4e – Chapitre 12 – Cosinus d`un angle aigu

Cosinus d’un angle aigu.
I – Définition du cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté
adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
Le cosinus d’un angle
BAC
se note cos(
BAC
).
Ci-contre, le triangle ABC est rectangle en B,
donc cos(
A
) =
AB
AC
et cos(
C
) =
BC
AC
.
Chaque angle aigu a un seul cosinus, chaque valeur du cosinus correspond à un seul angle aigu.
Comment calculer le cosinus d’un angle avec la calculatrice ?
La calculatrice doit être en mode « degré » (un D est affiché sur l’écran).
Tapez COS puis la mesure de l’angle puis =.
mesure de
l’angle 0° 10° 15° 20° 30° 45° 60° 70° 75° 80° 90° ce n'est pas un angle aigu !
cosinus de
l’angle ( valeur
approchée )
1 0,98 0,97 0,94 0,87 0,71 0,5 0,34 0,26 0,17 0
Attention !
•Le cosinus d’un angle aigu est toujours un nombre entre 0 et 1.
•Le cosinus d’un angle n’a pas d’unité.
Comment calculer la mesure d’un angle avec la calculatrice ?
La calculatrice doit être en mode « degré » (un D est affiché sur l’écran).
Tapez COS-1 (ou Acos) puis la valeur du cosinus puis =.
II – Calculer les mesures des angles aigus d’un triangle rectangle
Exemple :
Je sais que le triangle MNP est rectangle en
M.
D’après la définition du cosinus d’un angle
aigu :
cos(
N
) =
MN
NP
et cos(
P
) =
MP
NP
.
C
B
A
hypoténuse
côté adjacent de l’angle A
côté adjacent de l’angle C
M
P
N
6
8
10

Donc cos(
N
) =
6
10
= 0,6.
Par conséquent
N
≈ 53,1°.
Et cos(
P
) =
8
10
= 0,8, donc
P
≈ 36,9°.
Remarque : pour calculer la mesure du 2e angle aigu, on peut aussi utiliser le fait que la
somme des mesures des angles d'un triangle est 180° ou que les angles aigus d'un triangle
rectangle sont complémentaires.
III – Calculer les longueurs des côtés d’un triangle rectangle.
1. Calculer la longueur d’un des côtés de l’angle droit.
Exemple :
Le triangle ABC est rectangle en B.
D’après la définition du cosinus d’un angle aigu :
cos(
A
) =
AB
AC
et cos(
C
) =
BC
AC
.
Donc AB = AC × cos(
A
) = 5 × cos(20°) ≈ 4,7.
Le côté [AB] mesure environ 4,7 cm.
2. Calculer la longueur de l’hypoténuse.
Exemple :
Le triangle ABC est rectangle en B.
D’après la définition du cosinus d’un angle aigu :
cos(
A
) =
AB
AC
et cos(
C
) =
BC
AC
Donc AC = AB ÷ cos(
A
) = 2 ÷ cos(62°) ≈ 4,3.
L’hypoténuse mesure 4,3 cm environ.
B
C
A
20°
5 cm
B
C
A
62°
2 cm