Arithmétique

Arithmétique
Robert Rolland et Patrick Soubeyrand
24 juillet 2008
1 Divisibilité dans Z
1.1 Définition
Définition 1.1 Soit aet bdeux éléments de Z. On dit que aest divisible par bou
encore que aest un multiple de b, s’il existe un élément kde Ztel que a=kb.
Dans ce cas on note b|apour " bdivise a".
Exemples: 3 divise 18, -13 divise 39, -4 divise -16, 7 ne divise pas 22.
1.2 Diviseurs d’un entier
La divisibilité est associée à la relation d’inclusion. Si on note D(a)l’ensemble
des diviseurs d’un entier a, on a l’équivalence suivante :
a|b⇔ D(a)⊂ D(b).
On a aussi les propriétés immédiates suivantes :
i)pour tout adans Z,1|a, −1|a, a |a, −a|a.
→tout entier a des diviseurs ( au moins deux : 1 et -1).
ii)cas où a= 0 : pour tout entier b,0 = 0 ·b, donc b|0.
→tout entier divise 0, donc D(0) = Z. En particulier 0|0.
iii)si 0|aalors a=k·0. Or k·0 = 0 donc a= 0.
→0 ne divise que 0.
iv)si a6= 0 et si b|aalors il existe ktel que a=kb et k6= 0. Donc |a|=
|k|
|{z}
≥1
·|b| ≥ |b|, i.e. −|a| ≤ b≤ |a|.
→tout entier non nul admet un nombre fini de diviseurs.
Exemple: D(12) = {−12,−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6,12}.
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1.3 La propriété-clé
Proposition 1.2 Si un nombre divise aet balors il divise toute combinaison li-
néaire (en abrégé C.L.) ua +vb (uet vdans Z) de aet b. En particulier il divise
la somme et la différence de aet b.
Preuve. Soit a,b,ctrois entiers tels que c|aet c|b.
Il existe k1∈Ztel que a=k1cet il existe k2∈Ztel que b=k2c.
Donc ua +vb = (uk1+vk2)
|{z }
∈Z
c, et donc c|ua +vb.
Applications :
1) Soit un entier a. Quels sont les diviseurs communs à aet a+ 1 ?
La différence de ces deux nombres est 1, qui a pour seuls diviseurs 1 et -1.
Donc, pour tout a, les diviseurs communs à aet a+ 1 sont 1 et -1.
2) Montrer par récurrence que, pour tout n∈N,9n−2nest divisible par 7.
- On a 90−20= 0 qui est divisible par 7.
- Supposons 9n−2ndivisible par 7. Alors 9n+1 −2n+1 = 9n×9−2n×2 =
9n×(7 + 2) −2n×2 = 9n×7 + (9n−2n)×2.Or 9n−2nest divisible par
7 (H.R.), donc 9n+1 −2n+1 est divisible par 7, puisqu’il est C.L. à coefficients
entiers de deux nombres divisibles par 7.
1.4 Autres propriétés
i)c|bet b|aimplique c|a.
ii)a|bet b|aimplique |a|=|b|.
iii)ac |ab et a6= 0 implique c|b.
Preuve. Pour ii):b=k1aet a=k2b.
- si aou best nul, alors forcément l’autre l’est aussi.
- sinon, ab =k1k2ab, donc k1k2= 1, donc k1et k2divisent 1, donc |k1|=|k2|= 1
et donc |a|=|b|.
2 La division euclidienne dans Z
2.1 Théorème
Théorème 2.1 Soit aun entier et bun naturel non nul. Il existe un unique couple
d’entiers (q, r)tels que
a=bq +r
où rest soumis à la condition
0≤r < b.
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Faire la division euclidienne de apar bconsiste à déterminer qet rappelés res-
pectivement le quotient et le reste de la division euclidienne.
Lorsque bdivise a,qest le quotient exact de apar bet r= 0.
Preuve du Théorème : on doit prouver, d’une part l’existence, et d’autre part
l’unicité, du couple (q, r).
•Existence (de qet r).
1. On va d’abord supposer a≥0et on va donner un algorithme produisant les
nombres qet r. On l’appelle l’algorithme d’Euclide pour la divisioneuclidienne :
il consiste à faire des soustractions successives.
Commençons par un exemple : a= 46 et b= 15.
46 −15 = 31
31 −15 = 16
16 −15 = 1
Le dernier reste 1 étant < à 15, on ne peut plus faire de soustraction, donc on
voit que le reste de la division, i.e. r, vaut 1, et comme on a fait 3 soustractions,
le quotient qvaut 3. On peut remarquer qu’en ajoutant membre à membre ces 3
égalités, il vient :
46 = 15 ×3 + 1.
À présent, à la lumière de cet exemple, mettons en place l’algorithme.
∗Supposons que l’algorithme ait commencé à travailler, i.e. qu’il ait déjà fait un
certain nombre de soustractions. Comment progresser?
On a besoin du dernier reste et du diviseur, ainsi que d’un compteur donnant le
nombre de soustractions déjà effectuées. D’où la création de trois boîtes notées R,
Bet Q:
R B Q
Dans l’exemple, après la première soustraction, il y aurait donc dans les boîtes :
R B Q
31 15 1
3

On avance en retranchant le contenu de la boîte Bà celui de la boîte R, puis en
ajoutant 1 au "compteur" Q. Ce qui donne sur l’exemple :
R B Q
16 15 2
∗Quand s’arrête-t-on?
On s’arrête dès qu’on ne peut plus faire de soustraction, i.e. quand le contenu de
la boîte Rest devenu < à celui de B.
∗Comment initialise-t-on?
En considérant acomme le premier reste et en mettant le compteur à zéro.
R B Q
ab0
Ce qui donnerait sur l’exemple :
R B Q
46 15 0
∗On en déduit l’algorithme suivant :
B:= b;
R:= a;
Q:= 0 ;
tant que R≥Bfaire
début
R:= R−B;
Q:= Q+ 1 ;
fin;
Pour montrer que cet algorithme fonctionne, i.e. qu’il produit effectivement les
entiers désirés qet r, nous allons faire un raisonnement très proche du raisonne-
ment par récurrence.
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Intéressons-nous à la quantité B×Q+Ret au reste R. Nous allons montrer
que pendant tout le déroulement de l’algorithme, on a :
B×Q+R=aet R≥0.
∗À l’initialisation,
B×Q+R=b×0 + a=aet R=a≥0.
∗Plaçons-nous à présent dans la boucle et supposons qu’à l’entrée d’un tour de
boucle on ait :
B×Q+R=aet R≥0.
Pendant le tour de boucle, Rva être diminué de b, tout en restant positif, puisque,
si on est dans la boucle, c’est que R≥b, tandis que Qva être augmenté de 1, si
bien que B×Qva être augmenté de bet qu’en définitive la valeur de B×Q+R
restera inchangée. Comme elle valait aà l’entrée du tour de boucle, à la sortie du
même tour on aura donc encore :
B×Q+R=aet R≥0.
Comme, à chaque tour de boucle, on retrouve à la sortie le même résultat qu’à
l’entrée, à savoir celui de l’initialisation, on a bien montré ce qu’il fallait.
De plus, en sortie de boucle, puisque Rn’est plus ≥Bon aura finalement,
B×Q+R=aet 0≤R < B.
Ainsi, l’algorithme considéré produit bien les nombres désirés, et on a donc prouvé
l’existence du couple (q, r)lorsque aest ≥0.
2. Il reste à examiner le cas a < 0. Puisque −a > 0, on effectue la division
euclidienne de −apar b, ce qui nous donne un couple (q, r)tel que :
−a=bq +ravec 0≤r < b.
- si r= 0, alors a=−bq et donc le couple (−q, 0) convient.
- sinon, a=b(−q)−r=b(−q−1) + b−r
|{z}
r′
avec 0< r′< b, donc le couple
(−q−1, b −r)convient.
Exemple: a=−17 et b= 5 :
17 = 5×3+2, donc −17 = 5×(−3)−2 = 5×(−3−1)+5−2 = 5×(−4)+3.
D’où : q=−4et r= 3.
•Unicité (de qet r).
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