Mouvement sur un plan incliné - Deuxième loi de

Mouvement sur un plan incliné - Deuxième loi de Newton
L'étude est faite dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Un palet est mis en mouvement, sans frottement, sur une table à coussin d'air
inclinée d'un angle α sur le plan horizontal.
A l'instant t = 0, le palet est lancé vers le haut, dans le plan de la table ; son centre
), tel que Ox soit
d'inertie G est alors en O, origine du repère cartésien (O,
horizontal et Oy parallèle aux lignes de plus grande pente du plan incliné. Le vecteur
du point G à cet instant t = 0 est tel que l'angle ( ,
) soit compris entre
vitesse
O et π/2 radian.
Figure 1
Le centre d'inertie du palet décrit une parabole. A l'aide d'un dispositif approprié on a
enregistré les positions du centre d'inertie G à des intervalles de temps réguliers de
durée τ = 60 ms (figure 2 ci-dessous).
La première position sur le document correspond au point O (t = 0), la dernière au
point O´ (t = 18 × τ = 1080 s).
A- Exploitation du document
Figure 2
1- Déterminer les mesures V3 et V5 des vecteurs vitesse instantanée du centre
d'inertie du palet aux points G3 et G5.
On assimilera la vitesse instantanée au point G3 à la vitesse moyenne entre
les points G2 et G4. (c)
et ( ). (c)
2- Construire, avec l'origine au point G4 , les vecteurs
Indiquer l'échelle sur le schéma.
3- Construire, avec l'origine au point G 4 , le vecteur
et déterminer, à
l'aide de l'échelle précédente, la mesure ∆V du vecteur
. (c)
B- Deuxième loi de Newton
1- Faire le bilan des forces extérieures exercées sur le palet dans une position
quelconque. Les représenter sur un schéma. (c)
2- Montrer que la résultante des forces est portée par le vecteur unitaire
La deuxième loi de Newton est-elle satisfaite ?
On donne : g = 10 m / s 2
.
Correction
A- Exploitation du document
Les valeurs instantanées des vitesses sont assimilées aux valeurs moyennes sur 2τ.
1- Déterminons les normes V3 et V5 des vecteurs vitesse instantanée
et
du
centre d'inertie du palet aux points G3 et G5 . Les vitesses instantanées en G3
et en G5 sont respectivement assimilées aux vecteurs :
(1)
(2)
- L'énoncé donne τ = 60 ms
- Sur le document, nous mesurons, compte tenu de l'échelle de reproduction :
G2 G4 = 4,20 × 10 - 2 m
G4 G6 = 3,45 × 10 - 2 m
- Les équations (1) et (2) permettent de calculer les normes suivantes :
(3) V3 = 0,35 m/s
et
V5 = 0,29 m/s (4)
2- Construisons, avec l'origine au point G4 , les vecteurs
et ( ).
La construction est faite sur la figure 3 ci-dessous (L'échelle, agrandie, est indiquée
sur le schéma).
Figure 3
=
+(-
) est également faite sur la figure
3- La construction de
3 ci-dessus.
est parallèle à et de sens opposé.
Nous constatons que
Sur la figure 3, nous mesurons que, compte tenu de l'échelle :
∆V =
= 0,090 m/s (5)
Figure 4
B- Deuxième loi de Newton
1. Faisons le bilan des forces extérieures exercées sur le palet.
Référentiel galiléen : le solide Terre
Système étudié : le palet.
Le palet est soumis à 2 forces :
- : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le palet.
- : action de la piste sur le palet.
Comme les frottements sont supposés nuls, la force est perpendiculaire au plan
incliné.
Figure 5
2- Montrons que la résultante des forces est portée par le vecteur unitaire
+
=(0
- m g sin α
+
= - m g sin α
- m g cos α
- ( m g cos α + R )
)+(0
+
= - m g sin α
(8)
-R
)
(6)
Mais le mobile ne se déplace que dans le plan (
suivant l'axe ; cela implique que :
( m g cos α + R ) = 0 (7)
Finalement :
-0
.
,
). Il n'y a pas de déplacement
Nous avons vu que
est parallèle à et de sens opposé. Il en est de même pour la
somme des forces extérieures + appliquée au mobile.
On vérifie la deuxième loi de Newton :
Dans un référentiel Galiléen, si le vecteur vitesse
du centre d'inertie d'un solide
varie, alors la somme =
des forces extérieures appliquées à ce solide n'est
pas nulle et réciproquement. La direction et le sens de cette somme sont ceux de
la variation
de
entre deux instants proches.
La même étude pourrait être faite pour les autres points de l'enregistrement du
mouvement du centre d'inertie.