L`escargot de Pythagore Niveau : 3ème

L’escargot de Pythagore
Niveau : 3ème
Scénario 1
Objectifs
• travailler les égalités
a 2b = a b ;
• déstabilisation de l’erreur :
a + b = a+b
a b + c b = (a + c ) b
Prérequis : notion de racine carrée, compatibilité de la racine carrée avec la multiplication
Modalité : utilisation collective, classe entière.
Matériel requis : vidéoprojecteur. Activité réalisable sans matériel informatique (support possible :
transparents + rétroprojecteur)
Déroulement :
Projection de la figure « escargot enroulé »
(nombre de carrés variable, ici 4. On peut faire
apparaître plus de carrés au début pour faire
visualiser l’escargot puis en diminuer le nombre)
Consigne : quelle est la longueur de la ligne marron (l’escargot).
Aide possible : diminuer le nombre de carrés, éventuellement jusqu’à un pour faire apparaître la
décomposition en somme de diagonales de carrés et l’intervention du théorème de Pythagore.
apport Tice : figure dynamique et curseur pour régler le nombre de carrés. Possible avec transparents et
rétroprojecteur mais beaucoup plus lourd.
La longueur s’exprime comme une somme de nombres en écriture avec radicaux 2 + 8 + 18 + 32
Erreur attendue et recherchée : simplification en 60
Dépliage de l’escargot
la ligne brisée dont on cherche la longueur
apparait comme une ligne droite
Aide possible (animation « escargot1 » insuffisante ; « escargot2 » nécessaire) : on fait apparaître le grand
carré. L’affichage du quadrillage aide à calculer les longueurs des côtés des carrés.
La longueur cherchée apparaît comme la diagonale d’un grand carré : 200 .
Une contradiction apparaît : si
2 + 8 + 18 + 32 = 60 alors
60 = 200 !
Simplification de chaque diagonale de petits carrés puis réduction de la somme puis comparaison de
10 2 et 200
Scénario 2
Objectifs :
• rencontre de a × b = a × b sur un exemple puis preuve générale
• déstabilisation de l’erreur : a + b = a + b
• découvrir
a 2 b = a b et a b + c b = (a + c ) b
Prérequis :
Si l’objectif est le travail sur a 2 b = a b et la réduction d’écriture, la disponibilité de la règle
a × b = a × b rend le travail plus facile.
Déroulement :
Avec deux carrés, on provoque l’égalité : 2 + 8 = 10 .
A l’aide du grand carré, on prouve géométriquement que 2 + 8 = 18
La question de la preuve algébrique de 2 + 8 = 18 se fait en élevant chaque membre au carré.
On rencontre alors le produit 2 × 8 et on prouve qu’il vaut 4 en l’élevant au carré.
On peut alors institutionnaliser la règle sur le produit ou la repousser à plus tard.
L’ordre des preuves géométriques et algébriques de
2 + 8 = 18 peut bien sur être interverti.
La question de l’explication du résultat reste entière : d’où vient le nombre 18 ?
nécessité du travail sur
a × b = a × b puis découverte de
a 2 b = a b (scénario non-écrit ...)
Prolongements :
découvrir d’autres additions du même type (en restant dans le cadre numérique)
augmenter le nombre de carrés et aboutir à d’autres additions du même type (en restant dans le cadre
algébrique)
changer la longueur du côté du carré initial
calculer la longueur de l’escargot (voir scénario 1)