TD 3 - CMAP

Mathématiques de l’ingénieur (2009-2010)
TD 3 — Intégration complexe
Exercice 1 Calculer les intégrales suivantes :
1. Zγ|z|2dzoù γest le segment reliant 1 + ià−1+2i.
2. Zγ(z2+ 3z) dzoù γest l’arc défini par z(t) = t+it2avec tvariant de 0à1.
3. Zγ zdzoù γest le triangle de sommets 0,1, i parcouru dans le sens direct.
4. Zγ zdzoù γest le triangle de sommets 0,1, i parcouru dans le sens direct.
5. Zγ zndzavec γle cercle centré en 0de rayon R > 0, parcouru dans le sens direct, et où
n∈Z.
6. Zγ ezdzavec γle segment reliant 0à3.
Exercice 2 On considère les chemins suivants :
1. γ1le chemin de 1àien suivant l’arc le plus court du cercle trigonométrique.
2. γ2le chemin de 1àien suivant l’arc le plus long du cercle trigonométrique.
3. γ3le segment de 1ài.
4. γ4le chemin paramétré par z(t) = (1 −t)2+it3avec tvariant de 0à1.
5. γ5la ligne polygônale passant par 1,1 + i,i.
6. γ6la ligne polygônale passant par 1,−i,−3,i.
7. γ7la ligne polygônale passant par 1,100 + i,500 + 300i,i.
On considère les fonctions suivantes :
1. f1(z) = z
2. f2(z) = z
3. f3(z) = z−3
4. f4(z) = cos(2z+ 5)
5. f5(z) = tan z
6. f6(z) = z
(z2+ 16)2
7. f7(z) = 1
z
8. f8(z) = sin z
cos3z
1

a) Déterminer les domaines de définitions des fonctions considérées.
b) Pour chacune des fonctions considérées, donner les égalités entre intégrales le long des différents
chemins étudiés que l’on peut déduire d’une application du théorème de Cauchy.
c) Donner les égalités entre intégrales que l’on peut déduire de l’existence d’une primitive des
fonctions considérées.
d) Calculer les différentes intégrales étudiées pour les fonctions f2,f4,f7.
Exercice 3 On considère la fonction f(z) = ez2.
a) Montrer que fest définie et holomorphe sur C.
b) On fixe R > 0. On considère les chemins suivants :
–γ1le segment de 0àRi.
–γ2l’arc du cercle centré en 0, de Reiπ
4àRi.
–γ3le segment de 0àReiπ
4.
Donner la relation entre les intégrales de la fonction fsur ces trois chemins.
c) Donner les expressions de Rγ1f(z) dzet de Rγ3f(z) dzsous forme d’intégrales à variable réelle.
d) Montrer l’inégalité :
Zγ2
f(z) dz
≤RZπ
2
π
4
eR2cos 2θdθ.
e) En déduire :
Zγ2
f(z) dz
≤R
2Zπ
2
0
e−R2sin αdα.
f) Montrer que
∀α∈0,π
2,2 πα≤sin α≤α.
g) En déduire
lim
R→∞ Zγ2
f(z) dz= 0.
h) On rappelle que Z∞
0
e−x2dx=√π
2. Déduire de ce qui précède, les valeurs des intégrales
suivantes :
Z∞
0
eix2dx, Z∞
0cos x2dx, Z∞ 0sin x2dx.
Exercice 4 On considère γ1et γ2les cercles centrés en 0, parcourus dans le sens trigonométrique,
de rayon 1et 3respectivement.
Calculer Zγ1
ez
z−2et Zγ2
ez
z−2.
Exercice 5 Soient a∈R+∗, b ∈R+∗. Calculer :
I=Z2π
0
dt
a2cos2t+b2sin2t
Indication : Considérer l’intégrale ZC
dz
zoù Cest l’ellipse paramétrée par x=acos t,y=bsin t,
avec t∈[0,2π].
2

Exercice 6
A. Soit fune fonction holomorphe sur C.
On suppose qu’il existe A∈R+, n ∈Ntels que
∀z∈C,|z| ≥ 1⇒ |f(z)| ≤ A|z|n
A. a) On considère R > 1,|z| ≤ R, et m∈N. Montrer l’inégalité suivante :
|f(m)(z)| ≤ m!ARn+1
(R− |z|)m+1
A. b) En déduire que f(n+1) = 0.
A. c) En déduire que fest un polynôme, de degré inférieur ou égal à n.
B. a) En déduire le theorème de Liouville : si fest une fonction holomorphe et bornée sur C, elle
est constante.
B. b) La fonction sin est-elle bornée sur C?
C. On suppose maintenant fune fonction holomorphe sur C. On suppose qu’il existe A∈R+∗et
B∈R+∗tels que
∀z∈C,|z| ≥ A⇒ |f(z)| ≥ B.
a) On suppose que fne s’annule pas sur C. En raisonnant sur la fonction g=1
f, montrer que f
est constante.
b) En déduire le théorème de D’Alembert-Gauss.
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