Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 1 spé – Arithmétique

Vdouine – Terminale S – Chapitre 2 spé – Arithmétique – PPCM et nombres premiers
Nombre premier
Dire qu’un entier naturel est premier signifie qu’il admet deux diviseurs : un et lui-même.
Zéro est-il un nombre premier ? Un est-il un nombre premier ? Justifier vos deux réponses.
Deux est-il un nombre premier ? Justifier votre réponse. Qu’en est-il des autres nombres
pairs ? Citer les sept premiers nombres premiers.
Nombre composé
Tout entier naturel non premier, distinct de un, admet au moins un diviseur premier.
On propose ci-dessous la démonstration par l’absurde de ce résultat :
Considérons un entier n  1 qui ne soit pas premier. Cela signifie que l’ensemble des
diviseurs de n contient 1 , n et forcément d’autres éléments dont on extrait le plus petit que
l’on nomme p .
Ainsi 1  p  n et p divise n .
Hypothèse : p n’est pas premier.
Il existe alors un entier d tel que 1  d  p et tel que d divise p . A ce moment là, par
transitivité ( d divise p et p divise n ) nous pouvons dire que d divise n . On a donc
trouvé un diviseur de n plus petit que p ce qui est en contradiction avec le fait que p est
le plus petit diviseur de n .
On en déduit que l’hypothèse est fausse et par conséquent p est premier.
Ensemble infini
Il existe une infinité de nombres premiers.
On propose ci-dessous la démonstration par l’absurde de ce théorème :
Hypothèse : il existe un nombre fini de nombres premiers  p1 ; p2 ;...; pk  .
On considère le nombre a  p1  p2  ...  pk  1 qui est un entier strictement supérieur à 1 . Par
conséquent il admet forcément un diviseur premier pi pris dans l’ensemble  p1 ; p2 ;...; pk  .
Evidemment pi divise p1  p2  ...  pk mais il divise aussi a  p1  p2  ...  pk  1 par
conséquent il divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres donc pi divise 1 . Ceci est
impossible puisque pi est premier.
On en déduit que l’hypothèse est fausse et par conséquent il existe une infinité de nombres
premiers.
Activités
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Vdouine – Terminale S – Chapitre 2 spé – Arithmétique – PPCM et nombres premiers
Le crible d’Eratosthène
Il s’agit d’une méthode permettant de
déterminer tous les nombres premiers
inférieurs à un nombre donné. On raye tous
les multiples de deux supérieurs à deux, puis
tous les multiples de trois supérieurs à trois,
les multiples de cinq supérieurs à cinq, les
multiples de sept supérieurs à sept…
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Déterminer tous les nombres premiers inférieurs à cent.
Critère de primalité
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux.
Si n n’est pas premier alors il existe un nombre premier p  n qui divise n .
Limiter les essais
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux. La propriété proposée ci-dessous permet de
limiter le nombre d’opérations dans la détermination du caractère premier d’un entier.
Si n n’est divisible par aucun nombre premier p inférieur à
Application directe
A l’aide d’un crible d’Eratosthène et du critère
de primalité déterminer tous les nombres
premiers inférieurs à 150.
Déterminer les nombres premiers dans chacune
des listes proposées ci-dessous :



276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283.
373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380.
641, 642, 643, 644, 645, 646, 647, 648.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
102
112
122
132
142
n alors n est premier.
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
103
113
123
133
143
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
104
114
124
134
144
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
105
115
125
135
145
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
106
116
126
136
146
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
107
117
127
137
147
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
108
118
128
138
148
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
109
119
129
139
149
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Ecrire un algorithme permettant de déterminer en un minimum d’opérations si un nombre
entier est premier ou non. Programmer l’algorithme. Vérifier les réponses de l’exercice précédent.
Autre exercice d’application directe
Soit p un entier naturel premier. On considère P  2  3  5  ...  p le produit des entiers
naturels premiers inférieurs ou égaux à p . Démontrer que les  p  1 entiers naturels P  2 ,
P  3 , P  4 , … et P  p ne sont pas premiers. En déduire un exemple d’une liste de dix
entiers consécutifs non premiers.
Activités
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Décomposition en produit de facteurs premiers
Soit n un entier naturel tel que n  2 .



Ce nombre peut se décomposer sous la forme n  p1 1  p2 2  ...  pk k .
Dans cette décomposition les nombres p1 , p2 , … , pk sont des nombres premiers tels que
p1  p2  ...  pk et les nombres 1 ,  2 , … , k sont des entiers naturels non nuls. Cette
décomposition est unique.
Application directe
Décomposer le nombre a  4312 en produit de facteurs premiers. Quel est le plus petit entier
naturel par lequel il faut multiplier a pour obtenir un carré ? Pour un multiple de mille ? Dans
chaque cas, décomposer le nombre donné en produit de facteurs premiers : b  720 , c  2309 ,
d  63  47 et e  212  1 .
Quel est l’exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de
f  17!  17 16  ...  3  2 1 ? Décomposer le nombre g  81648 en produit de facteurs
premiers. Quel est le plus grand entier naturel dont le cube divise le nombre g ?
Décomposer le nombre h  9720 en produit de facteurs premiers. En déduire les quatre entiers
naturels dont le cube divise le nombre h . Soit x et y deux entiers naturels tels que
x 3  x 2  y 2   9720  E  . Déterminer tous les couples  x; y  d’entiers naturels solutions de  E  .
Ensemble des diviseurs
Soit n un nombre entier naturel supérieur ou égal à deux dont le décomposition est



n  p1 1  p2 2  ...  pk k .
L’ensemble des diviseurs de n est l’ensemble des entiers d s’écrivant sous la forme



d  p1 1  p2 2  ...  pk k où les nombres 1 ,  2 , … , k sont des entiers naturels tels que
0  1  1 , 0   2   2 , … , 0  k  k .
Le nombre de diviseurs naturels de n est 1  1   2  1  ...   k  1 car tout diviseur


peut s’écrire sous la forme d  p1 1  p2 2  ...  pk
i  1
k
et chaque nombre i peut prendre les
valeurs entières de 0 à  i .
Application directe
Décomposer le nombre a  12 en produit de facteurs premiers. En déduire tous les diviseurs de
a . Décomposer le nombre b  484 en produit de facteurs premiers. En déduire tous les
diviseurs de b . Déterminer le nombre de diviseurs du nombre c  6468 . Déterminer le nombre
de diviseurs du nombre d  3600 .
Activités
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Plus grand commun diviseur
Soit a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à deux.
Le PGCD de a et b est égal au produit des facteurs premiers communs aux
décompositions de a et b , chacun d’eux étant affectés du plus petit exposant avec lequel il
figure dans la décomposition de a et b .






Ainsi, si a  p1 1  p2 2  ...  pk k et si b  p1 1  p2 2  ...  pk k où p1 , p2 , … , pk sont
des nombres premiers, où 1 ,  2 , … , k ainsi que 1 ,  2 , … , k sont des entiers
naturels éventuellement nuls, on a :
PGCD  a; b  p1 1  p2 2  ...  pk k avec i  min i ; i  pour tout 1  i  k



Application directe
1. Calculer dans chaque cas PGCD  a; b  :
a  15 et b  35
a  1386 et b  546
a  23  32 114  373 et b  22  3  52  7 11  29  374
a  24000 et b  56000
a  460845 et b  372645
Représentation graphique
On considère l’ensemble des nombres z  2 x  3y où x et y désignent des entiers naturels.
Dans le plan orthonormé, on représente le nombre z par le point M de coordonnées  x; y  .
On dit que M est l’image de z . Où est l’image de 1 ? Où sont les images des nombres 2 x ? Des
nombres 3 y ? Des puissances de 6 ?
On considère deux entiers naturels a  3456 et b  5668704 . Construire dans un repère les
images A et B de ces deux nombres. Représenter graphiquement l’ensemble des diviseurs de a .
Représenter graphiquement l’ensemble des diviseurs de b . En déduire la position de D image de
d  PGCD  a; b  .
Plus petit commun multiple
L’ensemble des multiples strictement positifs communs à deux entiers naturels non nuls n’est
pas vide puisque leur produit en fait partie. Par conséquent il existe dans cet ensemble un
multiple commun à ces deux nombres plus petit que les autres. Ce nombre est appelé le plus
petit commun multiple de a et de b et sera noté PPCM  a; b  .
Le PPCM  a; b  est égal au produit de tous les facteurs premiers présents dans l’une ou
l’autre des décompositions de a et b , chacun d’eux étant affectés du plus grand exposant
avec lequel il figure dans la décomposition de a et b .
Activités
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





Ainsi, si a  p1 1  p2 2  ...  pk k et si b  p1 1  p2 2  ...  pk k où p1 , p2 , … , pk sont
des nombres premiers, où 1 ,  2 , … , k ainsi que 1 ,  2 , … , k sont des entiers
naturels éventuellement nuls, on a :
PPCM  a; b  p1 1  p2 2  ...  pk k avec  i  max i ; i  pour tout 1  i  k



Application directe
On dispose de rectangles de dimensions 16 cm et 14 cm.
Quelle est l’aire du plus petit carré que l’on peut former avec ces rectangles ?
Deux cyclistes effectuent des tours de piste. Le premier met 3 min 18 secondes pour effectuer un
tour. Le second met 3 min et 45 secondes pour effectuer le même tour. Ils partent ensemble sur
la ligne de départ. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils sur cette ligne de départ ?
Déterminer dans chaque cas PPCM  a; b  :
a  111 et b  303
a  28  36  54 1113
et b  2  3  5 11 13
a  256 et b  5040
a  24  3  5  73
et b  32  53  7  11
a  7931 et b  5665
a  7n1  7n
et b  5n1  5n
Représentation graphique
On considère deux entiers naturels a  3456 et b  5668704 . Construire dans un repère (voir
activité précédente) les images A et B de ces deux nombres. Représenter graphiquement
l’ensemble des multiples de a . Représenter graphiquement l’ensemble des multiples de b . En
déduire la position du point M image de m  PPCM  a; b  .
Homogénéité
Si on multiplie deux entiers naturels non nuls a et b par un même entier naturel k non nul
alors leur PPCM est lui aussi multiplié par k . On a donc l’égalité suivante :
PPCM  k  a; k  b   k  PPCM  a; b  .
Application directe
Déterminer PPCM 12;15 . En déduire quels sont tous les entiers naturels compris entre 6500
et 8500 qui ont pour reste 111 dans les divisions euclidiennes par 120 et par 150 .
Déterminer PPCM 16;20  . En déduire quels sont tous les entiers naturels compris entre 8000
et 9000 qui ont pour reste 140 dans les divisions euclidiennes par 160 et par 200 .
Activités
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Vdouine – Terminale S – Chapitre 2 spé – Arithmétique – PPCM et nombres premiers
Propriété
Le produit de deux entiers naturels non nuls est égal au produit de leur PGCD et de leur
PPCM. Cette relation s’écrit de la façon suivante : PGCD  a; b   PPCM  a; b   a  b .
Conséquence
Si a et b sont premiers entre eux alors PPCM  a; b   a  b . Cette propriété est
immédiate puisque la définition de deux nombres premiers entre eux est PGCD  a; b   1 .
Application directe
Deux entiers naturels consécutifs ont un PPCM égal à 9120. Déterminer ces deux entiers.
Soit n un entier naturel. On considère les nombres a  3n  2 et b  2n  1 . Par combinaison
linéaire, déterminer PGCD  a; b  , puis en déduire PPCM  a; b  .
Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On note d  PGCD  a; b  et m  PPCM  a; b  .
Dans chacun des cas suivants, déterminer les entiers a et b :
d  7 et m  84
d  14 et m  420
d  18 et m  90
Problème
On veut remplir la boîte B (parallélépipédique de type l  l  L ) avec des cubes tous identiques
dont l’arête a est un entier naturel non nul (les cubes devant remplir complètement la boîte B
sans laisser d’espace vide.
 Dans cette question, l  882 et L  945 . Quelle est la plus grande valeur possible pour
a ? Quelles sont toutes les valeurs possibles pour a ?
 Dans cette question, le volume de la boîte B est v  77760 . On sait que pour remplir la
boîte B, la plus grande valeur possible de a est 12 . Montrer qu’il y a exactement deux
boîtes B possibles dont on donnera les dimensions.
On veut remplir une caisse cubique C, dont l’arête c est un entier naturel non nul, avec des
boîtes B toutes identiques telles que décrites à la question 1 (les boîtes B, empilées verticalement,
doivent remplir complètement la caisse C sans laisser d’espace vide).
 Dans cette question, l  882 et L  945 . Quelle est la plus petite arête c pour la caisse
C ? Quel est l’ensemble de toutes les valeurs possibles pour l’arête c ?
 Dans cette question, le volume de la boîte B est v  15435 . On sait que la plus petite
arête possible pour la caisse C est 105 . Quelles sont les dimensions l et L de la boîte B ?
Activités
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