Dénombrement et probabilités ( révisions de 6 ème) I

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Dénombrement et probabilités ( révisions de 6 ème)
I. Dénombrement :
1. Exemples :
Exemple 1 :
Combien de nombres à 5 chiffres peut-on écrire à l’aide des trois chiffres 1,2,3 ?
Ecrire un nombre à 5 chiffres à l’aide des trois chiffres 1,2 et 3 c’est écrire une liste de 5
chiffres, chacun de ces chiffres étant égal soit à 1, soit à 2 , soit à 3.
Exemple 11232
On dit que chaque liste constitue un arrangement avec répétitions possibles de 5 chiffres
pris parmi 3 chiffres.
Le nombre d’arrangements avec répétitions possibles de 5 éléments pris parmi 3 éléments
est: 35 ( 3 choix pour le 1 er chiffre ,pour chacun de ces choix, 3 choix pour le 2ème chiffre
etc….soit 35 arrangements différents possibles)
Exemple 2 :
On dispose de 8 cartons identiques. Sur chacun de ces cartons figure l’une des 8 lettres A
B C D E F G H. En disposant n de ces cartons l’un à la suite de l’autre, on écrit un
mot de n lettres (ayant un sens ou non). Par exemple BAC , ACF sont des mots de 3 lettres
écrits à l’aide de ces huit cartons.
1. Combien y a-t-il de mots de trois lettres, (ayant un sens ou non), que l’on puisse écrire
avec ces 8 lettres?
On dit que chaque mot de trois lettres, (ayant un sens ou non), est un arrangement sans
répétition de 3 lettres prises parmi les 8 lettres de départ.
Le nombre d’arrangements sans répétition de 3 éléments pris parmi 8 éléments est noté:
A8
3
donc: A8
3 = 8×7×6 ( 8 choix pour la 1 ère lettre , 7 choix pour la 2 ème et 6 choix pour la 3
ème car on ne peut répéter la même lettre)
2.a. Parmi les 8 lettres dont on dispose, on ne prend, que les lettres: A , B et C.
Combien y a-t-il de mots de trois lettres, (ayant un sens ou non), que l’on puisse écrire avec
ces 3 lettres? 3 ×2×1 ABC ACB BAC BCA CAB CBA
b. Parmi les 8 lettres dont on dispose, on ne prend que 3 lettres.
Combien y a-t-il de mots de trois lettres, (ayant un sens ou non), que l’on puisse écrire avec
ces 3 lettres? 3 ×2×1
On dit que chaque mot de trois lettres, (ayant un sens ou non), est une permutation des 3
lettres prises au départ .

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Le nombre de permutations de 3 éléments est noté P3 ou 3 ! donc: 3 ! = 3 ×2×1
On dit que chaque ensemble de 3 lettres, est une combinaison de 3 lettres prises parmi les 8
lettres de départ
Le nombre de combinaisons de 3 éléments pris parmi 8 éléments (nombre de sous-
ensembles à 3 éléments que l’on peut faire dans un ensemble à 8 éléments) est noté: C8
3
Ecrire une égalité qui fait intervenir: A8
3 ; P3 et C8 3 : C8 3×P3 = A8 3
Donc: C8
3 = A8
3
3 !
Exemple 3 :. On dispose d’une bande partagée en 8 cases :
a. Déterminer le nombre de façons différentes de colorier en noir: (utiliser l’une des
notations introduites dans l’exemple précédent)
3 cases de cette bande 3
8
C
1 case de cette bande 8
2 cases de cette bande 2
8
C
b. Déduire de a., le nombre de façons différentes de colorier en noir:
5 cases de cette bande 3
8
5
8CC =
7 cases de cette bande 8
6 cases de cette bande 2
8
6
8CC =
Remarque : Choisir p objets parmi n c’est aussi choisir les n-p objets restants
2. Arrangements , permutations , combinaisons
a. Arrangements avec répétitions
Définition :
Soit E un ensemble fini de n éléments (n ≥ 1 ) et p un entier ( p ≥1).
E = e1;e2;e3;........; en-1 ;en
{}
Une suite ordonnée de p éléments de E, non nécessairement distincts, est appelée un
arrangement avec répétitions de p éléments de E.
Nombre d’arrangements avec répétitions :
Soit E un ensemble fini de n éléments ( n ≥1).
Pour tout entier p ( p ≥ 1), le nombre d’arrangements avec répétition de p éléments pris
parmi n est np

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Exemples :
1. Pour ouvrir la porte d’un immeuble, il faut taper un code de 4 chiffres.
Combien y a-t-il de codes possibles ? ( 104)
2. Pour ouvrir la porte d’un immeuble, il faut taper un code de 4 lettres
Combien y a-t-il de codes possibles ? (264)
3 Pour ouvrir la porte d’un immeuble, il faut taper un code de 4 éléments, qui sont des
chiffres ou des lettres. Combien y a-t-il de codes possibles ? ( 364)
b. Arrangements sans répétitions :
Définition :
Si l’on impose à une suite ordonnée de p éléments de E de ne contenir que des éléments de E
deux à deux distincts , la liste peut contenir au plus n éléments, d’où dans ce cas on aura
1 ≤ p ≤ n.
On parlera d’arrangement sans répétition de p éléments pris parmi n
Nombre d’arrangements sans répétition :
Pour tout entier p (1 ≤ p ≤ n ), le nombre d’arrangements sans répétitions de p éléments de
E est noté p
n
A
et p
n
A
= n(n-1).......(n-p+1) (p facteurs)
Exemples :
1. Pour ouvrir la porte d’un immeuble, il faut taper un code de 4 chiffres tous différents.
Combien y a-t-il de codes possibles ? (10×9×8×7)
2. Pour ouvrir la porte d’un immeuble, il faut taper un code de 4 lettres toutes différentes.
Combien y a-t-il de codes possibles ? (26×25×24×23)
3. Pour ouvrir la porte d’un immeuble, il faut taper un code de 4 éléments, qui sont des
chiffres ou des lettres tous différents . Combien y a-t-il de codes possibles ? (36×35×34×33)
c. Permutations :
Définition :
On appelle permutation d’un ensemble E de n éléments un arrangement sans répétition des n
éléments de E .( c’est-à-dire de n éléments pris parmi n)
Exemple : Les permutations de l’ensemble E={1,2,3} sont : 123 – 132– 213–231–312–321
Nombre de permutations d’un ensemble à n éléments :
Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ( n ≥ 1) est le nombre noté n !
(factorielle n) défini par : n ! = nx(n-1)x(n-2)x......x2x1.
Convention : 0 !=1
Exemples :
1. Pour ouvrir la porte d’un immeuble, il faut taper un code de 10 chiffres tous différents.
Combien y a-t-il de codes possibles ? 10 !

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2. Pour ouvrir la porte d’un immeuble, il faut taper un code de 6 lettres qui sont des voyelles
toutes différentes. Combien y a-t-il de codes possibles ? 6 !
d. Permutations de n éléments dont n1 sont identiques, n2 sont identiques, ..., nk sont
identiques:
a. Distinguons momentanément les éléments identiques, en les numérotant par exemple.
Le nombre de permutations de ces n éléments (artificiellement tous distincts pour l’instant)
est: n !
b. Si l’on supprime la distinction que l’on a faite sur les n1 éléments au départ, alors il n’y a
plus que n !
n1! permutations distinctes des n éléments.
Si l’on supprime maintenant la distinction que l’on a faite sur les n2 éléments au départ,
alors il n’y a plus que n !
n1 !n2 ! permutations distinctes des n éléments
Le nombre de permutations de n éléments dont n1 sont identiques, n2 sont identiques , ...,
nk sont identiques est: n !
n1!n2 !...nk !
On l’appelle le nombre de permutations de n éléments avec répétitions
Exemple :
On appelle anagramme d’un mot, tout mot (ayant un sens ou non) obtenu en effectuant une
permutation des lettres du mot de départ
1.Quel est le nombre d’anagrammes du mot: CARNAVAL ? 8 !
3 !
2. Quel est le nombre d’anagrammes du mot: RAREFIER ? 8 !
3 !2 !
e. Combinaisons sans répétitions :
Définition :
Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier tel que 0 ≤ p ≤ n , on appelle combinaison
de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments.
Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est noté p
n
C ou ( p
n )
10
11
n
nn n
Cn C C== =
Nombre de combinaisons à p éléments d’un ensemble à n éléments :
Pour n et p entiers tels que 0 ≤ p ≤ n , on a :
p
n
C = !
p
n
A
p
= n(n-1)...(n-p+1)
p(p-1)...x1 = n ! p !(n-p) ! .

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On considère le nombre de sous ensembles à p éléments dans un ensemble ayant n
éléments : p
n
C
Chacun de ces sous ensembles donne p ! arrangements de p éléments pris parmi n.
Le nombre total d’arrangements de p éléments pris parmi n , est donc:
!
!
p
soit
p
A
C
C
Ap
n
p
n
p
n
p
n
=
×=
Exemple : Au loto combien y a-t-il de tirages de 6 numéros parmi 49 ? C6
49
f. Combinaisons avec répétitions :
Définition :
On appelle combinaison avec répétitions de p éléments d’un ensemble à n éléments, un
sous- ensemble de E ayant p éléments qui ne sont pas forcément distincts
Exemple: E=a;b;c
{} , écrire toutes les combinaisons avec répétitions de 2 éléments de E
aa ab ac bb bc cc
Nombre de combinaisons avec répétition: (admis)
Le nombre de combinaisons avec répétitions de n éléments pris p à p est noté 1
pp
nnp
KC
+−
= .
1
pp
nnp
KC
+−
=
Exemple : Déterminer le nombre de dominos dans un jeu complet de dominos
28
2
78
!6!2
!8
2
8
2
7=
×
=== C
K
3. Propriétés des p
n
C. Formule du binôme
a. Propriétés des p
n
C.
Cn
0 =1 et Cn n =1 ; Cn 1 =n et Cn n
−
1 = n
Cn
p
= Cn
n−
p
choisir p éléments parmi n c’est aussi choisir les n-p éléments restants
Cn
p
+Cn
p
+1=Cn+1
p
+1