Term S - Lois de probabilité (1/2) 1) X suit la loi binomiale de

Term S - Lois de probabilité (1/2)
1) X suit la loi binomiale de paramètres n et p.
a)
8n
et
0,5p
. Calculer
(X 3)p
.
b)
10n
et
0,7p
. Calculer
(X 8)p
.
2) On lance simultanément six pièces équilibrées.
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement quatre « pile » ?
3) Un démarcheur rencontre vingt personnes par jour. La probabilité qu’une d’entre elles
achète ce que le démarcheur lui propose est de 0,1.
a) Calculer la probabilité qu’au cours d’une journée, le démarcheur ne rencontre aucun
acheteur.
b) Calculer la probabilité qu’il rencontre au moins deux acheteurs.
4) X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0 ;10]. Calculer :
a)
(X 3)p
b)
(X 6)p
c)
(3 X 8)p
5) La durée de vie d’un composant électronique est une variable aléatoire T (exprimée en
jours) qui suit la loi exponentielle de paramètre .
Quelle est la probabilité que la durée de vie de ce composant excède 300 jours ?
6) Soit f la fonction définie par :
2
1
() ( 1) ft t
.
a) Démontrer que f est une densité de probabilité.
b) On note X la variable aléatoire associée à la densité f. Soit a et b deux réels positifs
tels que
ab
. Démontrer que :
( X ) ( 1)( 1)
ba
p a b ab
.
c) Calculer
(X 100)p
et
(X 1)p
.
7) Une personne arrive à un arrêt de bus à 10h00 sachant que le bus arrivera à un certain
instant T qui suit une loi uniforme entre 10h00 et 10h30.
a) Quelle est la probabilité que la personne attende 10 min ou plus ?
b) Si à 10h15, le bus n’est pas encore arrivé, quelle est la probabilité que votre attente
dure au moins 10 min supplémentaires ?
8) (voir éventuellement avant l’exercice 3)
Un vendeur propose des encyclopédies à domicile. Il visite 10 clients par jour.
On admet que la probabilité qu’un client passe commande est de
1
15
.
Les décisions des clients sont indépendantes.
X est le nombre d’encyclopédies vendues en une journée.
a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres n et p.
b) Exprimer
(X )pk
pour k entier de 0 à n.
Calculer à
4
10
près :
(X 0)p
;
(X 1)p
et
(X 5)p
.
c) Calculer
E(X)
.
d) Le vendeur gagne 100€ par encyclopédie vendue.
Quel gain moyen le vendeur peut-il espérer à la fin d’une journée ?

Term S - Lois de probabilité (2/2)
9) Un bureau est équipé de 25 ordinateurs. La probabilité que l’un d’eux tombe en panne
dans l’année est de 0,3. On suppose que les pannes sont indépendantes.
a) Calculer la probabilité que 5 ordinateurs tombent en panne au cours de l’année.
b) Calculer la probabilité qu’au plus 5 ordinateurs tombent en panne dans l’année.
10) Statistiquement, lors d’une naissance, les événements « avoir un garçon » et « avoir
une fille » ne sont pas équiprobables .
On suppose ici que la probabilité d’avoir un garçon est de 0,51.
Quelle est la probabilité qu’il y ait plus de filles que de garçons dans une famille :
a) de 5 enfants ?
b) de 6 enfants ?
On suppose qu’il n’y a pas de naissances multiples.
11) Une variable aléatoire T suit une loi exponentielle.
a) Trouver le paramètre de cette loi sachant que :
(T 70) 0,05p
.
b) En déduire
(T 30)p
.
12) La durée de vie mesurée en heures du filament d’une ampoule suit la loi exponentielle
T de paramètre 0,002.
a) Déterminer le nombre t tel que :
(T ) 0,8pt
.
b) Calculer
(300<T<700)p
.
13) La durée de vie (exprimée en années) d’un élément radioactif est une variable aléatoire
X qui suit une loi exponentielle de paramètre .
a) Si s et h sont deux réels positifs, montrer que :
(X X ) (X )p s h s p h    /
.
Interprétation : lorsque l’élément radioactif a déjà vécu s années, la probabilité qu’
il vive h années supplémentaires, est la même que la probabilité qu’il vive au moins
h années à partir de sa création.
On dit qu’un élément radioactif a une durée de vie sans mémoire.
b) On appelle demi-vie d’un élément radioactif le nombre T tel que :
1
(X< ) 2 pT
.
Démontrer que
ln2
T
.
c) On considère que la demi-vie du
14
6C
(carbone 14) est
5568T
années.
- Evaluer
(X 1000)p
,
- Calculer x sachant que
(X ) 0,2px
.
d) Répondre aux mêmes questions pour le
137
55Cs
(césium) dont la demi-vie est de
30 années.
14) Le temps, mesuré en heures, nécessaire pour réparer une certaine machine suit la loi
exponentielle de paramètre
0,5
.
a) Quelle est la probabilité que le temps de réparation excède 2 heures ?
b) Quelle est la probabilité qu’une réparation prenne au moins dix heures, étant donné
que sa durée a déjà dépassé 9 heures ?