Chapitre 2 Triangles et angles cours

CHAPITRE 2
TRIANGLES ET TRIANGLES PARTICULIERS
Construire des figures du plan
Connaître les triangles et leurs propriétés
Connaître les définitions, théorèmes, propriétés
Utiliser le bon théorème ou la bonne propriété
Rédiger correctement les théorèmes, les propriétés ou un raisonnement
I) Somme des angles d’un triangle
Construire un triangle quelconque, colorier de trois couleurs différentes ses trois angles,
couper deux des sommets et les recoller pointe à pointe avec le troisième.
Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des angles fait 180°.
Cette propriété nous permettra de vérifier si le triangle est constructible ou pas.
Exemples :
soit a ABC=40° , a BAC=30° et a BCA=100° ABC est-il constructible ?
d
B +d A +d C = 40° +30°+100° = 170° ≠ 180° donc ABC n’est pas constructible.
soit a ABC=45° , a BAC=35° et a BCA=100° ABC est-il constructible ?
d
B +d A +d C = 45° +35°+100° = 180° donc ABC est constructible.
soit a ABC=41° , a BAC=123° et a BCA=70° ABC est-il constructible ?
d
B +d A +d C = 41° +123°+70° = 234° ≠ 180° donc ABC n’est pas constructible.
soit a ABC=5° , a BAC=130° et a BCA=45° ABC est-il constructible ?
d
B +d A +d C = 5°+130°+45° = 180° donc ABC est constructible
Elle nous permettra aussi de calculer le troisième angle d’un triangle si on en connait 2.
Exemple : calculer l’angle a ABC sachant que a ACB= 57° et a BAC=78°
a
ABC= 180°- (78°+ 57°) ou a ABC=180°- 78°- 57°
a
ABC=180°- 135° a ABC=102°- 57°
a
ABC=45° a ABC=45°

II) Définitions et propriétés
1) Le triangle isocèle
Définition : Un triangle est dit isocèle lorsqu’il possède deux côtés de même longueur.
On précise en quel point il est isocèle (son sommet principal) : A
ou sa base (le côté opposé à son sommet principal) : BC
Propriété :
- Si un triangle est isocèle alors les deux angles adjacents à sa base ont même mesure.
Exemple :
Les deux angles ont la même mesure 71,57°, donc le triangle est isocèle
Le triangle a 2 côtés de même longueur, donc il est isocèle.
Soit un triangle ABC isocèle en C, sachant que a ABC= 43° calculer a ACB
ABC isocèle en C donc d B =d A =43°
a
ACB=180° – 43° × 2
a
ACB=180°- 86°
a
ACB=94°
Soit un triangle DEF isocèle en D, sachant que a EDF= 73° calculer a DEF
DEF isocèle en D donc d E =d F
a
DEF= 180° – 73°
2
a
DEF= 107°
2
a
DEF= 53,5°
2) Le triangle équilatéral
Définition : Un triangle est dit équilatéral lorsqu’il possède trois côtés de même longueur.
Propriétés :
- Si un triangle est équilatéral alors il possède 3 axes de symétries.
- Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles ont une mesure de 60°.
TIR est équilatéral donc
d
I = d T = d R = 60°
71,57°
71,57°
B
A
C
Sommet
principal
Base
T
R
I

A B
C
35,54°
54,46°
3) Le triangle rectangle
Définition : Un triangle est dit rectangle lorsqu’il possède un angle droit.
Le côté opposé à l’angle droit (le plus grand côté) s’appelle l’hypoténuse du triangle.
Propriété :
Si un triangle est rectangle alors les deux angles adjacents à son hypoténuse sont complémentaires.
C’est-à-dire que la somme de leurs mesures vaut 90°. Ici d A + d C = 90°
Exemple :
54,46° + 35,54° = 90°, donc le triangle est rectangle.
Soit un triangle DEF tel que d D = 26° et d F = 54°, le triangle est-il rectangle ?
26°+ 54°= 80° ≠ 90° le triangle DEF n’est pas rectangle
4) Cas particulier : le triangle isocèle rectangle
Comme l’indique sont nom, c’est un triangle qui est à la fois isocèle et rectangle
le triangle est rectangle donc d A +d C =90°
Il est isocèle en B donc d A =d C
2 × d A =2 × d C = 90°
d
A = d C = 90°
2 = 45°
Propriétés
- Il a 2 côtés de même longueur : AB et BC
- Il a les angles à la base de même mesure : d A = d C = 45°
- Il a un angle droit : d B
A B
C

III) L’inégalité triangulaire :
Tracer le triangle ABC si possible
1/ Construire les trois points A, B, C tels que AB = 8, AC = 3 et BC = 4.
Figure 1
Remarque :
AB > AC + CB on ne peut pas construire le
triangle ABC.
2/ Construire les trois points A, B, C tels que AB = 8, AC = 3 et BC = 5.
Figure 2
Remarque :
AB = AC + CB
le point C est situé sur le segment [AB],
les 3 points sont alignés.
3/ Construire les trois points A, B, C tels que AB = 8, AC = 3 et BC = 6.
Figure 3
Remarque :
AB < AC + CB
le triangle ABC existe.
On peut construire 2 triangles symétriques
4/ Conclusion : on peut construire un triangle formés par trois points A, B et C lorsque la plus grande distance les séparant
est inférieure à la somme des deux autres.
Propriété :
« Un triangle est constructible si la longueur du plus long coté est inférieure à la somme des deux autres cotés »
On dit qu’ils vérifient l’inégalité triangulaire : Si AB est la plus grande distance alors AB < AC + CB.
Exemple :
Exercice sur fiche
A
B
8,0
A
B
C
5,0
3,0
A
B
8,0
A
B
4,0
3,0
A
B
8,0
A
C
B
C’
6,0
3,0

IV) Constructions au compas
1) Type 1 : On connait les trois côtés :
Soit ABC un triangle tel que AB = 5 cm ; AC = 4 cm et BC = 6 cm. Voici la méthode pour le tracer :
2) Type 2 : Connaissant les mesures de deux côtés et de l’angle compris entre ces côtés :
Soit RST un triangle tel que RT = 6 cm ; ST = 4 cm et a RTS= 70°:
3) Type 3 : Connaissant les mesures d’un côté et de deux angles adjacents à ce côté :
Soit EFG un triangle tel que EF = 7 cm ; a FEG= 110° et a EFG= 40°.
Remarque
Il faut toujours faire un dessin à main levée en codant la figure avant de se lancer dans la construction en vraie grandeur.