Qu`appelle – t- on fonction continue en un point ? Vous avez vu en

Qu’appelle – t- on fonction continue en un point ?
Vous avez vu en classe de première que la notion de limite en un point ne supposait
rien sur la valeur de f en ce point. Il y a une catégorie de fonctions qui ont un
comportement plus simple : ce sont les fonctions continues. Le but ici est de vous
donner une idée de la notion de continuité.
Comme la notion de limite, la continuité est une notion locale.
Nous admettrons donc la définition suivante :
Soit I un intervalle de IR, x0 ∈ I = ]a, b[ et f : I
→

IR.
On dit que la fonction f est continue en x0 si et seulement si f(x) tend vers f(x0) quand
x tend vers x0.
Autrement dit, pour que f soit continue en x0, il faut et il suffit que f admette une
limite quand x → x0 et que cette limite soit égale à f(x0).
On dit que f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.
Bijectivité, Monotonie et Continuité
Nous admettrons le théorème suivant où I et J désignent des intervalles de IR.
Soit f : I → J, une fonction continue.
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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Alors f est une bijection si seulement si elle est strictement monotone sur I.
(Attention, la condition de continuité est importante !)
Continuité de la fonction réciproque
Théorème
Soit f : I →J, une fonction continue et bijective. (Pardon pour la tautologie…)
Alors la fonction réciproque f
–1
: J → I est aussi continue.
La continuité de la bijection réciproque est donc automatique. On appliquera ce
résultat à des fonctions usuelles.
La fonction x
→

ln x est strictement croissante et continue sur ]0, + ∞[, à valeurs dans
IR, elle est donc bijective d’après ce qui précède, et sa bijection réciproque s’appelle
exponentielle et se note x
→

exp x.
La fonction ainsi obtenue est définie sur IR tout entier et strictement croissante. Elle
admet donc des limites quand x → + ∞ et quand x → – ∞.
Changement de notations. _ Pour n dans ZZ, on a en utilisant successivement
(a) la définition de exp,
(b) le fait qu’il existe un nombre > 0 et un seul, noté e, tel que ln e = 1,
(c) ln x n = n ln x, ce pour, x > 0 et n ∈ ZZ,
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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ln (exp n ) = n = n ln e = ln e n donc, puisque la fonction logarithme est strictement
croissante, exp n = e n.
Ceci suggère de définir e x même si l’exposant x n’est pas un entier rationnel par la
formule
e x = exp x.
C’est cette notation que nous adopterons désormais.
Notons que e xe – x = e 0 = 1, donc e x ≠ 0 pour tout x.
Nous venons de voir que e x ≠ 0 ; mieux : e x = (e x/2)2 > 0.
Essayons maintenant de calculer rapidement et de manière précise, le nombre e. Cidessous, un exemple de calcul explicite pour n = 14. Toutes les divisions étant faites
« de tête » et par défaut, pour pouvoir tenir compte des erreurs d’arrondi, qui sont
loin d’être négligeable, je vous suggère de vérifier à l’aide de votre calculatrice, les
résultats obtenus.
1+
1 1
+
= 2,5
1! 2!
1 1 1 26
+ + =
= 0,216666666666….
3! 4! 5! 120
1 1
8
1
+ =
=
= 0,001587301587….
6! 7! 5040 630
1
1 5040
=
= 0,0000248001587….
8!
8
1
1 8!
=
= 0,000002755731….
9! 9
1
= 0,000000275573….
10!
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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1
= 0,000000025052….
11!
1
= 0,000000002087….
12!
1
= 0,000000000160….
13!
1
= 0,000000000011….
14!
En prenant e = 2,71828182846 on est sûr qu’en valeur absolue l’erreur ne dépassera
pas
0,6 × 10 – 11.
Autrement dit, le nombre e est la limite de la suite (sn) définie par
sn = 1 +
1 1
1
+ +…+
1! 2!
n!
x2 x3
xn
Plus généralement, e = 1 + x +
+
+…+
+…
2! 3!
n!
x
Le développement précédent montre que e x > 1 + x pour x > 0.
Donc
lim
ex = +
x → +∞
∞
En changeant x en – x on trouve
lim e x
x → –∞
=0
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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Ainsi e x est une fonction de la variable réelle x qui croît strictement de 0 à + ∞. La
transformation t = e x possède donc une transformation réciproque, définie pour t > 0 ;
on la note x = lnt.
C’est une fonction strictement croissante qui croît de – ∞ à + ∞. La relation
fonctionnelle ln(tt’ ) = lnt + lnt’, t ett’ étant deux réels strictement positifs, se traduit
par :
 ln(tt’ ) = ln (e xe x’ )

 lnt + lnt’ = ln e x + ln e x’= (x + x’ ) ln e = ln (e x + x’ )
donc ln (e xe x’ ) = ln (e x + x’ )
et
e xe x’ = e x + x ’
On en déduit le tableau de variation de x
de
x
→

Quand x
→
→

e x ; son graphe Γ est symétrique de celui
ln x par rapport à la première bissectrice (x
+ ∞, on a e x
→
+ ∞ ; Nous avons vu que
→

x)
ln t
lim
= 0, et d’après le
t → +∞t
théorème d’une fonction composée énoncé comme suit : soient f et g deux fonctions.
On suppose que
lim f (x) = b et lim g(x) = ξ alors lim g[f(x)] = ξ
x →a
x →b
x → a
d’où,
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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lim
t → +∞
ln (e x )
=0
ex
i.e.
x
ex
→
0, ou
ex
→ + ∞.
x
Le graphe Γ admet donc une branche parabolique dans la direction (oy)
Puisque cette fonction est la fonction réciproque de ln, on a
y = e x ⇔ x = ln y
e ln (x) = x
ln e x = x
Remarque
La fonction f : x
→

x 3 est définie et continue sur IR, strictement croissante sur IR. Elle
est donc par conséquent bijective et admet une fonction réciproque g. Si y ∈ IR, g(y)
est le nombre réel tel que (g(y))3 = y ; autrement dit : g(y) = 3 y.
On voit que f – 1, dans ce cas, n’a rien à voir ave
1
; l’emploi du symbole f – 1 doit donc
f
être prudent. Si x ∈ X et y ∈ Y, on a évidemment y = f(x) ⇔ x = f – 1(y)
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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Dérivée _
Un peu de culture ! : Dérivée d’une fonction réciproque. _ soit f une fonction continue
strictement monotone sur un intervalle I. Soit g la fonction réciproque, définie dans
un intervalle J. Si f est partout dérivable dans I, g est partout dérivable dans J, alors
g’ (y) =
1
, où y =
f ’(x)
f(x)
Soit y = e x. On a d’après ce qui précède,
(e x)’x =
1
1
= = y = e x,
(lny)’y 1
y
donc
(e x)’ = e x.
y
o
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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x
I _ Avant d’effectuer tout calcul concernant les logarithmes
ξ _ Vous devez déterminer le sous-ensemble de IR sur lequel vous allez travailler.
∆ _ Ne pas confondre ln A et A : A doit être un réel strictement positif alors que ln A
peut être un réel négatif (ln 0,5 < 0).
Il faut retenir que ln A > 0 ⇔ A > 1 et ln A < 0 ⇔ 0 < A < 1.
ζ _ La fonction x
→

ln x a pour dérivée sur ]0 ; + ∞[ la fonction x
déduisez pas que la fonction x
→

ln (u(x)) a pour dérivée x
→

→

1
mais n’en
x
1
.
u(x)
Pour éviter toute ambiguïté, utilisez systématiquement la formule condensée
(ln u )’ (x) =
u ’(x)
1
même si u(x) = x (car vous trouverez bien ).
u(x)
x
η _ Rappelons que pour l’étude de fonctions, vous devez :
1. Préciser le signe de la fonction dérivée avant de dresser le tableau des variations.
2. Justifier les calculs de limites (avec éventuellement les croissances comparées) et
donner les asymptotes s’il y a lieu.
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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δ _ Dans toute équation du type (ln x )2 + ln x – 2 = 0, il est habituel de poser ln x = χ
pour
x > 0 afin de se ramener à la résolution d’une équation connue. Ne confondez
pas
(ln x)2, carré du logarithme de x, et ln(x 2), logarithme du carré de x.
 ln a > ln b
π _ L’équivalence : 
⇔ a>b>0
 a > 0, b > 0
traduit le fait que la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[, et comme
de plus la fonction ln est continue sur IR,
 ln a = ln b
a=b
L’équivalence : 
⇔
 a > 0, b > 0
 a > 0, b > 0
traduit le fait que la fonction ln est bijective de ]0 ; + ∞[ sur IR.
χ _ Des remarques du même type que les précédentes se retrouvent pour la fonction
exponentielle.
Ώ _
La méthode suivie lors de la résolution d’équations faisant intervenir des
exponentielles (e x, e
, e 2x…) consiste à poser e x= χ et à se ramener ensuite à la
– x
résolution de certaines équations connues.
 ex = a
 x = lna
On utilise alors l’équivalence : 
⇔
 a>0
 a>0
∆ Attention : # l’équation e x= – 2 n’a pas de solution, car e x = (e x/2)2 > 0. En revanche,
 ln x = – 2
# l’équation 
a pour solution x = e – 2.
 a>0
ξ _ La fonction dérivée de x
→

e x est x
→

e x mais le fait que la fonction dérivée soit
égale à la fonction donnée ne s’applique pas au cas x
→

a x, si a ≠ e. Afin d’éviter
toute erreur, comme pour la fonction ln, utilisez systématiquement :
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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x
→

e u (x ) a pour fonction dérivée x
→

u ’(x)e u (x ).
ζ _ L’équivalence e a > e b ⇔ a > b traduit le fait que la fonction exp est strictement
croissante sur IR. On sait de plus qu’elle est continue sur IR, par suite,
l’équivalence e a =e b⇔ a = b traduit le fait que la fonction exp est une bijection de IR
]0 ; + ∞[.
sur
∆ Attention : # _ e
– 2
a un sens alors que l’équation e x = – 2 n’admet pas de
solution.
∆
# _ a x = e x ln a pour a > 0.
II _ Comment déterminer la limite d’une fonction comportant…
1. … la fonction ln ?
ά _ Faire apparaître des expressions de la forme
ln x
ou x α lnx avec α > 0 et utiliser
xα
le cours.
Exemples :
ά 1 f(x) = x 3 + 2 – ln x pour x → + ∞
2 ln x 
ln x

f(x) = x 3 1 + 3 – 3  avec lim
= 0.
x
x 

x → + ∞ x3
ά 2 f(x) =
(ln x)2
pour x → + ∞
x
(ln x)2
f(x) =
×
x
1
ln x
ln x 2
=
avec
lim
= 0.
 ×
1  x
1
x → +∞ x
1+
1+
x
x
1
ά3 f(x) = 5x(ln x)2 pour x → 0
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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f(x) = 5( x ln x)2 avec
lim x1/2 ln x = 0.
x → 0
2…. La fonction exp ?
ζ _ Faire apparaître des expressions de la forme
ex
ou x α e α avec α > 0 et utiliser le
xα
cours.
Exemples :
ζ1 _
f(x) = 3 x2 + 1 – e x pour x → + ∞
1 ex 
ex

f(x) = x2 3 + 2 – 2 avec lim
= + ∞.
x x

x → + ∞ x2
ζ 2 _ f(x) =
ex
pour x → + ∞
x3 + x 2
f(x) =
ex
×
x3
1
1+
1
x
avec
ex
lim
= + ∞.
x → + ∞ x3
ζ 3 _ f(x) = x 3 e – 2x pour x → + ∞
f(x) = (x 3/2e – x )2 avec
lim x 3/2e – x = 0.
x → +∞
III _ Comment résoudre une équation comportant des logarithmes
ξ1 _ Déterminer, avant tout calcul, l’ensemble de définition de l’équation.
ξ2 _ Transformer l’équation proposée pour la ramener à une équation équivalente
du type ln A = ln B (A > 0, B > 0). Vous pourrez alors en déduire que A = B car la
fonction ln réalise une bijection de ]0, + ∞[ vers IR..
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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ξ3 _ Si l’équation proposée comporte des expressions du type (ln x)3 , (ln x)2 , il peut
être intéressant de procéder à un changement de variable en posant : χ = ln x .
IV _ Comment résoudre une inéquation comportant des logarithmes
ζ1 _ Déterminer, avant tout calcul, l’ensemble de définition de l’inéquation.
ζ2 _
Transformer l’inéquation proposée pour la ramener à une inéquation
équivalente du type ln A > ln B (ou ln A < ln B) avec A > 0 et B > 0. Vous pourrez
alors en déduire que
A > B (ou A < B) car la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞ [.
ζ3 _ Si l’inéquation proposée comporte des expressions du type (ln x) 3 ou (ln x)2, il
peut être intéressant de procéder à un changement de variable en posant : χ = ln x .
V _ Comment résoudre une équation comportant des exponentielles
μ1 _ Transformer l’équation proposée pour la ramener à une équation équivalente
du type eA = e B. Vous pourrez alors en déduire que A = B, puisque que la fonction
exp réalise une bijection de IR sur ]0 ; + ∞[.
μ2 _ Si l’équation proposée comporte des expressions du type e 3x , e 2x , … , il peut être
intéressant de procéder à un changement de variable en posant :
χ = ex avec e 3x = χ 3, e 2x = χ 2.
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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VI _ Comment résoudre une inéquation comportant des exponentielles
λ1 _
Transformer l’inéquation proposée pour la ramener à une inéquation
équivalente du type e A > e B (ou eA < eB) . Vous pourrez alors en déduire que A > B (ou
A < B) car la fonction exp est strictement croissante sur IR.
λ2 _ Si l’inéquation proposée comporte des expressions du type e 3x , e 2x , … , il peut
être intéressant de procéder à un changement de variable en posant : χ = ex avec :
e 3x = χ 3, e 2x = χ 2.
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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Soit k un nombre réel. On considère la fonction fk définie sur [0, 1] par :
 fk(x) = x (ln x)2 + kx si x > 0

 fk(0) = 0
On note Γk la courbe représentative de la fonction fk dans le plan rapporté au repère

→

→
orthonormé (O; i , j ) (unité graphique 10 cm).
A. Dans cette question k = 0. Étude et représentation de f0.
1. Signe de la dérivée
a. Calculer la dérivée f’0 de f0 sur ]0,1] et montrer que f’0(x) peut s’écrire sous la
forme : f’0(x) = (ln x)(ln x + 2).
b. Déterminer les solutions de l’équation f’0(x) = 0 sur ]0, 1]
c. Étudier le signe de f’0(x) sur ]0, 1].
2. Étude à l’origine
a. Déterminer la limite de
ln u
u
, puis de
(ln u)2
lorsque u tend vers + ∞.
u
b. En déduire que x(ln x)2 tend vers 0 quand x tend vers 0, puis que f0 est continue
en 0.
c. Déterminer la limite de
f0(x)
lorsque x tend vers 0.
x
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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En déduire la tangente en 0 à la courbe Γ0.
3. Tracé de la courbe Γ0
a. Dresser le tableau des variations de f0.
b. Tracer la courbe Γ0.
B. Étude de fk
1. Dérivée de fk
a. Calculer f’k(x) sur ]0, 1].
b. Soit Ak le point de Γk d’abscisse 1. Montrer que la tangente δk à Γk au point Ak est
la droite (OAk).
2. Étude à l’origine
a. Établir que fk est continue en 0. Nous admettrons la définition suivante :
Soit I un intervalle de IR, x0 ∈ I = ]a, b[ et f : I
→

IR.
On dit que la fonction f est continue en x0 si et seulement si f(x) tend vers f(x0) quand
x tend vers x0.
Autrement dit, pour que f soit continue en x0, il faut et il suffit que f admette une
limite quand x → x0 et que cette limite soit égale à f(x0).
On dit que f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.
b. Déterminer la tangente à Γk en 0.
Les variations de fk ne sont pas demandées.
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.

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C. Étude et représentation de f1 et f1/2
1. Étude de f1 et tracé de Γ1
a. Prouver que pour tout x ∈ ]0, 1], f ‘1(x) = (lnx + 1)2.
b. Déterminer la position relative des courbes Γ0 et Γ1.
c. Établir le tableau de variation de f’1 et tracer Γ1 sur le même graphique que Γ0 en
précisant le coefficient directeur de la tangente δ1 à Γ1 au point A1.
2. Étude de f1/2 et tracé de Γ1/2
a. Prouver que pour tout x ∈ [0, 1], f1/2(x) =
f0(x) + f1(x)
2
b. En déduire une construction de Γ1/2 à partir de Γ0 et Γ1 et tracer Γ1/2 sur le même
graphique que Γ0 et Γ1 en précisant la tangente δ1/2 à Γ1/2 au point A1/2 .
Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log →
x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2,718281…. Est le début de sa représentation décimale.
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