L`escargot de Pythagore Niveau : 3ème

L’escargot de Pythagore Niveau : 3ème
Scénario 1
Objectifs
• travailler les égalités baba =
2 ;
(
)
bcabcba +=+
• déstabilisation de l’erreur : baba +=+
Prérequis : notion de racine carrée, compatibilité de la racine carrée avec la multiplication
Modalité : utilisation collective, classe entière.
Matériel requis : vidéoprojecteur. Activité réalisable sans matériel informatique (support possible :
transparents + rétroprojecteur)
Déroulement :
 Projection de la figure « escargot enroulé »
(nombre de carrés variable, ici 4. On peut faire
apparaître plus de carrés au début pour faire
visualiser l’escargot puis en diminuer le nombre)
 Consigne : quelle est la longueur de la ligne marron (l’escargot).
 Aide possible : diminuer le nombre de carrés, éventuellement jusqu’à un pour faire apparaître la
décomposition en somme de diagonales de carrés et l’intervention du théorème de Pythagore.
 apport Tice : figure dynamique et curseur pour régler le nombre de carrés. Possible avec transparents et
rétroprojecteur mais beaucoup plus lourd.
La longueur s’exprime comme une somme de nombres en écriture avec radicaux 321882 +++
 Erreur attendue et recherchée : simplification en 60
 Dépliage de l’escargot
 la ligne brisée dont on cherche la longueur
apparait comme une ligne droite
Aide possible (animation « escargot1 » insuffisante ; « escargot2 » nécessaire) : on fait apparaître le grand
carré. L’affichage du quadrillage aide à calculer les longueurs des côtés des carrés.
 La longueur cherchée apparaît comme la diagonale d’un grand carré : 200 .

 Une contradiction apparaît : si 321882 +++ =60 alors 60 =200 !
 Simplification de chaque diagonale de petits carrés puis réduction de la somme puis comparaison de
210 et 200
Scénario 2
Objectifs :
• rencontre de baba ×=× sur un exemple puis preuve générale
• déstabilisation de l’erreur : baba +=+
• découvrir baba =
2 et
(
)
bcabcba +=+
Prérequis :
Si l’objectif est le travail sur baba =
2 et la réduction d’écriture, la disponibilité de la règle
baba ×=× rend le travail plus facile.
Déroulement :
Avec deux carrés, on provoque l’égalité : 1082 =+ .
A l’aide du grand carré, on prouve géométriquement que 1882 =+
La question de la preuve algébrique de 1882 =+ se fait en élevant chaque membre au carré.
On rencontre alors le produit 82 × et on prouve qu’il vaut 4 en l’élevant au carré.
On peut alors institutionnaliser la règle sur le produit ou la repousser à plus tard.
L’ordre des preuves géométriques et algébriques de 1882 =+ peut bien sur être interverti.
La question de l’explication du résultat reste entière : d’où vient le nombre 18 ?

 nécessité du travail sur baba ×=× puis découverte de baba =
2 (scénario non-écrit ...)
Prolongements :
 découvrir d’autres additions du même type (en restant dans le cadre numérique)
 augmenter le nombre de carrés et aboutir à d’autres additions du même type (en restant dans le cadre
algébrique)
 changer la longueur du côté du carré initial
 calculer la longueur de l’escargot (voir scénario 1)