Les Racines Carrées

Les Racines Carr´ees
I. Carr´e d’un nombre
Pour tout nombre a, le carr´e de a est a2= a a.
a2est le carr´e de a.
Exercice :
On connaˆıt a2et on veut retrouver a.
a2= 25, alors a = 5 ou a = -5.
AB est une longueur. AB2= 13, alors AB = 13 (AB est positif car c’est une longueur).
troncature au milli`eme : AB 3,605
arrondi au centi`eme : AB 3,61
II. Racine carr´ee d’un nombre positif
Sur la figure ci-dessus, ABCD est un rectangle avec : AB = 3 ; BC = 2.
Calculons la longueur de la diagonale du rectangle ABCD :
Appliquons le th´eor`eme de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B :
AC2= AB2+ BC2
AC2= 13
La valeur exacte de AC est : 13
D´efinition :
a d´esigne un nombre positif.
La racine carr´ee de a est le nombre positif dont le carr´e est ´egal `a a.
Ce nombre est not´e a.
ase lit ”racine carr´ee de a”. Le symbole s’appelle un radical.
On a : a0, a 2a
Exemples :
0 0
1 1
25 5 car 52= 25 et 5 est un nombre positif.
16
9
4
3car 4 3
216
9et 4 3est un nombre positif.
Propri´et´e :
Si a d´esigne un nombre positif, alors : a2a
Preuve :
D’apr`es la d´efinition, a2est le nombre positif dont le carr´e est ´egal `a a2.
Or, a est le nombre positif dont le carr´e est a2.
Donc : a2a
Exemple :
12,4212,4
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III. ´ Equation de la forme x2a
Propri´et´e :
Si a 0,
alors l’´equation x2aadmet deux solutions : aet a
Si a = 0,
alors l’´equation x2aadmet une seule solution : 0
Si a 0,
alors l’´equation x2an’admet pas de solution.
Preuve :
Si a 0 :
L’´equation x2as’´ecrit :
x2a0
x2a20
x a x a 0
x a ou x a
L’´equation x2aadmet deux solutions : aet a.
Si a = 0 :
L’´equation x2as’´ecrit x20
L’´equation x2aadmet une seule solution : 0
Si a 0 :
Un carr´e n’´etant jamais n´egatif, l’´equation x2an’admet pas de solution.
Exemples :
L’´equation x217 admet deux solutions : 17 et 17.
L’´equation x22 n’admet aucune solution.
IV. Produit et quotient de racines carr´ees
1. Produit de deux racines
Conjecture : Calculer :
9 4 ... 9 4 ...
16 9 ... 16 9 ...
25 4 ... 25 4 ...
Solution :
9 4 3 2 6 9 4 36 6
16 9 4 3 12 16 9 144 12
25 4 5 2 10 25 4 100 10
On constate que :
9 4 9 4
16 9 16 9
25 4 25 4
Propri´et´e :
Le produit des racines carr´ees de deux nombres positifs est ´egale `a la racine carr´ee de leur produit.
Pour tous nombres a et b (a 0 et b 0) : a b ab
Preuve : Montrons que a b ab (pour tous les nombres a et b positifs).
Calculons le carr´e de a b :
a b
2
a2b
2
a b
Le nombre a b est le produit de deux nombres positifs. Il est donc positif et son carr´e est ´egal `a
a b
2
a b.
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On en d´eduit que : a b
2
a b, c’est-`a-dire a b ab
Exemples :
2 7 2 7 14
5 80 5 80 400 20220
50 25 2 25 2 5 2
28 4 7 4 7 2 7
2. Quotient de deux racines
Conjecture : Calculer :
100
25 ... 100
25 ...
144
4... 144
4...
100
4... 100
4...
Solution :
100
25
10
52100 25 4 2
144
4
12
26144 436 6
100
4
10
25100 425 5
On constate que :
100
25
100
25
144
4
144
4
100
4
100
4
Propri´et´e :
Le quotient des racines carr´ees de deux nombres positifs est ´egale `a la racine carr´ee de leur quotient.
Pour tous les nombres a et b positifs, on a : a
b
a
b
Preuve : Montrons que a
b
a
b(pour tous les nombres a et b positifs).
a
b
2a2
b
2
a
b
Le nombre positif a
ba donc pour carr´e a
b.
Or, a
best le seul nombre positif qui a pour carr´e a b.
Donc a
b
a
b
Exemples :
3
7
3
7
49
7
49
77
16
25
16
25
4
5
3. Remarques
La somme de deux racines carr´ees n’est pas ´egale `a la racine carr´e de la somme.
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Exemple :
64 36 8 6 14
et 64 36 100 10
Donc : 64 36 64 36
La diff´erence de deux racines carr´ees n’est pass ´egale `a la racine carr´ee de la diff´erence.
Exemple :
25 9 5 3 2
25 9 16 4
Donc : 25 9 25 9
V. Utilisation en g´eom´etrie
1. ABCD est un carr´e de cˆot´e a. D´eterminons BD.
ABCD est un carr´e, donc BCD est un triangle rectangle en C. Appliquons le th´eor`eme de Pythagore dans ce
triangle :
BD2= BC2+ DC2= a2+ a2= a22
Donc BD a22a22a2
La diagonale d’un carr´e de cˆot´e a mesure a2.
2. ABC est un triangle ´equilat´eral de cˆot´e a. (AH) est la hauteur issue de A. D´eterminons AH.
(AH) est la hauteur issue de A, donc AHC est un triangle rectangle en H.
(AH) est aussi la m´ediane issue de A. Elle coupe donc [BC] en son milieu H. Donc HC a
2
Dans le triangle AHC rectangle en H, on applique le th´eor`eme de Pythagore.
AC2= AH2+ HC2
AH2AC2HC2a2a
2
2
a2a2
4
4a2
4
a2
4
3a2
4
Donc : AH 3a2
4
3a2
4
3a2
4
3a
2
a3
2
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La hauteur d’un triangle ´equilat´eral de cˆot´e a mesure a3
2.
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