Mouvement sur un plan incliné - Deuxième loi de

Mouvement sur un plan incliné - Deuxième loi de Newton
L'étude est faite dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Un palet est mis en mouvement, sans frottement, sur une table à coussin d'air
inclinée d'un angle α sur le plan horizontal.
A l'instant t = 0, le palet est lancé vers le haut, dans le plan de la table ; son centre
d'inertie G est alors en O, origine du repère cartésien (O, ), tel que Ox soit
horizontal et Oy parallèle aux lignes de plus grande pente du plan incliné. Le vecteur
vitesse du point G à cet instant t = 0 est tel que l'angle ( , ) soit compris entre
O et π/2 radian.
Figure 1
Le centre d'inertie du palet décrit une parabole. A l'aide d'un dispositif approprié on a
enregistré les positions du centre d'inertie G à des intervalles de temps réguliers de
durée τ = 60 ms (figure 2 ci-dessous).
La première position sur le document correspond au point O (t = 0), la dernière au
point O´ (t = 18 × τ = 1080 s).
A- Exploitation du document
Figure 2
1- Déterminer les mesures V
3
et V
5
des vecteurs vitesse instantanée du centre
d'inertie du palet aux points G
3
et G
5
.

On assimilera la vitesse instantanée au point G
3
à la vitesse moyenne entre
les points G
2
et G
4
. (c)
2- Construire, avec l'origine au point G
4
, les vecteurs et ( - ). (c)
Indiquer l'échelle sur le schéma.
3- Construire, avec l'origine au point G
4
, le vecteur et déterminer, à
l'aide de l'échelle précédente, la mesure ∆V du vecteur . (c)
B- Deuxième loi de Newton
1- Faire le bilan des forces extérieures exercées sur le palet dans une position
quelconque. Les représenter sur un schéma. (c)
2- Montrer que la résultante des forces est portée par le vecteur unitaire .
La deuxième loi de Newton est-elle satisfaite ?
On donne : g = 10 m / s
2

Correction
A- Exploitation du document
Les valeurs instantanées des vitesses sont assimilées aux valeurs moyennes sur 2τ.
1- Déterminons les normes V
3
et V
5
des vecteurs vitesse instantanée et du
centre d'inertie du palet aux points G
3
et G
5
. Les vitesses instantanées en G
3
et en G
5
sont respectivement assimilées aux vecteurs :
(1) (2)
- L'énoncé donne τ = 60 ms
- Sur le document, nous mesurons, compte tenu de l'échelle de reproduction :
G
2
G
4
= 4,20 × 10
- 2
m
G
4
G
6
= 3,45 × 10
- 2
m
- Les équations (1) et (2) permettent de calculer les normes suivantes :
(3) V
3
= 0,35 m/s et V
5
= 0,29 m/s (4)
2- Construisons, avec l'origine au point G
4
, les vecteurs et ( - ).
La construction est faite sur la figure 3 ci-dessous (L'échelle, agrandie, est indiquée
sur le schéma).
Figure 3
3- La construction de = + ( - ) est également faite sur la figure
3 ci-dessus.
Nous constatons que est parallèle à et de sens opposé.
Sur la figure 3, nous mesurons que, compte tenu de l'échelle :
∆V = = 0,090 m/s
(5)

Figure 4
B- Deuxième loi de Newton
1. Faisons le bilan des forces extérieures exercées sur le palet.
Référentiel galiléen : le solide Terre
Système étudié : le palet.
Le palet est soumis à 2 forces :
- : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le palet.
- : action de la piste sur le palet.
Comme les frottements sont supposés nuls, la force est perpendiculaire au plan
incliné.
Figure 5
2- Montrons que la résultante des forces est portée par le vecteur unitaire .
+ = ( 0 - m g sin α - m g cos α ) + ( 0 - 0 - R )
+ = - m g sin α - ( m g cos α + R ) (6)
Mais le mobile ne se déplace que dans le plan ( , ). Il n'y a pas de déplacement
suivant l'axe ; cela implique que :
( m g cos α + R ) = 0 (7)
Finalement :
+ = - m g sin α (8)

Nous avons vu que est parallèle à et de sens opposé. Il en est de même pour la
somme des forces extérieures + appliquée au mobile.
On vérifie la deuxième loi de Newton :
Dans un référentiel Galiléen, si le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un solide
varie, alors la somme = des forces extérieures appliquées à ce solide n'est
pas nulle et réciproquement. La direction et le sens de cette somme sont ceux de
la variation de entre deux instants proches.
La même étude pourrait être faite pour les autres points de l'enregistrement du
mouvement du centre d'inertie.