Terminale ES - Primitive et Calcul d`une intégrale
Primitive et Calcul d’une intégrale
I) Primitive
1) Définition :
Soit une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de sur I, toute fonction dérivable sur I dont
la dérivée ’ est égale à .
Exemple :
Soit la fonction définie sur IR par .
Les fonctions et définies sur IR par
et =
sont
des primitives de .
2) Ensemble des primitives d’une fonction :
a) Propriété :
Soit une fonction définie sur un intervalle . On suppose qu’il existe une
primitive de sur
L’ensemble des primitives de sur est l’ensemble des fonctions définies
sur par où décrit IR.
Remarques :
Si la fonction admet une primitive sur un intervalle alors elle en admet une infinité.
Soit et deux primitives de sur tels que = , alors dans un repère
orthogonal la courbe représentative de est obtenue à partir de la courbe
représentative de par translation de vecteur .
b) Primitive prenant une valeur donnée en un réel donné :
Propriété :
Soit une fonction définie sur un intervalle . On suppose
queadmet des primitives sur . Soit et deux réels tels que
.
Il existe une unique primitive de vérifiant =
Exemple :
Soit la fonction définie pour tout par =
Déterminer la primitive de telle que =
On vérifie facilement que les primitives de sont =
Si on veut = alors d’où = – 23
La primitive cherchée est donc =
3) Primitives des fonctions usuelles :
Soit un réel quelconque.
est définie sur par
Les primitives de sur
sont définies par :
L’intervalle =
IR
IR
IR
] - ; 0 [
ou
] 0 ; +
[
] - ;0 [
ou
] 0 ; +
[
] 0 ; +[
] 0 ; +[
+
IR
4) Primitives et opérations sur les fonctions :
Propriétés de linéarité :
Soit et des primitives respectives des fonctions et sur un
intervalle I alors :
● F + G est une primitive de la fonction + sur ;
● Pour tout réel , est une primitive de la fonction sur .
Exemples :
● Les primitives de = sont =3
+ = + ,
● Les primitives de =
sont sur ] 0 ; +
[ :
=
+ ,
Primitives et composées de fonctions
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle .
Fonction f
Primitives de f sur I
Condition sur u
Aucune condition
particulière
+
+
+
+
Aucune condition
particulière
Exemples :
Pour chaque fonction , déterminer ses primitives et en déduire une primitive sur l’intervalle I.
a) = ; = IR ; b) =
; =
.
c)=
; I = ]2 ; +
[ ; d) =
; I = ]0 ; +
[.
Réponses :
a) = en utilisant la formule avec on obtient :
=
+
b) =
en utilisant la formule
avec on obtient :
= +
c) )=
en utilisant la formule
avec on obtient :
=
+
d) =
en utilisant la formule avec
on obtient :
=
+
II) Calcul d’une intégrale :
1) Primitive d’une fonction continue :
a) Théorème :
Si est une fonction continue sur un intervalle et si est un réel de
l’intervalle I alors la fonction F définie sur I par =
est l’unique primitive de sur s’annulant en .
Exemples :
Exemple 1 : Soit la fonction définie sur IR par =
.
Déterminer le sens de variation de sur IR.
Réponse :
D’après ce qui précède est l’unique primitive de =
qui s ‘annule en
Donc
et donc sur IR et de ce fait est strictement
croissante sur IR
Exemple 2 : Soit la fonction définie sur par =
Déterminer le sens de variation de sur
Réponse :
est l’unique primitive de =
qui s ‘annule en
Donc
et donc sur et de ce fait
est strictement croissante sur
Remarque
2) Intégrales et primitives :
Propriété :
Soit une fonction continue sur un intervalle, et sont deux réels de .
Soit une primitive de sur . On a
= –
Notation :
On écrit aussi
=
Exemple 1 : Calculer
Réponse :
=
Exemple 2 : Calculer =
Réponse :
=
=
=
1
/
5
100%
