Proposition 2

Oral 2 Thème Probabilités
04/02/2013
Réponses aux questions du jury :
1) Modification d'énoncé proposée (on pourrait rajouter les deux sous-questions suivantes) :
a) On se place dans l'urne U2 et on rappelle que le tirage simultané de N boules
correspondant à N tirages successifs sans remise.
Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
Deux boules blanches simultanément ?
Trois boules blanches simultanément ?
Quatre boules blanches simultanément ?
On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.
b) En déduire les valeurs de P J ( B) , P J ( B) , P J (B) , P J (B).
1
2
3
4
2) Correction de la question 1). Cf. résolution ci-après.
3) Oui (voir feuille Excel).
4)
Exercice 1 : (Niveau 3è)
Le paradoxe du duc de Toscane : (N°41 p 181 Phare)
On lance trois dés cubiques équilibrés.
On calcule la somme de leurs faces supérieures. Le duc de Toscane pensait qu'il y avait autant de
façons d'obtenir 9 que 10. Pourtant, il avait remarqué que l'on obtenait plus souvent 10 que 9.
1) A l'aide d'un tableur, simuler 1 000 lancers de dés et calculer les fréquences d'apparition des
sommes 9 et 10.
2) En considérant que les trois dés sont indiscernables, lister tous les lancers qui permettent
d'obtenir 9 puis ceux qui permettent d'obtenir 10. Que constate-t-on ?
3) En tenant compte de la couleur des dés (un bleu, un vert, un rouge), préciser le nombre de
lancers correspondant à chacune des façons permettant d'obtenir 9. En déduire le nombre
total de lancers pour lesquels on obtient la somme 9.
4) Mêmes questions pour la somme 10.
5) Finalement, obtient-on plus souvent 10 ou 9 ?
Solution :
1) Cf tableur joint.
2) Avec trois dés identiques on obtient la somme 9 de 6 façons différentes :
1+2+6
1 + 3 +5
1+4+4
2+2+5
2+3+4
3+3+3
Avec trois dés identiques on obtient la somme 10 de 6 façons différentes :
1+3+6
1 + 4 +5
2+2+6
2+3+5
2+4+4
3+3+4
On constate que lorsque les trois dés sont indiscernables, il y a autant donc autant de façons
d'obtenir 9 que 10. L'observation du duc était correcte.
3) Somme 9 :
Déterminons le nombre de lancers qui permettent d'obtenir chacune des différentes sommes menant
à 9:
•
•
•
•
•
•
1+2+6 peut être obtenue par 6 lancers différents (suivant les manières d'ordonner {1,2,6} :
(1,2,6) ; (1,6,2) ; (2,1,6) ; (2,6,1) ; (6,1,2) ; (6,2,1).
1+3+5 : par 6 lancers également
1+4+4 par 3 lancers
2+2+5 par 3 lancers
2+3+4 par 6 lancers
3+3+3 par 1 seul lancer
Au total, 25 lancers permettent d'obtenir la somme 9
4) Somme 10 :
Déterminons le nombre de lancers qui permettent d'obtenir chacune des différentes sommes menant
à 10:
•
•
•
•
•
•
1+3+6 peut être obtenue par 6 lancers différents (suivant les manières d'ordonner {1,3,6} :
(1,3,6) ; (1,6,3) ; (3,1,6) ; (3,6,1) ; (6,1,3) ; (6,3,1).
1+4+5 : par 6 lancers également
2+2+6 par 3 lancers
2+3+5 par 6 lancers
2+4+4 par 3 lancers
3+3+4 par 3 lancers
Au total, 27 lancers permettent d'obtenir la somme 10
5) On a donc plus de chance d'obtenir 10 que 9 puisqu'en fait les manières d'obtenir ces deux sommes ne
sont pas équiprobables.
Exercice 2 :(Niveau Tle S) (N° 84 p 273 Déclic)
On appelle P la « loi de durée de vie sans vieillissement » sur [ 0 ;+ ∞ [ de paramètre λ >0.
Ce paramètre λ est attaché à une substance radioactive et on admet que si I est un intervalle
contenu dans [ 0 ;+ ∞ [ , P(I) désigne la probabilité pour un noyau de se désintégrer à l'instant t.
1) t et s désignent deux réels positifs.
Calculer P( [ t ; t+ s [ ). Que représente ce nombre ?
2) On sait qu'un noyau n'est pas désintégré à l'instant t. Quelle est la probabilité qu'il se
désintègre entre les instants t et t+s ? Ce résultat dépend -il de t ?
3) a) Calculer en fonction de λ le temps τ tel que :
1
P( [ 0 ; τ [ ) =
.
2
τ est appelé demi-vie ou période de l'élément radioactif considéré.
b) Quelle est la probabilité qu'un noyau se désintègre entre les instants t et t +τ sachant qu'il
n'est pas désintégré à l'instant t.
4) a) Le carbone 14 a une demi-vie de 5730 années. Calculer sa désintégration annuelle.
b) La constante de désintégration annuelle de l'uranium 238 est de 1,54. 10-10. Quelle demivie en déduit-on ?
Solution :
Présentée en classe
Résolution de l'exercice du jury :
1) Il y a équiprobabilité lors du tirage des boules dans l'urne 2 contenant 10 boules.
P J ( B)=
1
4
2
=
10 5
P J ( B)=
2
P J ( B)=
3
4 3 2 1
∗ ∗ =
10 9 8 30
P J ( B)=
4
4 3 12 2
∗ = =
10 9 90 15
4 3 2 1 3
1
∗ ∗ ∗ =
=
10 9 8 7 630 210
Remarque : autre méthode : utiliser les coefficients binomiaux
2) Il y a équiprobabilité lors du tirage du jeton dans l'urne U1 contenant 4 jetons ainsi le joueur
a 1 chance sur 4 de tirage de tirer le jeton n°i (pour i variant de 1 à 4). D'après la question 1)
on a donc :
1 4 1
P (J 1∩B)=P (J 1)∗P J (B)= ∗ =
4 10 10
1
1 2 1
P (J 2∩B)=P ( J 2 )∗P J ( B)= ∗ =
4 15 30
2
1 1 1
P (J 3∩B)=P (J 3)∗P J (B)= ∗ =
4 30 120
3
1 1
1
P (J 4∩B)= P( J 4 )∗P J (B)= ∗
=
4 210 840
4
En utilisant la formule des probabilités totales :
P ( B)=P (J 1∩B)+ P ( J 2∩ B)+ P ( J 3∩B)+ P ( J 4∩B)=
1
1
1
1
1
+ +
+
=
10 30 120 840 7
3) On cherche à déterminer
P B ( J 3 ).
D'après la formule des probabilités conditionnelles,
1
P (J 3∩B)
120
7
P B ( J 3 )=
(B)=
=
P
1
120
7
4) On reconnaît ici un schéma de Bernoulli
a) La variable aléatoire N suit la loi binomiale de paramètres n =10 et
b)
3
7
( )( ) ( )
P (N =3)= 10
3
1
7
6
1 279936
=120∗
∗
≈0,12.
7
343 823543
p=P ( B)=
1
.
7