Chapitre 08 : RACINES CARRÉES

Chapitre 08 :
RACINES CARRÉES
6 cm
La racine carrée est à l'origine de la découverte de l’irrationalité, mais contrairement à une idée répandue, rien n'assure
que celle de 2 fut le premier nombre irrationnel connu.
L'exemple de démonstrations par l'absurde choisi par Aristote, l'un des fondateurs de la logique, s'appuie sur
l’irrationalité de 2 : « Ils prouvent que la diagonale du carré est incommensurable au côté en montrant que, si l'on admet qu'il
lui est commensurable, un nombre impair serait égal à un pair. »
Source : Wikipédia
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I) Racine carrée d'un nombre positif :
1) Définition – Propriété : Racine carrée
La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif, noté
√
a
, dont le carré est a.
Le symbole
√
est appelé « radical ».
Que que soit le nombre positif a,
√
a≥0
.
Exemples :
1. Cas où
√
a
est un nombre entier :
•
√
16
= 4 car 4² = 16
•
√
25
= 5 car 5² = 25
•
√
1
= 1 car 1² = 1
•
√
0
= 0 car 0² = 0
2. Cas où
√
a
est un nombre rationnel
non entier :
•
√
0,09
= 0,3 car 0,3² = 0,09
•
√
4
9
=
2
3
car
(
2
3
)
2
=
4
9
3. Cas ou
√
a
est un nombre
irrationnel :
•
√
2
•
√
7
•
√
10
Remarque :
Dans le cas où la racine carré d'un nombre est un nombre irrationnel, sauf indication contraire de l'énoncé, on
préférera garder la valeur exacte sous forme de racine carrée plutôt que dans donner une valeur approchée.
2) Propriétés :
Quel que soit le nombre positif a,
•
(
√
a)²=a
•
√
a² =a
Exercices :
Calculer
√
1
;
(
√
3,6)2
;
√
9
;
√
(−5)2
;
√
2×
√
2
et
√
1,3×1,3
•1² = 1 et 1 est positif donc
√
1
= 1.
•3,6 est positif donc
(
√
3,6)2
= 3,6.
•3² = 9 et 3 est positif donc
√
9
= 3.
•-5 est négatif donc
√
(−5)2
=
√
25
=
√
52
= 5.
•2 est positif donc
√
2×
√
2
=
√
2
² = 2.
•1,3 est positif donc
√
1,3×1,3
=
√
1,32
= 1,3.
08. RACINES CARRÉES 1

3) Démonstrations :
Soit a un nombre positif.
(
√
a)²=a
:
Par définition,
√
a
est le nombre positif dont le carré est a,
c'est à dire
(
√
a)
² = a
√
a² =a
:
Par définition,
√
a²
est le nombre positif dont le carré est a².
Or a est un nombre positif et son carré est a², donc
√
a²
=a.
4) Définition : Carré parfait
Un carré parfait est le carré d'un nombre entier.
Exemples :
Nombre entier 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Carré parfait
correspondant 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225
II) Produit et quotient de racines carrées :
1) Propriété : Produit de racine carrée
Pour tous nombres positifs a et b,
√
a×b=
√
a×
√
b
Exercice :
Ecrire le nombre
√
32
sous la forme a
√
b
, où a et b sont deux nombres entiers positifs, b étant le plus petit possible.
√
32
=
√
16×2
On fait apparaître le produit d'un carré parfait (le plus grand possible) par un entier.
=
√
42×2
=
√
42×
√
2
=
4×
√
2
On décompose la racine carrée du produit puis on applique la définition de la racine carrée.
=
4
√
2
2) Démonstration :
Soit a et b deux nombres positifs.
√
a×b
est le nombre positif dont le carré est
a×b
:
√
a×b
² =
a×b
Or :
(
√
a×
√
b)2
=
(
√
a×
√
b)×(
√
a×
√
b)
=
√
a×
√
a×
√
b×
√
b
=
(
√
a)²×(
√
b)2
=
a×b
:
(
√
a×
√
b)2
=
a×b
donc
√
a×
√
b
est aussi le nombre positif de carré
a×b
On en déduit, d'après l'unicité de la racine carrée, que :
√
a×b
=
√
a×
√
b
08. RACINES CARRÉES 2

3) Propriété : Quotient de racines carrées
Pour tous nombres positifs a et b avec b ≠ 0,
√
a
b=
√
a
√
b
Exercices :
Simplifier les nombre
√
36
25
et
√
0,56
0,08
.
√
36
25
=
√
36
√
25
=
6
5
√
0,56
√
0,08
=
√
0,56
0,08
=
√
0,56×100
0,08×100
=
√
56
8
=
√
7
4) Démonstration :
Soit a et b deux nombres positifs avec b ≠ 0.
√
a
b
est le nombre positif dont le carré est
a
b
:
(
√
a
b)
² =
a
b
Or :
(
√
a
√ b)
2
=
(
√
a
√
b)×(
√
a
√
b)
=
√
a×
√
a
√
b×
√
b
=
(
√
a)²
(
√
b)2
=
a
b
:
(
√
a
√ b)
2
=
a
b
donc
√
a
√
b
est aussi le nombre positif de carré
a
b
On en déduit, d'après l'unicité de la racine carrée, que :
√
a
b
=
√
a
√
b
Remarque :
Il N'y a PAS de relation de ce type pour l'addition et la soustraction :
√
16+9
=
√
25
= 5
√
16
+
√
9
= 4 + 3 = 7
√
225−144
=
√
81
= 9
√
225
–
√
144
= 15 – 12 = 3
cependant, parfois, il est possible de réduire certaines sommes.
08. RACINES CARRÉES 3
donc
√
16+9≠
√
16+
√
9
donc
√
225−144≠
√
225−
√
144

III) Réduction de sommes :
1) Méthode : Réduction de sommes
Pour simplifier une somme de racines carrées, il faut :
•simplifier chaque racine carrée,
•factoriser la somme avec les racines carrées identiques.
Exercices :
1. Réduire la somme A =
√
5
– 2
√
5
+ 7
√
5
A =
√
5
– 2
√
5
+ 7
√
5
On remarque que
√
5
est un facteur commun au trois termes de la somme.
= (1 – 2 + 7)
√
5
On factorise par
√
5
.
= 6
√
5
On réduit la somme.
2. Ecrire B = 2
√
72
– 7
√
18
sous la forme c
√
d
, où c et d sont deux entiers relatifs, d étant un entier naturel le plus
petit possible.
B = 2
√
36×2
– 7
√
9×2
On décompose 72 et 18 pour faire apparaître le produit d'un carré parfait
(le plus grand possible) par un même entier.
= 2
√
36×
√
2
– 7
√
9×
√
2
On décompose la racine carrée de chacun des produits.
= 2
×6×
√
2
– 7
×3×
√
2
On applique la définition de la racine carrée.
=
12×
√
2
–
21×
√
2
On réduit la somme.
=
−9×
√
2
On donne l'écriture demandée dans l'énoncé.
IV Résolution d'équation x² = a :
1) Propriétés : Réduction de sommes
Pour tout nombre a,
•Si a > 0 alors l'équation x² = a admet deux solutions :
√
a
ou
√
−a
.
•Si a = 0 alors l'équation x² = a admet une solution : 0.
•Si a < 0 alors l'équation x² = a n'admet pas de solution.
Exercices :
Résoudre les équations
a) x² = 3
b) x² = 36
c) x² = (– 9)
d) 5 x² = 125
a) 3 > 0 donc les deux solutions de l'équation x² = 3 sont : –
√
3
ou
√
3
b) 36 > 0 donc les deux solutions de l'équation x² = 36 sont : –
√
36
ou
√
36
soit – 6 ou 6.
c) – 9 est strictement négatif et x² positif donc x² = – 9 n'a pas de solution.
d) 5 x² = 125 soit x² =
125
5
= 25 soit x² = 25.
25 > 0 donc les deux solutions de l'équation x² = 25 sont : –
√
25
ou
√
25
soit – 5 ou 5.
08. RACINES CARRÉES 4