son corrigé - ambition

LFA$/$Terminale$S$stage$remédiation$Mme$MAINGUY$
!
!
!
!
!
!
!Thèmes$abordés$
!!loi!uniforme,!lois!normales!
!
!
´!acquérir les bons réflexes
ex1"!Soit!
b
!un!nombre!réel.!La!variable!aléatoire!
X
!suit!la!loi!uniforme!sur!
4 ; b
⎡
⎣⎤ ⎦
.!On!sait!que!
p X <10
( )
=0,8
.!
!!!!!!Déterminons!
b
!:!!
!!!!!!La!densité!de!probabilité!associée!à!la!variable!aléatoire!
X
!est!la!fonction!
f
!définie!sur!
4 ; b
⎡
⎣⎤ ⎦
!par!:!!
!!!!!!!! ! ! !
f x
( )
=1
b−4
!
!!!!!!!On!a!alors!:!
p X <10
( )
=1
b−4
4
10
∫dx =10 −4
b−4=6 b−4=0,8 ⇔0,8 b−4
( )
=6⇔b−4=6
0,8 =7,5 ⇔b=7,5 +4=11,5
.!
!!!!!!
E X
( )
=4+b
2=4+11,5 2=7,75
.!
!
ex2#!
1) !!Résolution!dans!
!
!l’équation!
x2+x−6=0
!:puis!
x2+x−6≤0
.!
!!On!reconnaît!un!polynôme!de!degré!2.!Calculons!le!discriminant!
Δ
!:!
Δ=b2−4ac =12−4×1× −6
( )
=25
.!
!!
Δ>0
,!le!polynôme!admet!deux!racines!réelles!distinctes.!
!!
x1=−b− Δ
2a
=−1−25
2
=−1−5
2
=−6
2
=−3 ; x2=−b+Δ
2a
=−1+25
2
=−1+5
2
=4
2
=2
.!
!!Les!solutions!de!l’équation!
x2+x−6=0
!sont!
−3
!et!
2
.!
!
!!Résolution!de!l’inéquation!
x2+x−6≤0
!:!le!polynôme!a!le!signe!de!«!
a
!»!donc!positif!à!l’extérieur!des!racines!et!!
!!de!«!
−a
!»!donc!négatif!entre!les!racines.!Ainsi!
S=−2 ; 3
⎡
⎣⎤ ⎦
.!
!
!
2) On!choisit!au!hasard!un!entier!de!l’intervalle!
0 ; 5
⎡
⎣⎤ ⎦
.!
a/!L’intervalle!
0 ; 5
⎡
⎣⎤ ⎦
!contient!
6
!entiers.!Il!y!a!donc!6!choix!possible.!
b/!Notons!
A
!!l’événement!«!cet!entier!est!solution!de!l’équation!
x2+x−6=0
!»!
!!!!!!Seul!l’entier!3!réalise!l’événement!
A
.!D’où!
p A
( )
=1
6
.!
c/!Notons!
B
!l’événement!«!!cet!entier!est!solution!de!l’inéquation!
x2+x−6≤0
!»!.!
!!!!!!Les!entiers!réalisant!l’événement!
B
!sont!:!
0 ,1 , 2 et 3
.!D’où!
p B
( )
=4
6=2 3
.!
!
!
corrigé!
séq.10! remédiation! T.S!

LFA$/$Terminale$S$stage$remédiation$Mme$MAINGUY$
!
!
!
3) On!choisit!au!hasard!un!réel!de!l’intervalle!
0 ; 5
⎡
⎣⎤ ⎦
.!Soit!
X
!la!variable!aléatoire!suivant!une!loi!uniforme!sur!
0 ; 5
⎡
⎣⎤ ⎦
!
!!La!densité!de!probabilité!est!la!fonction!
f
!définie!sur!cet!intervalle!par!:!
f x
( )
=1
5
.!
!!La!probabilité!pour!que!ce!réel!soit!solution!de!l’équation!
x2+x−6=0
!!est!:!
p X =3
( )
=0
.!
!
!!Calculons!la!probabilité!que!le!réel!soit!solution!de!l’inéquation!
x2+x−6≤0
!:!!notons!
J=0 ; 3
⎡
⎣⎤ ⎦
!et!
I=0 ; 5
⎡
⎣⎤ ⎦
!!
!!
p X ≤3
( )
=longueur de J
longueur de I =3−0 5−0=3 5
!
Il!y!a!donc!3!chances!sur!5!que!le!réel!choisi!au!hasard!soit!solution!de!l’inéquation!
x2+x−6≤0
.!
!
ex3#!
On!note!
X
!la!variable!aléatoire!qui,!à!chaque!journée!du!mois!de!mars,!associe!la!température!moyenne!en!degrés,!à!!
Stockholm.!
X
!suit!une!loi!normale!
N0 ;1
( )
.!
1) Température!moyenne!à!Stockholm!en!mars!:!!
µ =0
.!La!température!moyenne!à!Stockholm!est!de!0°C.!!
!"#$%!&#'!()#*+!,-./#'!000!!
!
!
2) Calculons!la!probabilité!que,!le!20!mars,!la!température!moyenne!soit!:!
a/!inférieure!à!1°C!:!!
!!!!!
p X ≤1
( )
=p X ≤0
( )
+p0≤X≤1
( )
=0,5 +1
2p−1≤X≤1
( )
=0,5 +0,5 ×p µ − σ ≤X≤ µ + σ
( )
=0,5 +0,5 ×0,683
=0,8415
!
Il!y!a!environ!84,1%!de!chance!que!la!température!moyenne!soit!inférieure!à!1°C!le!20!mars.!
!
!
b/!supérieure!à!
−1,5
°C!:!
!!!
p X ≤ −1,5
( )
≈0,067
!
!!!!Il!y!a!environ!6,7%!de!chance!que!la!température!moyenne!!soit!inférieure!à!
−1,5°C
!le!20!mars.!
!
!
c/!comprise!entre!
−0,5
°C!et!
0,5
°C!?!
!!!!!
p−0,5 ≤X≤0,5
( )
≈0,383
!!
!!!!!Il!y!a!environ!38,3%!de!chance!que!la!température!moyenne!soit!comprise!entre!
−0,5
!et!
0,5
°C!le!20!mars.!
!
!
3) Température!
t
!arrondie!au!dixième,!telle!que!:!
a/!
p X ≤t
( )
=0,1 ⇔t≈ −1,28
!
!!!!!!10%!des!journées!du!mois!de!mars!ont!une!température!moyenne!inférieure!à!
−1,28
°C.!
!
!
b/!
10
%!des!journées!aient!une!température!moyenne!supérieure!à!
t
!:!!
!!!!!!!Déterminons!
t
!tel!que!
p X >t
( )
=0,1
!:!
!!!!!!!
p X >t
( )
=0,1 ⇔1−p X ≤t
( )
=0,1
⇔p X ≤t
( )
=0,9
⇔t≈1,28°C
!

LFA$/$Terminale$S$stage$remédiation$Mme$MAINGUY$
!
!
!
!
c/!
75
%!des!journées!aient!une!température!moyenne!comprise!entre!
−t
!et!
t
.!
!!!!!!
p−t≤X≤t
( )
=0,75 ⇔2p0≤X≤t
( )
=0,75
⇔p0≤X≤t
( )
=0,375
⇔p X ≤0
( )
=0,5
! "# $# +p0≤X≤t
( )
=0,875
⇔p X ≤t
( )
=0,875
⇔t≈1,15°C
!
!
!
!
ex4#!
On!étudie!le!QI!d’une!population.!On!désigne!par!
X
!la!variable!aléatoire!qui,!à!chaque!personne!choisie!au!hasard,!associe!
le!résultat!de!son!test!de!QI.!
On!admet!que!
X
!suit!une!loi!normale!
Nµ ; σ
2
( )
!avec!
µ =100
!et!
σ =15
.!On!arrondira!les!résultats!au!centième.!
1) On!choisit!une!personne!au!hasard.!
Calculons!la!probabilité!que!cette!personne!ait!un!QI!:!!
!
a/!supérieur!à!90!:!
p X ≥90
( )
≈0,75
.!
!!!!!Il!y!a!75%!de!chance!que!la!personne!ait!un!QI!supérieur!à!90.!
!
!
b/!inférieur!à!85!:!!
!!!!!
p X ≤85
( )
=p X ≤ µ − σ
( )
=p X ≥ µ + σ
( )
=p X ≥115
( )
!(par!symétrie)!
!!!!!D’autre!part!:!
p85 ≤X≤115
( )
=p µ − σ ≤X≤ µ + σ
( )
=0,68
!
!!!!!Enfin!:!
p X ≤85
( )
+p85 ≤X≤115
( )
+p X ≥115
( )
=1
!
!!!!!cad!:!!!!!
2p X ≤85
( )
+p85 ≤X≤115
( )
≈0,68
! "## $## =1⇔p X ≤85
( )
≈1−0,68
2
≈0,16
!
!!!!!Il!y!a!16%!de!chance!que!la!personne!ait!un!QI!inférieur!à!85.!
!!!!!!
!
c/!compris!entre!70!et!90!?!
!!!!!
p70 ≤X≤90
( )
≈0,23
!;!il!y!a!23%!de!chance!que!la!personne!ait!un!QI!compris!entre!70!et!90.!
!
!
2) a/!!
p X <k1
( )
=0,90
⇔k1≈119
!?!ainsi,!
90%
!des!personnes!ont!un!QI!inférieur!à!119.!
!
b/!!
!!!!!
p X ≥k2
( )
=0,6 ⇔1−p X ≤k2
( )
=0,6
⇔p X ≤k2
( )
=0,4
⇔k2≈96
!
!!!!!Il!en!résulte!que60%!des!personnes!ont!un!QI!supérieur!à!96.!
!
!
!
!
!
!
!

LFA$/$Terminale$S$stage$remédiation$Mme$MAINGUY$
!
!
ex5#!
Soit!
Y
!la!variable!aléatoire!qui,!à!chaque!garçon!d’un!lycée,!associe!sa!taille!en!cm.!On!admet!que!
Y
!suit!une!loi!normale!
d’espérance!170!cm!et!d’écart-type!
σ
.!On!note!
Z
!la!variable!aléatoire!définie!par!
Z=Y−178
σ
.!
1) !
Z
!suit!une!loi!normale!centrée!réduite!
N0 ;1
( )
.!
!
2) Si!on!choisit!un!garçon!au!hasard,!la!probabilité!que!celui-ci!ait!une!taille!comprise!entre!170!cm!et!186!cm!est!0,7.!
On!a!donc!:!!
p170 ≤X≤186
( )
=0,7 ⇔p170 −178
σ
≤Z≤186 −178
σ
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=0,7
⇔p−8
σ
≤Z≤8
σ
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=0,7
⇔2p0≤Z≤8
σ
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=0,7 par symétrie
( )
⇔p0≤Z≤8
σ
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=0,35
⇔p Z ≤0
( )
0,5
! "# $# +p0≤Z≤8
σ
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=0,85
⇔p Z ≤8
σ
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=0,85
⇔8
σ
≈1,04 cad σ ≈8
1,04 ≈8
!
!
!
ex6#!
La!variable!aléatoire!
X
!suit!la!loi!normale!
Nµ ; σ
2
( )
!telle!que!:!
p X <55
( )
=0,7977
p X > 48
( )
=0,6306
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
!
1)
X
!suit!une!loi!normale!
µ ; σ
2
( )
!
⇔
!
Z
!suit!une!loi!normale!centrée!réduite!
N0 ;1
( )
.!
!!
p X <155
( )
=0,7977 ⇔p Z <155 −
µ
σ
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=0,7977 ⇔155 −
µ
σ
≈0,8334
!
!!!
!!
p X >48
( )
=0,6306 ⇔1−p X >48
( )
=0,6306 ⇔p X <48
( )
=1−0,6306 =0,3694
⇔p Z <48 −
µ
σ
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=0,3694 ⇔48 −
µ
σ
≈ −0,3334
!
!
2) On!obtient!le!système!:!!
155 − µ
σ
≈0,8334
48 − µ
σ
≈ −0,3334
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
µ +0,8334 σ =155
µ −0,3334 σ =48
⎧
⎨
⎩
⇔1,1668
σ =107
µ =0,3334 σ +48
⎧
⎨
⎩
⇔
σ =107
1,1668 ≈92
µ =0,3334 σ +48 ≈79
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
!
!
!
!
!
!