son corrigé - ambition

LFA/TerminaleS
stageremédiation
corrigé
séq.10
MmeMAINGUY
T.S
remédiation
Thèmesabordés
–loiuniforme,loisnormales
´acquérir les bons réflexes
(
)
ex1†Soit b unnombreréel.Lavariablealéatoire X suitlaloiuniformesur ⎡⎣ 4 ; b ⎤⎦ .Onsaitque p X < 10 = 0,8 .
–Déterminons b :
Ladensitédeprobabilitéassociéeàlavariablealéatoire X estlafonction f définiesur ⎡⎣ 4 ; b ⎤⎦ par:
1
b− 4
10
1
10 − 4
6
6
dx =
=
= 0,8 ⇔ 0,8 ( b − 4 ) = 6 ⇔ b − 4 =
= 7,5 ⇔ b = 7,5 + 4 = 11,5 .
Onaalors: p ( X < 10 ) = ∫
b
−
4
b
−
4
b
−
4
0,8
4
( )
– E X =
f ( x) =
4 + b 4 + 11,5
=
= 7,75 .
2
2
ex2ˆ
1) –Résolutiondans ! l’équation x + x − 6 = 0 :puis x + x − 6 ≤ 0 .
2
2
( )
Onreconnaîtunpolynômededegré2.Calculonslediscriminant Δ : Δ = b2 − 4ac = 12 − 4 × 1× −6 = 25 .
Δ > 0 ,lepolynômeadmetdeuxracinesréellesdistinctes.
−b − Δ −1− 25 −1− 5
6
−b + Δ −1+ 25 −1+ 5 4
=
=
= − = −3 ; x2 =
=
=
= = 2 .
2a
2
2
2
2a
2
2
2
2
Lessolutionsdel’équation x + x − 6 = 0 sont −3 et 2 .
–Résolutiondel’inéquation x 2 + x − 6 ≤ 0 :lepolynômealesignede« a »doncpositifàl’extérieurdesracineset
de« −a »doncnégatifentrelesracines.Ainsi S = ⎡⎣ −2 ; 3⎤⎦ .
x1 =
2) Onchoisitauhasardunentierdel’intervalle ⎡⎣ 0 ; 5⎤⎦ .
a/L’intervalle ⎡⎣0 ; 5⎤⎦ contient 6 entiers.Ilyadonc6choixpossible.
b/Notons A l’événement«cetentierestsolutiondel’équation x 2 + x − 6 = 0 »
1
Seull’entier3réalisel’événement A .D’où p A = .
6
c/Notons B l’événement«cetentierestsolutiondel’inéquation x 2 + x − 6 ≤ 0 ».
4 2
Lesentiersréalisantl’événement B sont: 0 , 1 , 2 et 3 .D’où p B = = .
6 3
( )
( )
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3) Onchoisitauhasardunréeldel’intervalle ⎡⎣ 0 ; 5⎤⎦ .Soit X lavariablealéatoiresuivantuneloiuniformesur ⎡⎣ 0 ; 5⎤⎦ ( ) 15 .
+ x − 6 = 0 est: p ( X = 3) = 0 .
–Ladensitédeprobabilitéestlafonction f définiesurcetintervallepar: f x =
Laprobabilitépourqueceréelsoitsolutiondel’équation x 2
–Calculonslaprobabilitéqueleréelsoitsolutiondel’inéquation x 2 + x − 6 ≤ 0 :notons J = ⎡⎣0 ; 3⎤⎦ et I = ⎡⎣0 ; 5⎤⎦ (
longueur de J 3− 0 3
=
= longueur de I 5 − 0 5
)
p X ≤ 3 =
Ilyadonc3chancessur5queleréelchoisiauhasardsoitsolutiondel’inéquation x 2 + x − 6 ≤ 0 .
ex3ˆ
Onnote X lavariablealéatoirequi,àchaquejournéedumoisdemars,associelatempératuremoyenneendegrés,à
Stockholm. X suituneloinormale N 0 ;1 .
( )
1) TempératuremoyenneàStockholmenmars: µ = 0 .LatempératuremoyenneàStockholmestde0°C.
Faitpaschaudlà-bas!!!
2) Calculonslaprobabilitéque,le20mars,latempératuremoyennesoit:
a/inférieureà1°C:
p X ≤1 = p X ≤ 0 + p 0 ≤ X ≤1
(
)
(
) (
)
1
= 0,5 + p ( −1 ≤ X ≤ 1)
2
= 0,5 + 0,5 × p ( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) = 0,5 + 0,5 × 0,683
= 0,8415
Ilyaenviron84,1%dechancequelatempératuremoyennesoitinférieureà1°Cle20mars.
b/supérieureà −1,5 °C:
(
)
p X ≤ −1,5 ≈ 0,067 Ilyaenviron6,7%dechancequelatempératuremoyennesoitinférieureà −1,5°C le20mars.
c/compriseentre −0,5 °Cet 0,5 °C?
(
)
p −0,5 ≤ X ≤ 0,5 ≈ 0,383 Ilyaenviron38,3%dechancequelatempératuremoyennesoitcompriseentre −0,5 et 0,5 °Cle20mars.
3) Température t arrondieaudixième,telleque:
a/ p X ≤ t = 0,1 ⇔ t ≈ −1,28 (
)
10%desjournéesdumoisdemarsontunetempératuremoyenneinférieureà −1,28 °C.
b/ 10 %desjournéesaientunetempératuremoyennesupérieureà t :
Déterminons t telque p X > t = 0,1 :
(
)
(
(
)
)
p X > t = 0,1 ⇔ 1− p X ≤ t = 0,1
(
)
⇔ p X ≤ t = 0,9
⇔ t ≈ 1,28°C
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c/ 75 %desjournéesaientunetempératuremoyennecompriseentre −t et t .
p −t ≤ X ≤ t = 0,75 ⇔ 2 p 0 ≤ X ≤ t = 0,75
(
)
(
)
(
)
⇔ p ( X ≤ 0 ) + p ( 0 ≤ X ≤ t ) = 0,875 !#"#
$
⇔ p 0 ≤ X ≤ t = 0,375
(
=0,5
)
⇔ p X ≤ t = 0,875
⇔ t ≈ 1,15°C
ex4ˆ
OnétudieleQId’unepopulation.Ondésignepar X lavariablealéatoirequi,àchaquepersonnechoisieauhasard,associe
lerésultatdesontestdeQI.
Onadmetque X suituneloinormale N
( µ ;σ ) avec µ = 100 et σ = 15 .Onarrondiralesrésultatsaucentième.
2
1) Onchoisitunepersonneauhasard.
CalculonslaprobabilitéquecettepersonneaitunQI:
a/supérieurà90: p X ≥ 90 ≈ 0,75 .
(
)
Ilya75%dechancequelapersonneaitunQIsupérieurà90.
b/inférieurà85:
p X ≤ 85 = p X ≤ µ − σ = p X ≥ µ + σ = p X ≥ 115 (parsymétrie)
(
)
(
(
) (
)
D’autrepart: p (85 ≤ X ≤ 115) = p ( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) = 0,68 Enfin: p ( X ≤ 85) + p (85 ≤ X ≤ 115) + p ( X ≥ 115) = 1 (
)
) (
)
(
)
cad: 2 p X ≤ 85 + p 85 ≤ X ≤ 115 = 1 ⇔ p X ≤ 85 ≈
!##"##$
≈0,68
1− 0,68
≈ 0,16 2
Ilya16%dechancequelapersonneaitunQIinférieurà85.
c/comprisentre70et90?
p 70 ≤ X ≤ 90 ≈ 0,23 ;ilya23%dechancequelapersonneaitunQIcomprisentre70et90.
(
)
2) a/ p X < k1 = 0,90 ⇔ k1 ≈ 119 ?ainsi, 90% despersonnesontunQIinférieurà119.
(
)
b/
p X ≥ k2 = 0,6 ⇔ 1− p X ≤ k2 = 0,6
(
)
(
)
⇔ p ( X ≤ k2 ) = 0,4
⇔ k2 ≈ 96
Ilenrésulteque60%despersonnesontunQIsupérieurà96.
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ex5ˆ
MmeMAINGUY
Soit Y lavariablealéatoirequi,àchaquegarçond’unlycée,associesatailleencm.Onadmetque Y suituneloinormale
Y − 178
d’espérance170cmetd’écart-type σ .Onnote Z lavariablealéatoiredéfiniepar Z =
.
σ
( )
1) Z suituneloinormalecentréeréduite N 0 ;1 .
2) Sionchoisitungarçonauhasard,laprobabilitéquecelui-ciaitunetaillecompriseentre170cmet186cmest0,7.
Onadonc:
⎛ 170 − 178
186 − 178 ⎞
p (170 ≤ X ≤ 186 ) = 0,7 ⇔ p ⎜
≤Z≤
⎟⎠ = 0,7
σ
σ
⎝
⎛ −8
8⎞
⇔ p⎜
≤ Z ≤ ⎟ = 0,7
σ⎠
⎝σ
⎛
8⎞
⇔ 2 p ⎜ 0 ≤ Z ≤ ⎟ = 0,7
σ⎠
⎝
( par symétrie)
⎛
8⎞
⇔ p ⎜ 0 ≤ Z ≤ ⎟ = 0,35
σ⎠
⎝
⎛
8⎞
⇔ p ( Z ≤ 0 ) + p ⎜ 0 ≤ Z ≤ ⎟ = 0,85
!
#"#
$
σ⎠
⎝
0,5
⎛
8⎞
⇔ p ⎜ Z ≤ ⎟ = 0,85
σ⎠
⎝
⇔
8
8
≈ 1,04 cad σ ≈
≈8
σ
1,04
ex6ˆ
Lavariablealéatoire X suitlaloinormale N
(
(
)
⎧ p X < 55 = 0,7977
( µ ;σ ) telleque: ⎪⎨ p ( X > 48) = 0,6306 2
⎩⎪
)
X suituneloinormale µ ; σ 2 ⇔ Z suituneloinormalecentréeréduite N ( 0 ;1) .
1)
⎛
155 − µ ⎞
155 − µ
= 0,7977 ⇔
≈ 0,8334 – p X < 155 = 0,7977 ⇔ p ⎜ Z <
⎟
σ ⎠
σ
⎝
–
p X > 48 = 0,6306 ⇔ 1− p X > 48 = 0,6306 ⇔ p X < 48 = 1− 0,6306 = 0,3694
(
(
)
)
(
)
⎛
48 − µ ⎞
48 − µ
⇔ p⎜ Z <
= 0,3694 ⇔
≈ −0,3334
⎟
σ
σ
⎝
⎠
(
)
2) Onobtientlesystème:
⎧155 − µ
≈ 0,8334
⎧σ = 107
⎪⎪ σ
≈ 92
⎧ µ + 0,8334σ = 155 ⎧1,1668σ = 107
⎪
1,1668
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⎨
⎩ µ = 0,3334σ + 48 ⎪⎩ µ = 0,3334σ + 48 ≈ 79
⎪ 48 − µ ≈ −0,3334 ⎩ µ − 0,3334σ = 48
⎪⎩ σ