TD 3 - CMAP

Mathématiques de l’ingénieur (2009-2010)
TD 3 — Intégration complexe
Exercice 1 Calculer les intégrales suivantes :
1.
Z
|z|2 dz où γ est le segment reliant 1 + i à −1 + 2i.
γ
2.
Z
(z 2 + 3z) dz où γ est l’arc défini par z(t) = t + it2 avec t variant de 0 à 1.
γ
3.
Z
z dz où γ est le triangle de sommets 0, 1, i parcouru dans le sens direct.
γ
4.
Z
z dz où γ est le triangle de sommets 0, 1, i parcouru dans le sens direct.
γ
5.
Z
z n dz avec γ le cercle centré en 0 de rayon R > 0, parcouru dans le sens direct, et où
γ
n ∈ Z.
6.
Z
ez dz avec γ le segment reliant 0 à 3.
γ
Exercice 2 On considère les chemins suivants :
1. γ1 le chemin de 1 à i en suivant l’arc le plus court du cercle trigonométrique.
2. γ2 le chemin de 1 à i en suivant l’arc le plus long du cercle trigonométrique.
3. γ3 le segment de 1 à i.
4. γ4 le chemin paramétré par z(t) = (1 − t)2 + it3 avec t variant de 0 à 1.
5. γ5 la ligne polygônale passant par 1, 1 + i, i.
6. γ6 la ligne polygônale passant par 1, −i, −3, i.
7. γ7 la ligne polygônale passant par 1, 100 + i,500 + 300i, i.
On considère les fonctions suivantes :
1. f1 (z) = z
2. f2 (z) = z
3. f3 (z) = z −3
4. f4 (z) = cos(2z + 5)
5. f5 (z) = tan z
z
6. f6 (z) = 2
(z + 16)2
1
7. f7 (z) =
z
sin z
8. f8 (z) =
cos3 z
1
a) Déterminer les domaines de définitions des fonctions considérées.
b) Pour chacune des fonctions considérées, donner les égalités entre intégrales le long des différents
chemins étudiés que l’on peut déduire d’une application du théorème de Cauchy.
c) Donner les égalités entre intégrales que l’on peut déduire de l’existence d’une primitive des
fonctions considérées.
d) Calculer les différentes intégrales étudiées pour les fonctions f2 , f4 , f7 .
2
Exercice 3 On considère la fonction f (z) = ez .
a) Montrer que f est définie et holomorphe sur C.
b) On fixe R > 0. On considère les chemins suivants :
– γ1 le segment de 0 à Ri.
π
– γ2 l’arc du cercle centré en 0, de Rei 4 à Ri.
π
– γ3 le segment de 0 à Rei 4 .
Donner la relation entre les intégrales
de la fonction
f sur ces trois chemins.
R
R
c) Donner les expressions de γ1 f (z) dz et de γ3 f (z) dz sous forme d’intégrales à variable réelle.
d) Montrer l’inégalité :
Z
γ2
f (z) dz ≤R
π
2
Z
π
4
eR
2
cos 2θ
dθ.
e) En déduire :
Z
f (z) dz γ2
π
≤
R Z 2 −R2 sin α
e
dα.
2 0
f) Montrer que
π 2
, α ≤ sin α ≤ α.
∀α ∈ 0,
2 π
g) En déduire
lim
Z
R→∞ γ2
h) On rappelle que
suivantes :
Z ∞
−x2
e
0
f (z) dz = 0.
√
π
dx =
. Déduire de ce qui précède, les valeurs des intégrales
2
Z ∞
ix2
e
dx,
Z ∞
0
2
cos x dx,
0
Z ∞
sin x2 dx.
0
Exercice 4 On considère γ1 et γ2 les cercles centrés en 0, parcourus dans le sens trigonométrique,
de rayon Z1 et 3 respectivement.
Z
ez
ez
Calculer
et
.
γ1 z − 2
γ2 z − 2
Exercice 5 Soient a ∈ R+∗ , b ∈ R+∗ . Calculer :
I=
Z 2π
0
Indication : Considérer l’intégrale
avec t ∈ [0, 2π].
Z
C
a2
cos2
dt
t + b2 sin2 t
dz
où C est l’ellipse paramétrée par x = a cos t, y = b sin t,
z
2
Exercice 6
A. Soit f une fonction holomorphe sur C.
On suppose qu’il existe A ∈ R+ , n ∈ N tels que
∀z ∈ C, |z| ≥ 1 ⇒ |f (z)| ≤ A|z|n
A. a) On considère R > 1, |z| ≤ R, et m ∈ N. Montrer l’inégalité suivante :
|f (m) (z)| ≤ m!A
Rn+1
(R − |z|)m+1
A. b) En déduire que f (n+1) = 0.
A. c) En déduire que f est un polynôme, de degré inférieur ou égal à n.
B. a) En déduire le theorème de Liouville : si f est une fonction holomorphe et bornée sur C, elle
est constante.
B. b) La fonction sin est-elle bornée sur C ?
C. On suppose maintenant f une fonction holomorphe sur C. On suppose qu’il existe A ∈ R+∗ et
B ∈ R+∗ tels que
∀z ∈ C, |z| ≥ A ⇒ |f (z)| ≥ B.
a) On suppose que f ne s’annule pas sur C. En raisonnant sur la fonction g =
est constante.
b) En déduire le théorème de D’Alembert-Gauss.
3
1
, montrer que f
f