4e – Chapitre 12 – Cosinus d`un angle aigu

Cosinus d’un angle aigu.
I – Définition du cosinus
Le cosinus d’un angle 
BAC se note cos( 
BAC ).
Ci-contre, le triangle ABC est rectangle en B,
 ) = AB
donc cos( A
AC
 ) = BC .
et
cos( C
AC
côté adjacent
de l’angle C
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté
adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
C
hypoténuse
A
B
côté adjacent de l’angle A
Chaque angle aigu a un seul cosinus, chaque valeur du cosinus correspond à un seul angle aigu.
Comment calculer le cosinus d’un angle avec la calculatrice ?
La calculatrice doit être en mode « degré » (un D est affiché sur l’écran).
Tapez COS puis la mesure de l’angle puis =.
mesure de
l’angle
cosinus de
l’angle (valeur
approchée)
0°
1
10°
15°
20°
30°
45°
60°
70°
75°
80°
0,98 0,97 0,94 0,87
0,71
0,5
0,34 0,26 0,17
90° ce n'est pas un
angle aigu !
0
Attention !
• Le cosinus d’un angle aigu est toujours un nombre entre 0 et 1.
• Le cosinus d’un angle n’a pas d’unité.
Comment calculer la mesure d’un angle avec la calculatrice ?
La calculatrice doit être en mode « degré » (un D est affiché sur l’écran).
Tapez COS-1 (ou Acos) puis la valeur du cosinus puis =.
II – Calculer les mesures des angles aigus d’un triangle rectangle
Exemple :
M
6
M.
8
P
N
10
Je sais que le triangle MNP est rectangle en
D’après la définition du cosinus d’un angle
aigu :
MP
 ) = MN
cos( N
et cos( P ) =
.
NP
NP
 ) = 6 = 0,6.
Donc cos( N
10

Par conséquent N ≈ 53,1°.
8
Et cos( P ) =
= 0,8, donc P ≈ 36,9°.
10
Remarque : pour calculer la mesure du 2e angle aigu, on peut aussi utiliser le fait que la
somme des mesures des angles d'un triangle est 180° ou que les angles aigus d'un triangle
rectangle sont complémentaires.
III – Calculer les longueurs des côtés d’un triangle rectangle.
1. Calculer la longueur d’un des côtés de l’angle droit.
Exemple :
B
Le triangle ABC est rectangle en B.
D’après la définition du cosinus d’un angle aigu :
20°
A
 ) = AB
cos( A
AC
5 cm
C
Le côté [AB] mesure environ 4,7 cm.
et
 ) = BC .
cos( C
AC
 ) = 5 × cos(20°) ≈ 4,7.
Donc AB = AC × cos( A
2. Calculer la longueur de l’hypoténuse.
Exemple :
2 cm
B
62°
Le triangle ABC est rectangle en B.
D’après la définition du cosinus d’un angle aigu :
A
 ) = AB
cos( A
AC
et
 ) = BC
cos( C
AC
 ) = 2 ÷ cos(62°) ≈ 4,3.
Donc AC = AB ÷ cos( A
L’hypoténuse mesure 4,3 cm environ.
C