EXERCICES de mathématiques - Lycée Alfred Kastler de Cergy

Lycée Alfred Kastler
Année scolaire 2011/2012
Prépa ECE1
EXERCICES de mathématiques
Bonnes vacances et tous mes voeux de réussite....
1
Liste des connaissances minimales à avoir en rentrant en deuxième
année
Reprendre la feuille qui a guidé les révisions du second concours blanc.
1.1
Formules usuelles
1. La formule du binôme
n
P
1 − q n−p+1
quand q 6= 1.
2. La somme
qk = qp
1−q
k=p
3. Deux formules à rajouter aux identités remarquables bien connues :
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
3
3
2
(formule du binôme)
2
a − b = (a − b)(a + ab + b )
1.2
Analyse
1. Cours sur les fonctions, en particulier sur les fonctions usuelles (logarithme, exponentielle, fonctions exponentielles de base a, fonctions puissances) : pour ces fonctions, bien connaître la dénition, les propriétés
algébriques, la courbe et les limites usuelles associées.
2. Règles de calculs sur les limites : savoir donner rapidement une limite quand il n'y a pas d'indétermination,
et connaître les techniques pour lever une indétermination.
3. Formules de dérivation (connaître notamment la dérivée d'une composée)
4. Calcul intégral : primitives usuelles, formule d'intégration par parties, savoir rédiger le théorème de positivité de l'intégrale.
5. Suites et séries : connaître les énoncés précis des théorèmes sur les suites, bien connaître les suites usuelles
(arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques), connaître les formules de sommes.
1.3
Algèbre
1. Résolution des systèmes : connaître en particulier la méthode du pivot de Gauss.
2. Espaces vectoriels.
3. Applications linéaires.
1.4
Probabilités
1. Probabilités conditionnelles.
2. Formule des probabilités totales.
3. Formule des probabilités composées.
4. Lois usuelles (schéma, lois, espérance, variance).
5. Techniques de manipulation de deux variables.
1
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Enoncés des exercices
Exercice 1
n désigne un entier supérieur ou égal à 1.
On considère la fonction fn dénie, pour tout x réel, par : fn (x) = x5 + nx − 1.
1. Étudier les variations de fn .
2. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il existe un unique réel un tel que fn (un ) = 0 et
que ce réel est positif.
3. Calculer fn+1 (x) − fn (x) pour x positif. En déduire la monotonie de la suite (un ).
1
4. Montrer que un ≤ .
n
En conclure que la suite (un ) est convergente et donner sa limite.
1
5. Calculer lim nun et en déduire que un est équivalent à
quand n tend vers +∞.
n→+∞
n
1
6. Déterminer un équivalent simple de − un lorsque n est voisin de +∞.
n
Exercice 2
On pose pour tout entier n et pour tout réel x de [0 ; 1] ,
fn (x) = x
n+
1
1
R1
n+
2 (1 − x) 2 et In = fn (x)dx..
0
On admet que I0 =
Π
.
8
1
1. Soit g la fonction dénie sur [0, 1] par g(x) = (1 − x) 2 et G la fonction dénie sur [0, 1] par
3
2
G(x) = − (1 − x) 2 .
3
Montrer que G est la primitive de g qui s'annule en 1.
2. Soit n un entier strictement positif.
(a) En procédant à une intégration par parties utilisant G, démontrer que In =
2n + 1
In−1 .
2n + 4
3 × 5 × 7... × (2n + 1)
Π
Montrer que pour tout entier n > 0, In =
× ..
6 × 8 × 10 × ... × (2n + 4)
8
Montrer que la suite (In ) est décroissante. Que peut-on en déduire ?
1
Montrer que Pour tout entiern non nul, In 6
.
n+1
En déduire la limite de (In ).
(b) En déduire que pour tout entier n > 0, In =
(c)
(d)
(e)
(f)
2
2
1
(n + )(In−1 − In ).
3
2
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Exercice 3
Partie 1
On pose, pour tout entier nsupérieur ou égal à 1, vn =
1. Montrer que : ∀k ∈ N∗ ,
n 1
P
.
k=1 k
k+1
R dt
1
6
.
k+1
t
k
2. En déduire que : ∀n ∈ N∗ ,
vn 6 ln(n) + 1.
Partie 2
On considère une suite (un ) dénie par son premier terme u0 = 1 et par la relation suivante, valable pour
1
.
tout entier n : un+1 = un +
un
1. (a) Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement déni et strictement positif.
(b) En déduire le sens de variation de la suite (un ).
2. (a) Pour tout entier k , exprimer u2k+1 − u2k en fonction de u2k .
(b) En déduire que : ∀n ∈ N∗ ,
u2n = 2n + 1 +
n−1
P
k=0
(c) Montrer que : ∀n ∈ N∗ ,
1
.
u2k
u2n > 2n. En déduire la limite de la suite (un ).
3. (a) A l'aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 :
1
un 6 2n + 2 + vn−1 .
2
(b) En utilisant la partie 1., établir que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 :
5 ln(n − 1)
u2n 6 2n + +
.
2
2
√
(c) En déduire nalement que un ∼ 2n quand n → +∞.
Exercice 4
On considère, pour n ∈ N, les fonctions fn dénies sur R par fn (x) =
1. On pose In =
Z
xn
.
1 + x2
1
fn (x)dx.
0
(a) Montrer que (In ) est décroissante.
(b) Montrer que : ∀n ∈ N,
En déduire lim In .
0 ≤ In ≤
1
.
n+1
n→+∞
(c) Calculer In + In+2 .
En déduire que : ∀n ∈ N,
2.
In+2 =
1
− In .
n+1
I2p+1 pour p ∈ N
(a) Calculer I1 , I3 , I5 .
Calcul de
(b) Montrer en utilisant une récurrence sur p que : ∀p ∈ N∗ , I2p+1 =
(c) On considère, pour n ∈ N∗ , l'intégrale Sn =
Z
0
1
p (−1)p−k
P
+ (−1)p I1 .
2k
k=1
x − (−1)n x2n+1
dx.
1 + x2
x − (−1)n x2n+1
i. Écrire l'expression
sous forme d'une somme de puissances de x (on peut penser
1 + x2
à la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme x).
n−1
P (−1)k
ii. Montrer que : Sn =
.
k=0 2k + 2
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iii. Déduire de l'égalité précédente un programme en Pascal permettant de calculer pour un n entré
par l'utilisateur la valeur de Sn .
iv. Montrer que Sn = (−1)n−1 I2n+1 + I1 .
Déterminer alors lim Sn .
n→+∞
Exercice 5
n
X
1
k!
k=0
L'objet de ce proiblème et de démontrer que cette suite tend vers e et de programmer
le calcul d'une valeur approchée de e.
On note dans tous le problème et pour tout entier n ≥ 1, Sn =
0.
Question préliminaire :
Montrer que pour tout entier n ≥ 1, n! ≥ n et en déduire que n!
1. On dénit la suite T par : pour tout entier n ≥ 1, Tn =
→
n→+∞
+∞.
n
X
1
1
1
+
= Sn + .
k! n!
n!
k=0
(a) Montrer que la suite S est croissante et que la suite T est décroissante (à partir de l'indice 1)
(b) Montrer que pour tout entier n ≥ 1 : Sn ≤ Tn et en déduire que la suite S est majorée et la suite T
est minorée (par une constante)
(c) Montrer que S et T ont la même limite ` et que pour tout entier n : Sn ≤ ` ≤ Tn
(d) A quelle condition sur n, Sn donne-t-elle une valeur approchée de ` avec une précision ε ?
2. L'objet de cette partie est d'écrire un programme en PASCAL permettant de calculer une valeur approchée
de ` avec la précision voulue. Pour ce faire, on aectera les sommes Sn à une variable S, les valeurs de k à
une variable K, les valeurs de 1/k! à une variable F et la précision voulue à une variable epsilon
(a) Quelles sont pour n = 0 les valeurs de F, et de S ?
(b) Comment obtient-on 1/ (k + 1)! à partir de 1/k! ?
Comment obtient-on la valeur suivante de F à partir de sa valeur précédente, si K contient la valeur
suivante (k + 1) ?
(c) Comment obtient-on la valeur suivante de S à partir de la précédente si F contient la valeur suivante ?
(d) Ecrire un programme qui demande une précision puis calcule et ache la première valeur de Sn pour
laquelle 1/n! est plus petit que cette précision.
3. On se propose de démontrer à présent que ` = e
On pose pour tout entier n :
fn (x) = ex −
n
X
xk
k=0
k!
et gn (x) = ex −
n
X
xk
k=0
k!
− (e − 1)
xn
xn
= fn (x) − (e − 1)
n!
n!
0
(a) Montrer que pour tout entier n, fn+1
(x) = fn (x) et en déduire par récurrence sur n que pour tout
entier n et tout x ∈ [0, 1], fn (x) ≥ 0
(b) Montrer de même que pour tout entier n et tout x ∈ [0, 1], gn (x) ≤ 0
xn
et donc que fn (x) ≤ (e − 1)
n!
(c) En considérant une valeur de x particulière, déduisez-en que pour tout entier n :
0 ≤ e − Sn ≤
e−1
n!
(d) En déduire que la limite de Sn quand n tend vers +∞.
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Exercice 6
On note E = M3,1 (R) et F = M2,1 (R)


x
2x + 3y − z


y
1. On considère l'application f dénie par : ∀X =
∈ E, f (X) =
.
4x + 3y − 2z
z
(a) Montrer que f est une application linéaire. Est-ce un endomorphisme ?
(b) Déterminer une base de Ker f .
(c) Montrer que Im f = F.
2. Soit (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de E.
Soit g l'endomorphisme donné par g(e1 ) = e1 + e2 − 2e3 , g(e2 ) = −e1 − e2 + e3
et g(e3 ) = 2e1 + 2e2 − 2e3 .
(a) Donner la matrice de g dans la base canonique.
(b) Donner une base de Ker g puis une base de Im g .
Exercice 7
Soient des suites (xn ), (yn ), (zn ) et (tn ) vériant x0 = 1,


xn = yn−1 + zn−1 + tn−1




yn = xn−1 + zn−1 + tn−1
∀n ∈ N∗
. On note Xn = 

z
=
x
+
y
+
t

n
n−1
n−1
n−1


tn = xn−1 + yn−1 + zn−1
1
y0 = , z0 = 0, t0 = 0 et
2
xn
yn 

zn 
tn
1. Trouver une matrice M telle que : ∀n ∈ N∗ , Xn = MXn−1 .
2. Montrer que M est inversible et déterminer M−1 .
3. Montrer qu'il existe un couple unique (a, b) tel que M2 = aM + bI.
4. En déduire qu'il existe deux suites de nombres réels (an ) et (bn ) telles que : ∀n ∈ N, Mn = an M + bn I.
Préciser les relations liant an+1 et bn+1 à an et bn .
5. Exprimer an puis bn en fonction de n.
6. En déduire l'expression de Mn en fonction de n.
7. Calculer alors xn , yn zn et tn .
Exercice 8
On suppose que le nombre N de colis expédiés à l'étranger chaque jour par une entreprise suit une loi de
Poisson de paramètre 5. Ces colis sont expédiés à l'étranger indépendamment les uns des autres. La probabilité
pour qu'un colis envoyé à l'étranger soit détérioré est égale à 0, 1.
On s'intéresse aux colis expédiés à l'étranger un jour donné :
N est la variable aléatoire égale au nombre de colis expédiés ;
X est la variable aléatoire égale au nombre de colis détériorés ;
Y est la variable aléatoire égale au nombre de colis en bon état.
1. Soit n un entier naturel.
Calculer, pour tout entier naturel k , la probabilité conditionnelle suivante : P[N=n] (X = k).
2. Donner la loi du couple (X, N), c'est-à-dire calculer, pour n, k entiers, la probabilité P([N = n] ∩ [X = k]).
3. Montrer que X suit une loi de Poisson de paramètre 0, 5.
4. Déterminer la loi de Y.
5. Si i et j sont deux entiers naturels, calculer P([X = i] ∩ [Y = j]).
X et Y sont-elles indépendantes ?
5
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Exercice 9
Une urne contient initialement une boule blanche et une boule rouge.
On eectue des tirages successifs d'une boule dans l'urne selon le protocole suivant :
après chaque tirage, la boule tirée est remise dans l'urne puis on rajoute dans l'urne, avant le tirage suivant,
une boule de la couleur de la boule que l'on vient de tirer.
Pour tout enier naturel n, on note Xn la var égale au nombre de boule blanche obtenues au cours des n
tirages. Par exemple, pour n = 3 si l'on a obtenue au premier tirage une boule blanche et aux deux autres tirages
une boule rouge alors X3 = 1
1. Loi de X2
(a) Pour k ∈ {0, 1, 2}, exprimer l'évènement (X2 = k) à l'aide d'évènements élémentaires.
(b) Déterminer la loi, l'espérance et la variance de X2 .
2. Loi de X3
(a) Calculer P(X3 = 0) et P(X3 = 3).
(b) En introduisant le système complet d'évènements (X2 = 0), (X2 = 1) et (X2 = 2), calculer P(X3 = 1)
et P(X3 = 2).
3. Loi de Xn lorsque n > 2.
(a) Expliciter Xn (Ω) et calculer P(Xn = 0).
(b) Justier convenablement que pour tout entier k tel que 1 6 k 6 n
P(Xn = k) = P[(Xn = k) ∩ (Xn−1 = k − 1)] + P[(Xn = k) ∩ (Xn−1 = k)]
(c) Calculer soigneusement P(Xn−1 =k−1) (Xn = k) et P(Xn−1 =k) (Xn = k).
(d) Montrer par récurrence sur n > 2 que : ∀k ∈ [[1, n]],
P(Xn = k) =
1
.
n+1
(e) Donner l'espérance et la variance de Xn
Exercice 10
Lorsque A et B sont deux événements d'un même espace probabilisé , on désignera par PB (A) la probabilité
conditionnelle de A sachant B , où B est un événement de probabilité non nulle.
Dans cet exercice N désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Un joueur lance une pièce équilibrée indéniment. On note XN la variable aléatoire réelle discrète égale au
nombre de fois où , au cours des N premiers lancers, deux résultats successifs ont été diérents.
(On peut appeler XN le " nombre de changements " au cours des N premiers lancers ).
Par exemple , si les 9 premiers lancers ont donné successivement :
Pile , Pile , Face , Pile , Face , Face , Face , Pile , Pile
alors la variable X9 aura pris la valeur 4 ( quatre changements, aux 3ième , 4ième , 5ième et 8ième lancers ).
1. Justier que XN (Ω) = {0, · · · , N − 1}.
2. Déterminer la loi de X2 ainsi que son espérance. Déterminer la loi de X3 .
N−1
N
1
1
3. Montrer que P(XN = 0) =
et P(XN = 1) = 2(N − 1)
.
2
2
4. (a) Justier que pour tout entier k de {0, ..., N − 1} : PXN =k (XN+1 = k) =
1
2
(b) En déduire que pour tout entier k de {0, ..., N − 1} :
P(XN+1 − XN = 0 ∩ XN = k) =
1
P(XN = k).
2
(c) En sommant cette relation de k = 0 à N − 1 , montrer que P(XN+1 − XN = 0) =
1
.
2
(d) Justier que (XN+1 − XN )(Ω) = {0, 1} et donner la loi de XN+1 − XN .
1
En déduire la relation E(XN+1 ) = + E(XN ), puis donner E(XN ) en fonction de N.
2
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Exercice 11
1.
Etude préliminaire
On admet, pour tout entier naturel k et tout réel x de [0; 1[, que la série
+∞
P
n
xn .
on note sk (x) =
n=k
P
n>k
n
k
xn est convergente et
k
(a) Vérier, pour tout réel x de [0; 1[:
s0 (x) =
1
x
.
et s1 (x) =
1−x
(1 − x)2
(b) Pour tout couple d'entiers naturels (n, k) tel que k < n, montrer :
n+1
n
n
=
+
.
k+1
k
k+1
(c) Pour tout entier naturel k et tout réel x de [0; 1[, déduire de la question précédente :
sk+1 (x) = xsk (x) + xsk (x).
(d) Montrer, par récurrence :
∀k ∈ N, ∀x ∈ [0, 1[,
2.
sk (x) =
xk
.
(1 − x)k+1
Etude d'une expérience aléatoire.
On considère une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches. On eectue l'expérience
aléatoire suivante :
On commence par tirer des boules de l'urne une à une avec remise jusqu'à obtenir la boule noire (que
l'on remet aussi dans l'urne).
On dénit la variable aléatoire N égale au nombre de tirages avec remise nécessaires pour obtenir la
boule noire.
Puis, si N prend une valeur entière positive non nulle notée n, on réalise alors une seconde série de n
tirages dans l'urne, toujours avec remise.
On dénit la variable aléatoire X égale au nombre de fois où la boule noire a été obtenue dans cette
seconde série de tirages.
(a) Déterminer la loi de la variable aléatoire N. Donner son espérance.
(b) Soit k ∈ N et n ∈ N× . Déterminer la probabilité conditionnelle P(X = k/N = n).
4
(c) Vérier :
P(X = 0) = .
9
(d) En utilisant l'étude préliminaire, montrer :
∀k ∈ N× ,
P(X = k) =
25 4 k
( ) .
36 9
(e) Montrer que X admet une espérance E(X) et calculer E(X).
5 4
(f) Montrer :
∀k ∈ N, P(X 6 k) = 1 − ( )k .
9 9
3.
Etude d'une variable aléatoire à densité
On note a = −
On rappelle :
ln 9 − ln 5
et on dénit la fonction F sur R par :
ln 9 − ln 4
(
5 4
F(x) = 1 − ( )k si x ∈ [a; +∞[
9 9
F(x) = 0
sinon.
∀x ∈ R,
4
x ln
4
9.
( )x = e
9
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(a) Montrer que F est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité, notée Y.
(b) Déterminer une densité f de Y.
(c) Déterminer une primitive de la fonction g dénie sur R par g(x) = xe
x ln
4
9.
(d) Montrer que Y admet une espérance E(Y) et calculer E(Y).
Exercice 12
On dispose de deux jetons A et B que l'on peut placer dans deux cases C0 et C1 , et d'un dispositif permettant
de tirer au hasard et de manière équiprobable, l'une des lettre a, b ou c. Au début de l'expérience, les deux jetons
sont placés dans C0 . On procède alors à une série de tirages indépendants de l'une des trois lettres a, b ou c.
A la suite de chaque tirage, on eectue l'opération suivante :
si la lettre a est tirée, on change le jeton A de case,
si la lettre b est tirée, on change le jeton B de case,
si la lettre c est tirée, on ne change pas le placement des jetons.
On note :
An l'évènement " le jeton A se trouve dans C0 à l'issue de la nième opération "
Bn l'évènement " le jeton A se trouve dans C1 à l'issue de la nième opération "
1. Pour tout entier naturel n non nul, on s'intéresse à l'évènement
Jn " à l'issue de la nième opération, le jeton A n'a
jamais
quitté la case C0 "
(a) Exprimer les évènements J0 , J1 , J2 et J3 en fonction des évènements (Ak , Bk )k>0 (i.e. en fonction de
A0 , A1 , ... et des B0 , B1 , ...)
Déterminer les probabilités p(J0 ), p(J1 ), p(J2 ) et p(J3 ).
(b) Soit n un entier strictement positif quelconque. Déterminer la probabilité p(Jn ).
2. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on s'intéresse à l'événement
Dk " à l'issue de la k ième opération, le jeton A revient pour la
première fois
dans C0 "
(a) Calculer les probabilités p(D1 ), p (D2 ) , p(D3 ) et p(D4 ).
(b) Soit n un entier naturel quelconque.
Exprimer l'évènement Dn en fonction des évènements (Ak , Bk )k>0 (i.e. en fonction de A0 , A1 , ... et
des B0 , B1 , ...)
Déterminer la probabilité p(Dn ).
1
2
p(An ) + p(Bn )
3
3
1
2
p(Bn+1 ) = p(An ) + p(Bn )
3
3
(b) Montrer par récurrence que :
3. (a) Justier que ∀n > 0,
p(An+1 ) =
∀n > 0,
p(An ) =
1
1
+
2 2 × 3n
et p(Bn ) =
1
1
−
2 2 × 3n
Exercice 13
Une étude sur le comportement des automobilistes a permis de constater que, dans les grandes villes, les
contrevenants aux règles de stationnement se divisent en deux catégories :
un sur quatre est un contrevenant involontaire (par exemple, dépassement du temps de stationnement dû
à une longue le d'attente à la caisse d'un magasin)
trois sur quatre sont des contrevenants volontaires (par exemple, stationnement gênant le temps d'eectuer
un achat)
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1
La probabilité qu'un contrevenant involontaire soit verbalisé est
mais pour un contrevenant volontaire, géné40
1
ralement plus méant, elle est seulement
.
60
1. Quelle est la probabilité qu'un stationnement irrégulier soit sanctionné ?
2. Une contravention ayant été dressé pour stationnement irrégulier, quelle est la probabilité que le conducteur
du véhicule soit un contrevenant volontaire ?
3. Au cours de ses activités professionnelles, un certain contrevenant volontaire se trouve 300 fois dans l'année
1
d'être verbalisé.
en stationnement irréguliers et a donc, chaque fois, une probabilité de
60
Quelle est la probabilité qu'il soit verbalisé :
(a) 0 fois dans l'année pour stationnement irrégulier ?
(b) 1 fois dans l'année pour stationnement irrégulier ?
(c) 10 fois dans l'année pour stationnement irrégulier ?
(d) k fois dans l'année pour stationnement irrégulier ? ( k étant un entier quelconque dans [[0, 300]])
Exercice 14
1
On note f la fonction dénie sur R+ par : f (x) = x exp −
si x > 0 et f (0) = 0.
x
1. (a) Montrer que f est continue en 0.
(b) Montrer que f est dérivable en 0 et donner la valeur de f 0 (0).
2. (a) Montrer que f est dérivable sur ]0, +∞[.
Pour tout réel x non nul, calculer f 0 (x) puis étudier son signe.
(b) Calculer la limite de f en +∞.
Exercice 15
1. On considère la fonction g dénie sur R par g : x 7→
1+x
− x.
1 + ex
h(x)
.
(1 + ex )2
(b) Après avoir écrit g(x) sous la forme d'un quotient, déterminer les asymptotes en −∞ et +∞ de la
courbe représentative de g.
(a) Justier que g est dérivable sur R et expliciter sa dérivée sous la forme g 0 (x) =
1+x
= x admet une solution et une seule sur R+ .On note x0 cette solution.
1 + ex
3. Justier que 0 < x0 < 1.
2. Montrer que l'équation
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Exercice 16
Soit a un entier strictement positif.
On dispose d'un jeu usuel de 2n cartes (n = 16 ou 26) qui contient donc deux rois rouges, et on envisage deux
jeux d'argent régis par les protocoles suivants.
I Premier protocole
Les cartes du jeu sont alignés sur une table de façon aléatoire. Le joueur découvre les cartes, de gauche à droite
jusqu'à obtenir le premier roi rouge.
On note X la variable aléatoire égale au rang d'apparition du premier roi rouge et E (X) son espérance.
1. Montrer : ∀k ∈ {1, ..., 2n − 1} , P (X = k) =
2. Montrer : E (X) =
2n − k
n (2n − 1)
2n + 1
3
p (p + 1) (2p + 1)
.
6
3. Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne a francs lorsqu'il obtient le premier
roi rouge.
On note G1 la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à la k ième carte découverte, G1 est égale à a − k.
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire G1 .
On rappelle que pour tout entier naturel p > 1, on a :
Pp
k=1
k2 =
II Deuxième protocole
Les 2n cartes du même jeu sont alignés sur une table de façon aléatoire, mais cette fois-ci, le joueur peut découvrir
au maximum n cartes.
Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne a francs losqu'il obtient le premier roi
rouge.
On note G2 la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à la k ième carte découverte (k 6 n), G2 est égale à a − k, et si le joueur
n'obtient pas de roi rouge à l'issue des n premiers tirages, alors G2 est égale à −n.
1. Pour tout entier k ∈ {1, ..., n} , déterminer P (G2 = a − k) .
n−1
2. Vérier : P (G2 = −n) =
.
2 (2n − 1)
3 (3n − 1) a − 7n2 − 1
3. Montrer : E (G2 ) =
.
6 (2n − 1)
Exercice 17
On considère N + 1 urnes notées U0 , U1 , ..., UN telles que, pour tout entier k ∈ [[0, N]], l'urne Uk soit composée
de k boules rouges et de N − k boules blanches. On choisit une urne au hasard dans laquelle on eectue alors n
tirages successifs avec remise de la boule dans cette même urne. On note U la variable aléatoire égale au numéro
de l'urne choisie et R la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues au cours des n tirages.
1. Soit k ∈ [[0, N]] et r ∈ [[0, n]], calculer la probabilité conditionnelle
P(U=k) (R = r).
2. À l'aide de la formule des probabilités totales, en déduire l'égalité :
P(R = r) =
n
r
N r X
k
N+1
k=0
N
1−
k
N
n−r
En déduire, pour k ∈ [[0, N]], la probabilité conditionnelle P(R=r) (U = k).
10
.
Lycée Alfred Kastler
Année scolaire 2011/2012
Prépa ECE1
Exercice 18
On considère une urne Un contenant n boules numérotées de 1 à n. On tire une boule au hasard dans Un . On
note k le numéro de cette boule. Si k est égal à 1, on arrête les tirages. Si k est supérieur ou égal à 2, on enlève
de l'urne Un les boules numérotées de k à n (il reste donc les boules numérotées de 1 à k−1), et on eectue à
nouveau un tirage dans l'urne. On répète ces tirages jusqu'à l'obtention de la boule numéro 1. On note Xn la
variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour l'obtention de la boule numéro 1. On note In la
variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans l'urne Un .
1. Quelle est la loi de In ? Calculer la probabilité conditionnelle P(In =1) (Xn = k)
2. Si n > 2, montrer :
∀j ∈ N× , ∀k ∈ {1, 2 , ..., n} ,
P(In =k) (Xn = j) = P (Xk−1 = j − 1)
3. (a) Quelle est la loi de X1 ?
(b) Quel est l'événement (X2 = 1) ? Donner la loi de X2 , son espérance et sa variance.
(c) Calculer les probabilités conditionnelles P(I3 =1) (X3 = 2), P(I3 =2) (X3 = 2), P(I3 =3) (X3 = 2) . Déterminer la loi de X3 , son espérance et sa variance.
4. (a) Montrer que Xn prend ses valeurs dans {1, 2, ..., n}.
(b) Déterminer P(Xn = 1) et P(Xn = 2)
(c) Si n > 2, montrer la relation : ∀j > 2,
P
1 n−1
P (Xk = j − 1)
n k=1
P (Xn = j) =
(d) Si n > 2 et j supérieur ou égal à 2, calculer :
nP (Xn = j) − (n − 1)P (Xn−1 = j)
En déduire, si n est un entier supérieur ou égal à 2 :
∀j > 1, P (Xn = j) =
n−1
1
P (Xn−1 = j) + P (Xn−1 = j − 1)
n
n
5. Si n > 2, montrer, en utilisant 4.d) : E (Xn ) = E (Xn−1 ) +
En déduire l'expression de E(Xn )
(on sommera sur k ∈ [[2, n]] l'égalité E(Xk ) − E(Xk−1 ) =
1
.
n
1
)
k
Exercice 19
Une urne contient deux boules noires et 8 boules blanches. Ces boules sont numérotées de 1 à 10.
1. Un joueur tire successivement 5 boules en remettant la boule après chaque tirage. Si il tire une boule
blanche, il gagne deux points. Sinon, il perd trois points. Soit X le nombre de points obtenus par le joueur
en une partie.
(a) Déterminer la loi de X.
(b) Calculer E[X] et V(X).
2. Le joueur tire 5 boules simultanément.
(a) Soit Y le plus grand des numéros tirés. Déterminer la loi de Y et son espérance.
(b) Soit T le nombre de boules blanches obtenues. Après ce premier tirage, le joueur remet la boules noires
obtenues et eectue un nouveau tirage simultané de 5 boules. On appelle Z le nombre de boules blanches
obtenues lors de ce second tirage. Déterminer les lois de T et de Z. Calculer E[Z].
11