P a g e |1 TS Physique Mouvement d’un palet Exercice résolu Enoncé - Les trois parties sont indépendantes. - Valeur du champ de pesanteur : g = 9,80 m.s-2 z Un palet en acier de masse m = 50,0 g peut se déplacer sans frottement sur un plan incliné d’un angle α = 28,0° avec l’horizontale. Parti du point O, le centre d’inertie G du palet passe au point A B A avec une vitesse v A acquise grâce à un propulseur à ressort situé en bas du plan incliné (entre O et propulseur O i A, le propulseur exerce une force F sur le palet). En ce point, la palet est libéré avec une vitesse de valeur vA= 2,00 m .s-1 et glisse jusqu’au point B où il arrive avec une vitesse nulle. Le palet poursuit alors son mouvement en réalisant une chute verticale libre dans l’air. α A. Première partie : propulsion du palet entre O et A On filme le mouvement du palet entre O et A, puis on exploite la vidéo avec un logiciel adapté. La figure ci-dessous, à l’échelle ½, représente la position qu’occupe le centre d’inertie G du palet à intervalles de temps réguliers τ = 20,0 ms (points G0 à G5). A O G0 G1 G3 G2 x G5 G4 1. En exploitant la figure ci-dessus, déterminer les valeurs v2 et v4 des vecteurs vitesse aux points G2 et G4. 2. Exprimer le vecteur accélération a3 du palet au point G3 en fonction de v 2 , v 4 et de l’intervalle de temps τ, puis calculer sa valeur a3. 3. Faire le bilan des forces extérieures qui s’appliquent sur le système {palet} et les représenter au point G sur le schéma en annexe. 4. a) Appliquer la deuxième loi de Newton et donner l’expression du vecteur accélération a G du centre d’inertie du palet. b) Dans le repère (O, i ), le vecteur accélération a pour expression : a G =ax. i . Donner l’expression de ax en fonction de m, g, F (valeur de la force F ) et α . c) Pourquoi peut-on affirmer que ax = aG (valeur du vecteur accélération) ? d) En utilisant la valeur a3 de l’accélération trouvée à la question 2, calculer F au point G3. Mouvement d’un palet Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth k x P a g e |2 B. Deuxième partie : montée du palet entre A et B 1. Faire le bilan des forces extérieures qui s’appliquent sur le système {palet}. 2. Après avoir appliqué puis projeté la deuxième loi de Newton dans le repère (O, i ), donner l’expression de ax en fonction de g et α. En déduire la nature du mouvement de G. 3. Dans le repère (O, i ), le vecteur vitesse du centre d’inertie du palet a pour expression : v G = vx. i . a) En prenant comme origine des temps la date à laquelle le point G est en A, donner l’expression de vx en fonction de t. b) Calculer la durée nécessaire au point G pour aller de A à B. C. Troisième partie : chute du palet On prend maintenant comme origine des temps la date à laquelle G est en B et on travaille dans le repère (B, k ). 1. a) En appliquant la 2ème loi de Newton, donner l’expression du vecteur accélération a G du centre d ‘inertie du palet et de sa coordonnée az dans le repère (B, k ). b) En déduire la nature du mouvement de G. 2. a) Dans le repère (B, k ), établir l’expression de la coordonnée vz du vecteur vitesse v G puis de la coordonnée z du vecteur position BG du centre d’inertie du palet. b) Déterminer la date à laquelle la valeur vG de la vitesse du palet sera égale à 1,96 m.s-1. 3. Le professeur de physique d’une classe de TS dit à ses élèves : « Vous venez d’étudier la chute du palet. Pourriez-vous décrire la chute de deux objets, l’un étant beaucoup plus lourd que l’autre, dans un tube dans lequel on a préalablement fait le vide ? ». L’un des élèves répond : « L’objet lourd tombera plus vite que l’objet léger ». Que penser de cette réponse ? Annexe x G Mouvement d’un palet Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth P a g e |3 Corrigé A. Première partie : propulsion du palet entre O et A 1. En exploitant la figure ci-dessus, déterminer les valeurs v2 et v4 des vecteurs vitesse aux points G2 et G4. On assimile la vitesse instantanée en un point Gi à la vitesse moyenne entre les points Gi-1 et Gi+1 proches de Gi : v2 = v4 = G1 G3 2τ G3 G5 2τ soit : v2 = soit : v4 = 2, 4 × 10 −2 ×2 2 × 20, 0 × 10 3, 2 × 10 −2 = 1,2 m.s-1 −3 ×2 2 × 20, 0 × 10 −3 = 1,6 m.s-1 2. Exprimer le vecteur accélération a 3 du palet au point G3 en fonction de v 2 , v 4 et de l’intervalle de temps τ, puis calculer sa valeur a3. On assimile le vecteur accélération au point Gi avec le vecteur accélération moyenne entre les points Gi-1 et Gi+1 proches de Gi : a3 = soit : a3 = (1, 6 − 1,2) 2 × 20, 0 × 10 −3 v 4 − v2 2τ => a3 = v4 − v2 2τ = 10 m.s-2 3. Faire le bilan des forces extérieures qui s’appliquent sur le système {palet} et les représenter au point G sur le schéma en annexe. x R P : poids du palet R : réaction du plan incliné F G F : force de propulsion Rq : les frottements sont négligés (cf. énoncé). P 4. a) Appliquer la deuxième loi de Newton et donner l’expression du vecteur accélération du centre d’inertie du palet. 2 ème loi de Newton : P + R + F = m. a G => a G = g + R F m + m b) Dans le repère (O, i ), le vecteur accélération a pour expression : a G = ax. i . Donner l’expression de ax en fonction de m, g, F (valeur de la force F ) et α . Par projection dans le repère (O, i ) : Px + Rx + Fx = m.ax Px = - m.g.sinα ; Rx = 0 ; Fx = F F => -m.g.sinα + F = m.ax => ax = − g. sin α m c) Pourquoi peut-on affirmer que ax = aG (valeur du vecteur accélération) ? Le mouvement de G est accéléré : le vecteur vitesse et les vecteur accélération sont dans le même sens et ax > 0 => ax = aG. d) En utilisant la valeur a3 de l’accélération trouvée à la question 2, calculer F au point G3. F = m.(ax + g.sinα) Mouvement d’un palet soit : F = 50,0 x 10-3 x [10 + (9,80 x sin 28,0)] = 7,3 x 10-1 N Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth P a g e |4 B. Deuxième partie : montée du palet entre A et B 1. Faire le bilan des forces extérieures qui s’appliquent sur le système {palet}. P : poids du palet et R : réaction du plan incliné. 2. Après avoir appliqué puis projeté la deuxième loi de Newton dans le repère (O, i ), donner l’expression de ax en fonction de g et α. En déduire la nature du mouvement de G. 2ème loi de Newton : P + R = m. a G => Px = m.ax => - m.g.sinα = m.ax => ax = - g.sinα ax < 0 et ax = Cte : le vecteur accélération de G est un vecteur constant . Le mouvement est rectiligne uniformément retardé. 3. Dans le repère (O, i ), le vecteur vitesse du centre d’inertie du palet a pour expression : v = vx. i a) En prenant comme origine des temps la date à laquelle le point G est en A, donner l’expression de vx en fonction de t. G aG = dv donc le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération et vx est une dt primitive de ax. G Donc : vx = - (g.sinα).t + vA b) Calculer la durée nécessaire au point G pour aller de A à B. Au point B, la vitesse de G est nulle : vx = 0 = - (g.sinα).t + vA => t = Soit : t = 2, 00 9, 80 × sin 28, 0° vA g. sin α = 4,35 x 10-1 s C. Troisième partie : chute du palet On prend maintenant comme origine des temps la date à laquelle G est en B et on travaille dans le repère (B, k ). 1. a) En appliquant la 2ème loi de Newton, donner l’expression du vecteur accélération a G du centre d‘inertie du palet et de sa coordonnée az dans le repère (B, k ). Bilan des forces extérieures : P (poids du palet). Rq : il s’agit d’une chute libre (cf. énoncé) donc toutes les forces dues à l’air sont négligées. 2ème loi de Newton : P = m. a G => m. g => a G = g Projection dans le repère (B, k ) : az = - g b) En déduire la nature du mouvement de G. Le vecteur accélération est constant et dans le même sens que le vecteur vitesse : le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. 2. a) Dans le repère (B, k ), établir l’expression de la coordonnée vz du vecteur vitesse puis de la coordonnée z du vecteur position du centre d’inertie du palet. aG = dv donc le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération et vz est une dt primitive de az. G Donc : vz = - g.t (vitesse initiale nulle : cf. énoncé). vG = dBG dt donc le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse et z est une primitive de vz. Donc : z = - 1 2 2 .g.t (z = 0 à t = 0). Mouvement d’un palet Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth P a g e |5 b) Déterminer la date à laquelle la valeur vG de la vitesse du palet sera égale à 1,96 m.s-1.En déduire la valeur de z à cette date. Si vG = 1,96 m.s-1 => vz = - 1,96 m.s-1. Or : t = − => z = - 1 2 −1 vz g soit : t = 1, 96 9, 80 = 2,00 x 10-1 s × 9, 80 × (2, 00 × 10 ) = 1,96 x 10-1 m 2 3. Le professeur de physique d’une classe de TS dit à ses élèves : « Vous venez d’étudier la chute du palet. Pourriez-vous décrire la chute de deux objets, l’un étant beaucoup plus lourd que l’autre, dans un tube dans lequel on a préalablement fait le vide ? ». L’un des élèves répond : « L’objet lourd tombera plus vite que l’objet léger ». Que penser de cette réponse ? La chute d’un solide dans le vide est indépendante de sa masse. Les deux objets tomberont à la même vitesse. Mouvement d’un palet Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth