Suite définie par une moyenne arithmétique Situation Compétences

sujet 044 ´ Epreuve pratique de math´ematiques Descriptif
Suite d´efinie par une moyenne arithm´etique
Situation
On consid`ere une suite (un) d´efinie pour tout nentier strictement positif comme moyenne des
npremiers termes d’une suite d’entiers.
Il s’agit de trouver une fonction simple ftelle que, pour tout entier n, on ait un=f(n).
Comp´etences ´evalu´ees
Comp´etences TICE
– Traitement d’une formule sommatoire avec une calculatrice ou un tableur ;
– Repr´esentation graphique d’une suite.
Comp´etences math´ematiques
– D´etermination d’une fonction polynˆome dont la courbe repr´esentative passe par des points
particuliers ;
– D´emonstration d’une formule par r´ecurrence.

Sujet 044 ´ Epreuve pratique de math´ ematiques Fiche ´ el` eve
Suite d´efinie par une moyenne arithm´etique
´
Enonc´e
On consid` ere la suite (un) d´ efinie pour tout nentier strictement positif par :
un=6
n(12+22+· · · +n2)=6 n
n
X
k=1
k2
Partie exp´erimentale
1. ` A l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice, repr´ esenter graphiquement les 50 premiers
termes de la suite (un).
2. ´ Emettre une conjecture sur le type de fonction ftelle que, pour tout nentier entre 1 et
50, on ait : un=f(n).
Appeler l’examinateur pour exposer votre conjecture et proposer une m´ ethode
pour la pr´ eciser.
3. Mettre en place la strat´ egie valid´ ee par l’examinateur et d´ eterminer pr´ ecis´ ement la
fonction f.
Appeler l’examinateur, lui indiquer la fonction ftrouv´ ee et lui proposer une m´ ethode
pour r´ esoudre la question 4.
D´emonstrations
4. (a) D´ emontrer que pour tout nentier naturel non nul, on a un=f(n) o ` ufest la
fonction valid´ ee par l’examinateur.
(b) En d´ eduire une formule simple donnant la somme des carr´ es des npremiers
entiers strictement positifs.
Production demand´ee
– Des explications orales et ` a l’´ ecran pour les questions 1 ` a 3 ;
– Les r´ eponses argument´ ees ` a la question 4.
1/1

Sujet 044 ´ Epreuve pratique de math´ ematiques Fiche professeur
Suite d´efinie par une moyenne arithm´etique
´
Enonc´e
On consid` ere la suite (un) d´ efinie pour tout nentier strictement positif par :
un=6
n(12+22+· · · +n2)=6 n
n
X
k=1
k2
Partie exp´erimentale
1. ` A l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice, repr´ esenter graphiquement les 50 premiers
termes de la suite (un).
2. ´ Emettre une conjecture sur le type de fonction ftelle que, pour tout nentier entre 1 et
50, on ait : un=f(n).
Appeler l’examinateur pour exposer votre conjecture et proposer une m´ ethode
pour la pr´ eciser.
+Si le candidat est en difficult´
e pour le calcul des sommes partielles des
suites, lui indiquer une proc´ edure (par exemple une d´ ecomposition en plusieurs
´
etapes/colonnes).
`
A l’issue de cet appel, le candidat doit s’orienter vers la recherche pour fd’une
fonction polynˆ ome du second degr´ e. L’examinateur aidera au besoin le candidat
`
a exposer sa strat´ egie pour trouver le dit polynˆ ome.
3. Mettre en place la strat´ egie valid´ ee par l’examinateur et d´ eterminer pr´ ecis´ ement la
fonction f.
Appeler l’examinateur, lui indiquer la fonction ftrouv´ ee et lui proposer une m´ ethode
pour r´ esoudre la question 4.
+Toute m´
ethode permettant de trouver l’expression de fest valide, mais
dans le cas d’une m´ ethode exp´ erimentale ou intuitive, on attend a minima du
candidat la v´ erification de la formule sur les 50 premiers termes.
Dans les autres cas de figure, l’examinateur pourra, si le candidat ne le fait pas de
lui-mˆ eme, sugg´ erer une strat´ egie de contrˆ ole des r´ esultats via une v´ erification
sur les premiers termes de la formule obtenue.
Le candidat maˆ ıtrisant un outil de calcul formel ne sera dispens´ e ni de la
repr´ esentation graphique, ni de la v´ erification sur les premiers termes de la
formule obtenue, ni a fortiori de la d´ emonstration de cette formule.
Pour la question 4, plusieurs strat´ egies sont possibles. Si le candidat n’en pro-
pose pas lui sugg´ erer un raisonnement par r´ ecurrence.
1/2

Sujet 044 ´ Epreuve pratique de math´ ematiques Fiche professeur
D´emonstrations
4. (a) D´ emontrer que pour tout nentier naturel non nul, on a un=f(n) o ` ufest la
fonction valid´ ee par l’examinateur.
(b) En d´ eduire une formule simple donnant la somme des carr´ es des npremiers
entiers strictement positifs.
+Le calcul de un+1connaissant un´
etant un peu compliqu´ e, on consid´ erera
qu’un candidat ayant d´ efini correctement les ´ etapes d’une d´ emonstration par
r´ ecurrence valide et trouvant la formule donnant la somme des carr´ es des n
premiers nombres entiers a r´ epondu aux attendus.
Production demand´ee
– Des explications orales et ` a l’´ ecran pour les questions 1 ` a 3 ;
– Les r´ eponses argument´ ees ` a la question 4.
Comp´etences ´evalu´ees
Comp´etences TICE
– Traitement d’une formule sommatoire avec une calculatrice ou un tableur ;
– Repr´ esentation graphique d’une suite.
Comp´etences math´ematiques
– D´ etermination d’une fonction polynˆ ome dont la courbe repr´ esentative passe par des points
particuliers ;
– D´ emonstration d’une formule par r´ ecurrence.
Remarque sur les outils
Le candidat qui dispose d’une calculatrice – ou d’un logiciel – int´ egrant du calcul formel,
peut trouver sans probl` eme la formule demand´ ee ` a la question 4.
Il doit n´ eanmoins r´ epondre ` a la question 1 et l’examinateur pourra ˆ etre plus exigeant sur la
partie d´ emonstration, surtout s’il y utilise ` a nouveau des fonctionnalit´ es de calcul formel.
2/2

Épreuve pratique de mathématiques Fiche évaluation
Numéro du sujet 044 Titre : Suite définie par une moyenne arithmétique
Nom Prénom : NOTE :
On ne cherchera pas à noter chacune des compétences. Pour établir la note finale on prendra en compte
les performances globales du candidat en respectant la grille de lecture suivante :
La capacité à expérimenter (qui prend en compte de façon dialectique les performances dans l’utilisation
des outils et la faculté de proposer des conjectures) doit représenter les trois quarts de la note finale.
La capacité à rendre compte des résultats établis à partir de cette expérimentation (démonstration,
argumentation …) représentera le quart restant.
La capacité à prendre des initiatives et à tirer profit des échanges avec l’examinateur sera globalement
prise en compte de façon substantielle.
Il n’est pas nécessaire qu’une compétence soit totalement maîtrisée pour être considérée comme acquise.
Les exemples cités ci-dessous ne sont pas exhaustifs
Compétences
Évaluées Éléments permettant de situer l’élève
(à remplir par l’examinateur)
L’élève est capable d’illustrer graphiquement la
situation avec l’outil TICE de son choix (tableur,
calculatrice,…).
L’élève tire profit des indications éventuellement
données à l’oral pour le calcul des termes de la
suite.
L’élève est capable d’expérimenter, de faire des
essais pour rechercher cette fonction (valoriser
toute démarche même initialement empirique).
Il est capable d’émettre une conjecture concernant
la fonction à rechercher, en cohérence avec ses
essais.
Il utilise de façon pertinente l’outil choisi pour
contrôler, à l’aide des TICE, la fonction
conjecturée après indications éventuellement
données à l’oral.
Suite à un éventuel questionnement oral, l’élève
est capable d’exposer sa démarche pour la suite
du problème.
L’élève tire profit des indications éventuellement
données à l’oral.
L’élève montre un certain nombre de
connaissances sur les polynômes du second degré,
et de savoir faire mathématiques sur les suites
numériques.
L’élève propose une résolution correcte de
l’exercice et il est capable d’émettre un retour
critique sur ses observations.
Autres observations :