(16;25) = 1 On dit que 16 et 25 sont premiers entre eux.
Définition :
On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux quand leur PGCD
est égal à 1.

3- Algorithmes de calcul du PGCD
Propriétés :
Pour tous nombres entiers positifs a et b,
* Si a > b alors PGCD(a;b) = PGCD(b;a−b)
* PGCD(a;a) = a
* PGCD(a;0) = a
Ces trois propriétés sont à la base d'un algorithme de recherche du PGCD de
2 nombres : c'est l'algorithme des différences.
Exemples :
* Calculer le PGCD de 12 et 18
utilisons l'algorithme des différences :
18−12 = 6
12−6 = 6 ← dernière différence non nulle
6−6 = 0
donc PGCD(12;18) = 6
* Calculer le PGCD de 160 et 336
utilisons l'algorithme des différences :
336−160 = 176
176−160 = 16
160−16 = 144
144−16 = 128
128−16 = 112
112−16 = 96
96−16 = 80
80−16 = 64
64−16 = 48
48−16 = 32
32−16 = 16 ← dernière différence non nulle
16−16 = 0
donc PGCD(160;336) = 16
* Calculer le PGCD de 16 et 25
utilisons l'algorithme des différences :
25−16 = 9
16−9 = 5
9−5 = 4
5−4 = 1
4−1 = 3
3−1 = 2
2−1 = 1 ← dernière différence non nulle
1−1 = 0
donc PGCD(16;25) = 1

Dans les deux derniers exemples, on enlève plusieurs fois le même nombre :
on peut donc utiliser la division euclidienne à la place de la soustraction
pour accélérer l'algorithme des différences : c'est l'algorithme d'Euclide.
Exemples :
* Calculer PGCD(160;336)
utilisons l'algorithme d'Euclide :
336÷R160 → reste 16 ← dernier reste non nulle
160÷R16 → reste 0
donc PGCD(160;336) = 16
* Calculer PGCD(227;9)
utilisons l'algorithme d'Euclide :
227÷R9 → reste 2
9÷R2 → reste 1
2÷R1 → reste 1 ← dernier reste non nulle
1÷R1 → reste 0
donc PGCD(227;9) = 1
Ce qui montre que 227 et 9 sont premiers entre eux.