Feuille d`exercices n˚1 Racine carrée d`un réel positif ou nul

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI −2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚1
Racine carr´ee d’un r´eel positif ou nul
Rappel 1 : D´efinition de la racine carr´ee d’un nombre r´eel positif ou nul
Soit x∈R+.
1. Il existe un unique α∈R+tel que α2=x.
2. Ce r´eel αest appel´e racine carr´ee de xet est not´e √x.
Rappel 2 : D´efinition de la valeur absolue d’un nombre r´eel
Soit x∈R. La valeur absolue de xest le nombre r´eel positif ou nul not´e |x|d´efini par :
|x|=xsi x≥0
−xsi x < 0.
Exercice 1 (Racine carr´ee d’un r´eel positif ou nul)
1. Une propri´et´e utile pour ´etablir qu’une racine carr´ee est ´egale `a un nombre donn´e
Soit x∈R+. Soit α∈R. Compl´eter la phrase suivante en donnant deux conditions sur α.
Si
........................
et
........................
alors √x=α.
2. Racine carr´ee versus ´el´evation au carr´e
(a) Soit x∈R+. Simplifier (√x)2.On conjecturera dans un premier temps le r´esultat, puis on le
d´emontrera.
(b) i. Justifier que le nombre √x2est bien d´efini pour tout x∈R.
ii. Justifier que ≪pour tout x∈R,√x2=x≫est une assertion fausse.
iii. Soit x∈R. Simplifier √x2.On conjecturera dans un premier temps le r´esultat, puis on le
d´emontrera.
3. Calculs de quelques racines carr´ees remarquables
Calculer les carr´es des entiers compris entre 0 et 20, puis interpr´eter ces r´esultats en termes de racines
carr´ees.
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4. Propri´et´es alg´ebriques de la racine carr´ee
(a) Justifier que ≪pour tout couple (x, y) de nombres r´eels positifs ou nuls, √x+y=√x+√y≫est
une assertion fausse.
(b) D´emontrer que pour tout couple (x, y) de nombres r´eels positifs ou nuls : √xy =√x√y.Cette
propri´et´e est appel´ee multiplicativit´e de la racine carr´ee.
(c) D´emontrer que pour tout x∈R+∗:r1
x=1
√x.
(d) D´emontrer que pour tout x∈R+, pour tout y∈R+∗:rx
y=√x
√y.
5. Simplifications de quelques racines carr´ees
Simplifier les racines carr´ees suivantes : √40, √405, √847, √9408.
6. Quelques identit´es mettant en jeu des racines carr´ees
(a) Soit x∈R+. Montrer que : √x+ 1 −√x=1
√x+ 1 + √x
.
(b) Montrer que : p8 + 2√12 = √2 + √6.
7. Une ´equation mettant en jeu une racine carr´ee
R´esoudre l’´equation √x2−8x+ 16 = 2x+ 1 d’inconnue x∈R.
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