Première S. Devoir commun de Mathématiques

Première S. Devoir commun de Mathématiques
Durée de l’épreuve : 4 heures
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants et est noté sur 20 points. Les questions
hors barème peuvent rapporter jusqu’à 3 points supplémentaires.
Dans chaque exercice, il est possible d’admettre un résultat précédemment donné dans le
texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le graphique de l’exercice 4 est à rendre avec la copie.
L’élève est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou
non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté
et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation
des copies.
Exercice 1 (4 points).
Partie A. Obligatoire :
Pour chacune des affirmations suivantes, numérotées de 1 à 8, dire si elle est vraie ou fausse.
Justifier la réponse. Aucun point ne sera attribué sans justification.
1°) La suite udéfinie par un= −(n+1) ×(n+2) ×(n+3) est strictement décroissante.
2°) La suite udéfinie par u0=1 et un+1=2+1
u2
n
(n≥0) est strictement croissante.
3°) Si uest une suite à termes non nuls et si pour tout entier naturel n, on a un+1
un<1, alors
uest strictement décroissante.
4°) La suite udéfinie par un=1+3n
4est arithmétique.
5°) La somme des 100 premiers termes de la suite arithmétique de raison 5 et de premier
terme 3 est égale à 25300.
6°) La suite géométrique uvérifiant u0= −3 et u21 =6291456 a pour raison q=2.
7°) Si uet vsont deux suites géométriques, alors la suite uv de terme général un×vnest
géométrique.
8°) Toute suite géométrique de raison q>1 et de premier terme non nul est strictement
monotone.
Partie B. Hors barème (2 points) :
Soit la suite udéfinie par u0=−3 et un+1=−5un+6
2un+2(n≥0).
1°) Démontrer que la suite vde terme général vn=2un+3
un+2est géométrique.
Donner sa raison et son premier terme.
2°) En déduire l’expression de v, puis celle de uen fonction de n.
1

Exercice 2 (3,5 points).
Rappel :
Dire qu’une fonction vest dérivable en un réel ade son domaine de définition signifie que
lim
h→0
v(a+h)−v(a)
h=v′(a)∈R.
1°) Soit vla fonction définie sur R+=[0;+∞[ par v(x)=px.
Démontrer que pour tout réel a>0, on a v′(a)=1
2pa.
2°) Application :
On note fla fonction définie par f(x)=(x2−20)px.
On se propose de dresser le tableau de variations complet de cette fonction.
a) Quel est le domaine de définition de f? Justifier.
b) Déterminer les limites de faux bornes de son domaine de définition.
c) Calculer f′(x), puis étudier son signe.
d) En déduire le sens de variation de fsur son domaine de définition.
e) Conclure.
Exercice 3 (4 points).
Dans un repère orthogonal du plan, Cfdésigne la courbe représentative de la fonction f
définie sur R−{2} par
f(x)=x2−3x+6
x−2.
1°) Etudier les limites de faux bornes de son ensemble de définition.
2°) Que peut-on en déduire pour la courbe Cf?
3°) Déterminer les réels a,bet ctels que pour tout réel x6=2,
f(x)=ax +b+c
x−2.
4°) En déduire que la droite D d’équation y=x−1 est asymptote oblique à la courbe Cfen
+∞ et en −∞.
5°) Etudier la position relative de Cfpar rapport à D.
6°) Montrer que pour tout x6=2,
f′(x)=x(x−4)
(x−2)2,
puis étudier son signe.
7°) Dresser le tableau de variations complet de f.
8°) Hors barème (1 point) :
Donner l’approximation affine locale de f(x) pour xvoisin de 3.
En déduire une valeur approchée de f(2, 9999).
2

NOM et Prénom : ............................. Classe : ...............
Exercice 4 (3,5 points).
Sur le graphique ci-dessous :
–Cfdésigne la courbe représentative d’une fonction fdéfinie et dérivable sur R−{1} ;
–∆1est asymptote verticale à Cfen 1 et ∆2est asymptote oblique à Cfen +∞et en −∞;
– T est la tangente à Cfau point d’abscisse 2.
O 1
1
Cf
∆1
∆2
T
1°) Donner une équation de ∆1. Déterminer une équation de ∆2.
2°) En déduire les quatre limites de faux bornes de son domaine de définition.
3°) Lire f(2) et f′(2). En déduire une équation de T.
4°) Sachant que f′(−3) =−3
4, tracer sur le graphique la tangente à Cfau point d’abscisse -3.
5°) Dresser le tableau de variations de f, puis le tableau de signes de f′(x).
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Exercice 5 (5 points).
On se donne un triangle direct DEF rectangle en D et tel que DE =3 et DF =4. On note
– G le barycentre de (E,4) et (F,3) ;
– H le barycentre de (E,4) et (F,−3) ;
– I le point défini par −→ DI =1
3−→
DE ;
– J le point défini par −→ EJ =4
5−→
EF.
1°) Sur une page entière qui sera complétée tout au long de l’exercice, tracer le triangle DEF
dans le quadrant supérieur gauche, puis placer les points G, H, I et J.
2°) On note El’ensemble des points M tels que
(4−−→ ME +3−−→ MF) ·(4−−→ ME −3−−→ MF) =0.
L’objectif de cette question est de démontrer que Eest le cercle Cde diamètre [GH].
a) Expliquer pourquoi Eest exactement l’ensemble des points M tels que −−→ MG·−−→ MH =0.
b) Si M est un point de Cdistinct de G et H, quelle est la nature du triangle GMH ?
En déduire que tout point de Cest aussi un point de E.
c) Montrer que pour tout point M, on a
−−→
MG ·−−→ MH =−−→ MO2−−−→ OG2,
où O désigne le milieu de [GH].
En déduire que tout point M de Eest aussi un point de C.
d) Conclure, puis tracer E.
3°) Dans cette question, les coordonnées de points sont relatives au repère orthonormal
(D; 1
3−→
DE, 1
4−→
DF).
a) Quelles sont les coordonnées des points D, E et F ?
b) Calculer les coordonnées des points G et H.
c) Utiliser les questions précédentes pour montrer que D est un point de E.
4°) L’objectif de cette question est de proposer une construction du point K, barycentre de
(D,1) et (F,2).
a) Exprimer I comme barycentre de D et E, puis J comme barycentre de E et F.
b) Démontrer que les droites (DJ), (EK) et (FI) sont concourantes.
c) Construire le point K.
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