Qu`appelle – t- on fonction continue en un point ? Vous avez vu en

Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2, → 718281…. Est le début de sa représentation décimale.
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Qu’appelle – t- on fonction continue en un point ?
Vous avez vu en classe de première que la notion de limite en un point ne supposait
rien sur la valeur de f en ce point. Il y a une catégorie de fonctions qui ont un
comportement plus simple : ce sont les fonctions continues. Le but ici est de vous
donner une idée de la notion de continuité.
Comme la notion de limite, la continuité est une notion locale.
Nous admettrons donc la définition suivante :
Soit I un intervalle de IR, x0 ∈ I = ]a, b[ et f : I → IR.
On dit que la fonction f est continue en x0 si et seulement si f(x) tend vers f(x0) quand
x tend vers x0.
Autrement dit, pour que f soit continue en x0, il faut et il suffit que f admette une
limite quand x → x0 et que cette limite soit égale à f(x0).
On dit que f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.
Bijectivité, Monotonie et Continuité
Nous admettrons le théorème suivant où I et J désignent des intervalles de IR.
Soit f : I → J, une fonction continue.

Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2, → 718281…. Est le début de sa représentation décimale.
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Alors f est une bijection si seulement si elle est strictement monotone sur I.
(Attention, la condition de continuité est importante !)
Continuité de la fonction réciproque
Théorème
Soit f : I →J, une fonction continue et bijective. (Pardon pour la tautologie…)
Alors la fonction réciproque f – 1 : J → I est aussi continue.
La continuité de la bijection réciproque est donc automatique. On appliquera ce
résultat à des fonctions usuelles.
La fonction x → ln x est strictement croissante et continue sur ]0, + ∞[, à valeurs dans
IR, elle est donc bijective d’après ce qui précède, et sa bijection réciproque s’appelle
exponentielle et se note x → exp x.
La fonction ainsi obtenue est définie sur IR tout entier et strictement croissante. Elle
admet donc des limites quand x → + ∞ et quand x → – ∞.
Changement de notations. _ Pour n dans ZZ, on a en utilisant successivement
(a) la définition de exp,
(b) le fait qu’il existe un nombre > 0 et un seul, noté e, tel que ln e = 1,
(c) ln x n = n ln x, ce pour, x > 0 et n ∈ ZZ,

Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2, → 718281…. Est le début de sa représentation décimale.
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ln (exp n ) = n = n ln e = ln e n donc, puisque la fonction logarithme est strictement
croissante, exp n = e n.
Ceci suggère de définir e x même si l’exposant x n’est pas un entier rationnel par la
formule e x = exp x.
C’est cette notation que nous adopterons désormais.
Notons que e xe – x = e 0 = 1, donc e x ≠ 0 pour tout x.
Nous venons de voir que e x ≠ 0 ; mieux : e x = (e x/2)2 > 0.
Essayons maintenant de calculer rapidement et de manière précise, le nombre e. Ci-
dessous, un exemple de calcul explicite pour n = 14. Toutes les divisions étant faites
« de tête » et par défaut, pour pouvoir tenir compte des erreurs d’arrondi, qui sont
loin d’être négligeable, je vous suggère de vérifier à l’aide de votre calculatrice, les
résultats obtenus.
1 + 1
1! + 1 2! = 2,5
1
3! + 1 4! + 1 5! = 26 120 = 0,216666666666….
1
6! + 1 7! = 8 5040 = 1 630 = 0,001587301587….
1
8! =
1
5040
8 = 0,0000248001587….
1
9! =
1
8!
9 = 0,000002755731….
1
10! = 0,000000275573….

Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2, → 718281…. Est le début de sa représentation décimale.
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1
11! = 0,000000025052….
1
12! = 0,000000002087….
1
13! = 0,000000000160….
1
14! = 0,000000000011….
En prenant e = 2,71828182846 on est sûr qu’en valeur absolue l’erreur ne dépassera
pas 0,6 × 10 – 11.
Autrement dit, le nombre e est la limite de la suite (sn) définie par
sn = 1 + 1
1! + 1 2! + … + 1
n !
Plus généralement, e x = 1 + x + x 2
2! + x 3 3! + … + x n
n ! + …
Le développement précédent montre que e x > 1 + x pour x > 0.
Donc
lim
x → + ∞
e
x
= +
∞
En changeant x en – x on trouve
lim
x → – ∞
e
x
= 0

Puisque x → Log x est bijective, il existe un nombre x, et un seul, vérifiant l’équation :
Log x = 1 ; il a une importance considérable en analyse ; on le désigne par la lettre e et
2, → 718281…. Est le début de sa représentation décimale.
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Ainsi e x est une fonction de la variable réelle x qui croît strictement de 0 à + ∞. La
transformation t = e x possède donc une transformation réciproque, définie pour t > 0 ;
on la note x = lnt.
C’est une fonction strictement croissante qui croît de – ∞ à + ∞. La relation
fonctionnelle ln(tt’ ) = lnt + lnt’, t ett’ étant deux réels strictement positifs, se traduit
par :
 ln(tt’ ) = ln (e xe x’ )
lnt + lnt’ = ln e x + ln e x’= (x + x’ ) ln e = ln (e x + x’ )
donc ln (e xe x’ ) = ln (e x + x’ )
et
e
x
e
x’
= e
x + x ’
On en déduit le tableau de variation de x → e x ; son graphe Γ est symétrique de celui
de x → ln x par rapport à la première bissectrice (x
→
x)
Quand x → + ∞, on a e x → + ∞ ; Nous avons vu que lim
t → + ∞
ln t
t = 0, et d’après le
théorème d’une fonction composée énoncé comme suit : soient f et g deux fonctions.
On suppose que
lim
x → a f (x) = b et lim x → b g(x) =
ξ alors lim
x → ag[f(x)] =
ξ
d’où,