Feuille d`exercices n˚1 Racine carrée d`un réel positif ou nul

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2013-2014
Mathématiques
Feuille d’exercices n˚1
Racine carrée d’un réel positif ou nul
Rappel 1 : Définition de la racine carrée d’un nombre réel positif ou nul
Soit x ∈ R+ .
1. Il existe un unique α ∈ R+ tel que α2 = x.
2. Ce réel α est appelé racine carrée de x et est noté
√
x.
Rappel 2 : Définition de la valeur absolue d’un nombre réel
Soit x ∈ R. La valeur absolue de x est le nombre réel positif ou nul noté |x| défini par :
x si x ≥ 0
|x| =
−x si x < 0.
Exercice 1 (Racine carrée d’un réel positif ou nul)
1. Une propriété utile pour établir qu’une racine carrée est égale à un nombre donné
Soit x ∈ R+ . Soit α ∈ R. Compléter la phrase suivante en donnant deux conditions sur α.


 ........................


Si 

et


........................



√
 alors x = α.



2. Racine carrée versus élévation au carré
√
(a) Soit x ∈ R+ . Simplifier ( x)2 . On conjecturera dans un premier temps le résultat, puis on le
démontrera.
√
(b) i. Justifier que le nombre x2 est bien défini pour tout x ∈ R.
√
ii. Justifier que ≪ pour tout x ∈ R, x2 = x ≫ est une assertion fausse.
√
iii. Soit x ∈ R. Simplifier x2 . On conjecturera dans un premier temps le résultat, puis on le
démontrera.
3. Calculs de quelques racines carrées remarquables
Calculer les carrés des entiers compris entre 0 et 20, puis interpréter ces résultats en termes de racines
carrées.
1
4. Propriétés algébriques de la racine carrée
(a) Justifier que ≪ pour tout couple (x, y) de nombres réels positifs ou nuls,
une assertion fausse.
√
√
√
x+y = x+ y
(b) Démontrer que pour tout couple (x, y) de nombres réels positifs ou nuls :
propriété est appelée multiplicativité de la racine carrée.
r
1
1
+∗
=√ .
(c) Démontrer que pour tout x ∈ R :
x
x
√
r
x
x
(d) Démontrer que pour tout x ∈ R+ , pour tout y ∈ R+∗ :
= √ .
y
y
5. Simplifications de quelques racines carrées
Simplifier les racines carrées suivantes :
√
√
√
√
40, 405, 847, 9408.
6. Quelques identités mettant en jeu des racines carrées
√
√
1
x+1− x= √
√ .
x+1+ x
p
√
√
√
(b) Montrer que : 8 + 2 12 = 2 + 6.
(a) Soit x ∈ R+ . Montrer que :
7. Une équation mettant en jeu une racine carrée
Résoudre l’équation
√
x2 − 8x + 16 = 2x + 1 d’inconnue x ∈ R.
2
≫
est
√ √
√
xy = x y. Cette