Exercices Barycentre, Produit Scalaire, Lignes de Niveau

IA/PIKINE-
GUEDIAWAYE
SERIE D’EXERCICES BARYCENTRE –
PRODUIT SCALAIRE – LIGNE DE NIVEAU
ANNEE SCOLAIRE
2023/2024
LSLL
CELLULE DE MATHEMATIQUES
EXERCICE 1
Soit RTS un triangle quelconque.
1) Construire les points A ;B ;C et D définis par :
D milieu de ; B celui de ; A le
symétrique de D par rapport a R et 
.
2) Déterminer les réels a ; b ; s et t tels que :
 et
C .
3) Démontrer que :
 ; puis en
déduire que les points A ; B et C sont alignes .
EXERCICE 2
Soient ABCD quadrilatère, P,Q, R et S sont tels que :
.On
désigne par I et J les milieux respectifs de
.
Démontrer que les droites  sont
concourantes.
EXERCICE 3
Soient ABCD un quadrilatère.
1) Construire les points
Et .
2) Construire H barycentre .
3) Montrer que les points H, A et C sont alignes.
EXERCICE 4
Soient ABCD un parallélogramme et G le barycentre
de .
1) Construire les barycentres des points E et F
des systèmes respectifs :
.
2) Montrer que G est le milieu de
.
3) Construire I milieu de  et J milieu de
. Démontrer que
secantes.
EXERCICE 5
Soit ABCD un parallélogramme.
1) Construire les points :
.
2) Soit G le milieu du segment  montrer G est
aussi milieu de .
3) Justifier que   est un repère .
4) Déterminer les coordonnées de chaque point
dans le repère  .
5) Démontrer que la droite (IJ) coupe le segment
 en son milieu.
6) Déterminer puis construire l’ensemble des
points M du plan tels que :
a) 
b) 
.
EXERCICE 6 (Le coin du curieux)
Le but de cet exercice est de démontrer le
THEOREME DE MENELAUS.
I] Soit A ,B et C trois points du plan et on suppose
qu’il existe un point M du plan et des réels a ,b et c
non tous nuls tels que :
1) Montrer que si  alors les points
A,B et C sont alignes .
II] Soit trois points A ,B et C non alignes. on donne
des réels  tels que : ,
  . Soient
et 
1) Exprimer  puis
et
.
2) En déduire une expression de
3) Deduire dapres la partie I] que P,Q et R sont
alignes si et seulement si :
PRODUIT SCALAIRE - LIGNE DE NIVEAU .
EXERCICE1
ABC est un triangle rectangle et isocèle en A tel que :
AB=AC=1 et CAD triangle isocèle en C tel que les
points B, C et D alignes.
1) a) Montrer que 
b.) En déduire que 
c.) Montrer que 
2) a) Vérifier que 
 .
b.) Déduire d’après la question 1) que :
 .
3.) Calculer les coordonnées du point D dans le
repère orthonormé  .
EXERCICE 2
Soient ABCD un carre tel que AB = 3.
Soient les points :
 E symétrique de C par rapport a B .
 J 
 K

 I milieu de .
1)a) Montrer que 
b) En déduire que 
 .
2.) Calculer 
en déduire 
.
3) a) Calculer  en déduire que 
.
b) On désigne par  .
Montrer que est un cercle de centre I et de rayon
. Construire le cercle .
EXERCICE 3
Les questions I , II et III sont indépendantes .
I] Soient A et B deux points distincts du plan .
Déterminer et construire l’ensemble des points M du
plan tels que :AM = 2BM.
II] Soient A et B deux points distincts du plan tel que
AB = 4. Déterminer puis construire l’ensemble des
points M du plan tels que :
 .
III] Soient A et B deux points distincts du plan.
Déterminer et construire l’ensemble des points M du
plan tel que : 
EXERCICE 4
On donne un rectangle ABCD du plan dont les cotes
a et b.
Pour tout réel non nul m , on note
 .
Pour chacune des questions suivantes on donnera une
solution géométrique puis une solution analytique.
1) Déterminer l’ensemble
2) Déterminer l’ensemble
3) Déterminer l’ensemble
 .
EXERCICE 5
Dans un plan muni d’un repère orthonormé on
considère les points : 
1..)Calculer AB et AC .
2..)Calculer 
 .
3..) Soit G le barycentre des points pondérés :
 .
a..) Montrer que pour tout point M du plan on a :
 .
b..) En déduire l’ensemble des points M du plan tel
que :
 .
EXERCICE 6
I] Dans chaque cas donner la nature et les éléments
caractéristiques de ( E) .
a. ) 
b.)
c.) 
d.)
EXERCICE 7
Soit ( C) : .
et  .
1.) Caractériser ( C) .
2.) Discuter suivant les valeurs de m la position
de ( C) par rapport a  .
EXERCICE 8
Soit 
.
Soit ( C) d’équation
paramétrique :
 avec .
1..) Déterminer l’équation cartésienne de ( C) .
2.) Soit 
 montrer que A est a l’extérieur de
(C) .
3) Déterminer l’équation cartésienne de la tangente a
( C) passant par A .
4.) Soit   ; montrer que  coupe (C) en
deux points a déterminer .
EXERCICE 9
Le plan est muni d’un repère orthonormé .
On considère les points 
1..) Montrer ABC est triangle rectangle en A.
2..) On considère ( C) l’ensemble des points M du
plan tels que :.
a.) Montrer que ( C) est un cercle dont on précisera le
centre et le rayon .
b.) Vérifier que ( C) est circonscrit au triangle ABC .
c.)Ecrire une équation cartésienne de la tangente ( T)
au cercle ( C) en A.
3.) Soit la droite d’équation : .
a.) Montrer que  est tangente au cercle ( C) .
b.) Déterminer une équation cartésienne de la droite
(D) qui passe par le centre du cercle et
perpendiculaire a  .
c.) Déterminer les coordonnées du point H
l’intersection de  et ( C).
4.) Soit ( D’) la droite définie par l’équation
cartésienne .
a.) Montrer que ( D’) coupe ( C) en deux points .
b.) Déterminer les coordonnées des deux points
d’intersections de ( D’) et ( C).