Suites et séries de fonctions

CHAPITRE V
CHAPITRE V
CHAPITRE V
CHAPITRE V
CHAPITRE V
CHAPITRE V
CHAPITRE V
Suites et s´ eries de fonctions.
Suites et s´ eries de fonctions.
Suites et s´ eries de fonctions.
Suites et s´ eries de fonctions.
Suites et s´ eries de fonctions.
Suites et s´ eries de fonctions.
Suites et s´ eries de fonctions.
I - Convergence simple d’une suite de fonctions :
I - Convergence simple d’une suite de fonctions :
I - Convergence simple d’une suite de fonctions :
I - Convergence simple d’une suite de fonctions :
I - Convergence simple d’une suite de fonctions :
I - Convergence simple d’une suite de fonctions :
I - Convergence simple d’une suite de fonctions :
le probl` eme de l’interversion des limites.
le probl` eme de l’interversion des limites.
le probl` eme de l’interversion des limites.
le probl` eme de l’interversion des limites.
le probl` eme de l’interversion des limites.
le probl` eme de l’interversion des limites.
le probl` eme de l’interversion des limites.
II - Convergence uniforme d’une suite de fonction :
II - Convergence uniforme d’une suite de fonction :
II - Convergence uniforme d’une suite de fonction :
II - Convergence uniforme d’une suite de fonction :
II - Convergence uniforme d’une suite de fonction :
II - Convergence uniforme d’une suite de fonction :
II - Convergence uniforme d’une suite de fonction :
le th´ eor` eme d’interversion des limites.
le th´ eor` eme d’interversion des limites.
le th´ eor` eme d’interversion des limites.
le th´ eor` eme d’interversion des limites.
le th´ eor` eme d’interversion des limites.
le th´ eor` eme d’interversion des limites.
le th´ eor` eme d’interversion des limites.
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la limite
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la limite
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la limite
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la limite
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la limite
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la limite
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la limite
d’une suite de fonctions.
d’une suite de fonctions.
d’une suite de fonctions.
d’une suite de fonctions.
d’une suite de fonctions.
d’une suite de fonctions.
d’une suite de fonctions.
IV - Cas particulier des s´ eries. Convergence normale,
IV - Cas particulier des s´ eries. Convergence normale,
IV - Cas particulier des s´ eries. Convergence normale,
IV - Cas particulier des s´ eries. Convergence normale,
IV - Cas particulier des s´ eries. Convergence normale,
IV - Cas particulier des s´ eries. Convergence normale,
IV - Cas particulier des s´ eries. Convergence normale,
crit` ere d’Abel.
crit` ere d’Abel.
crit` ere d’Abel.
crit` ere d’Abel.
crit` ere d’Abel.
crit` ere d’Abel.
crit` ere d’Abel.
I - Convergence simple d’une suite de fonctions
I - Convergence simple d’une suite de fonctions
I - Convergence simple d’une suite de fonctions
I - Convergence simple d’une suite de fonctions
I - Convergence simple d’une suite de fonctions
I - Convergence simple d’une suite de fonctions
I - Convergence simple d’une suite de fonctions
D´efinition. Soit D⊆R.Une suite de fonctions de Ddans R(ou C) est la donn´ee pour
tout n∈Nd’une application fnde Ddans R(ou C).
Notation. On notera (fn)n∈Nou (fn)nou (fn) la suite de fonctions.
D´efinition. Soit (fn)nune suite de fonctions de Ddans R(ou C).Soit fune application
de Ddans R(ou C).On dit que la suite (fn) converge simplement vers la fonction f(ou
converge en tous points vers f) si pour tout x∈D, la suite fn(x)nconverge vers f(x).
C’est-`a-dire :
∀x∈D∀ε∈R, ε>0,∃N∈Ntel que ∀n∈Nn>N ⇒|fn(x)−f(x)|<ε
.
Remarquons que dans cette d´efinition l’entier Nd´epend de εet de x.
Notation. f= lim
n→∞ fn.
Exemple et remarques.
1) Soit D=[0,+∞[.
Pour tout n∈Net tout x∈D, on pose fn=nx
1+nx (f
n(0) = npour n≥1)
1
x00
f
1
f2
f
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∀n
∀n
∀n
∀n
∀n
∀n
∀nfn(x)=1−1
1+nx .La fonction fnest croissante, d´erivable, et lim
x→+∞fn(x)=1.
.Pour tout x∈D\{0}fix´e, on a lim
n→∞
nx
1+nx =1.
.Pour x=0 on a lim
n→∞ fn(0) = 0.
La suite (fn)nconverge donc simplement vers la fonction fdonn´ee par f(x)=1 pour
x∈D\{0}et f(0) = 0.On a f= lim
n→∞ fn.
Remarquons que bien que chaque application fnsoit continue en 0, l’application fn’est pas
continue en 0. Autrement dit dans ce cas on a :
lim
x→0
x∈D
x=0 lim
n→∞ fn(x)= lim n→∞lim
x→0
x=0
x∈D
fn(x)
2) On suppose que (fn) est une suite de fonctions par exemple de [a, b] dans R,pour aet b
r´eels, a<b, convergeant simplement vers une fonction f.
On se pose les trois questions suivantes :
a) La continuit´e de chaque fnentraˆıne t-elle celle de f?
b) Si chaque fnest d´erivable, fest-elle d´erivable et a-t-on f= lim
nf
n?
c) Si chaque fnest int´egrable, fest-elle int´egrable et a-t-on alors b
a
fn(t)dt =b
a
f(t)dt ?
On va voir (comme on l’a d´ej`a vu pour la continuit´e) que la convergence simple des fonctions
ne suffit pas, il faut une notion plus forte : la convergence uniforme.
II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´ eor` eme
II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´ eor` eme
II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´ eor` eme
II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´ eor` eme
II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´ eor` eme
II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´ eor` eme
II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´ eor` eme
d’interversion des limites
d’interversion des limites
d’interversion des limites
d’interversion des limites
d’interversion des limites
d’interversion des limites
d’interversion des limites
D´efinition. Soit D⊆R.Soit (fn)nune suite de fonctions de Ddans R(ou C).On dit
que la suite (fn)nconverge uniform´ement vers la fonction fsur Dsi on a :
∀ε∈R,ε>0,∃N∈Ntel que ∀x∈D∀n∈N(n>N ⇒|fn(x)−f(x)|<ε).
Remarques.
1) Si on compare `alad´efinition de la convergence simple donn´ee en I on remarque que la condition
∀x∈Dest plac´ee apr`es le ∃N. Cela signifie que le Ntrouv´ed´ependant de εdoit convenir
pour tous les x∈D.
2) Dans les cas o`u on sait calculer au moins pour nassez grand sup
x∈D
|fn(x)−f(x)|(qu’on
notera fn−f∞) on peut aussi traduire la propri´et´e par :
∀ε>0∃Ntel que n>N ⇒fn−f∞<ε
c’est-`a-dire que la suite r´eelle fn−f∞converge vers 0.
Exemple. Le probl`eme de non continuit´e dans l’exemple des fonctions fn(x)= nx
1+nx pour
x∈[0,+∞[ se situait pour x=0.
Montrons que cette suite de fonctions n’est pas uniform´ement convergente sur [0,1],mais qu’elle
l’est sur tout intervalle [a, +∞[ avec a>0.
Si on a convergence uniforme, on a convergence uniforme vers la fonction fqui est limite simple
de la suite. Or on a :
pour x>0|nx
1+nx −1|=1 1+nx .
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a) pour nfix´e on a sup
x>0
1
1+nx = 1 on n’a donc pas de convergence uniforme sur ]0,+∞[.
b) Si on se restreint `a l’intervalle [a, +∞[,ona:
∀n∈N,n fix´e sup
x∈[a,+∞[
1
1+nx =1 1+na .
Il suffit donc de rendre 1
1+na inf´erieur `a εpour qu’on ait : ∀x∈[a, +∞[1 1+nx <ε. On
a donc convergence uniforme sur [a, +∞[.
Remarque.
1) Pour montrer la convergence uniforme de (fn)nil faut apr`es avoir trouv´e la limite simple f
essayer de majorer |fn(x)−f(x)|ind´ependamment de x.
2) Une seconde m´ethode est d’utiliser le crit`ere de Cauchy uniforme (ci-dessous).
3) Enfin dans le cas des s´eries on verra deux autres m´ethodes (crit`ere de convergence normale,
crit`ere d’Abel).
On va voir tout de suite le crit`ere de Cauchy.
Th´eor`eme 1 (Crit`ere de Cauchy uniforme).
Soit D⊆R.
Soit (fn)nune suite de fonctions de Ddans R(ou C).
Alors la suite (fn)nconverge uniform´ement vers une fonction fde Ddans R(ou C)siet
seulement si on a la condition (C) suivante :
∀ε∈R,ε>0∃Nεtel que ∀p∈N∀q∈N∀x∈D
(p>N
εet q>N ε)⇒|fp(x)−fq(x)|<ε.
D´emonstration.
1) La condition est ´evidemment n´ecessaire.
2) Montrons qu’elle est suffisante. On suppose donc (C)v´erifi´e.
.Pour tout x∈Dla suite fn(x)n∈Nest une suite de Cauchy dans R(ou C).Donc elle
converge. Soit f(x) sa limite. Ceci d´efinit la fonction f.
.Soit ε>0 et soient p>N
εet x∈Don a ∀q>N(ε)|fp(x)−fq(x)|<ε. D’o`uen
faisant tendre qvers +∞:|fp(x)−f(x)|≤ ε. D’o`u la convergence uniforme.
Remarque. Avant de voir le th´eor`eme d’interversion des limites, signalons sans d´emonstration et
`a titre documentaires les r´esultats classiques suivants, qu’on ne demandera pas de retenir. Soient
aet bdes r´eels avec a<b.
1) Toute fonction monotone sur [a, b] peut s’´ecrire comme limite uniforme d’une suite de fonctions
en escalier.
2) Toute fonction continue sur [a, b] peut s’´ecrire comme limite uniforme d’une suite de fonctions
en escalier.
3) Toute fonction continue sur [a, b] peut s’´ecrire comme limite uniforme d’une suite de fonctions
polynomiales (th´eor`eme de Weierstrass).
99

Th´eor`eme 2. Soit D⊆R,soit (fn)nune suite de fonctions de Ddans R(ou C) convergeant
uniform´ement sur Dvers une fonction f.
Soit x0∈D.
Supposons que pour tout n∈N
n= lim
x→x0
x∈D
fn(x) existe dans Rou C
Alors la suite (n)nest convergente et on a :
lim
n→∞ n= lim
x→x0
x∈D
f(x).
R´esum´e. On a donc :
lim
x→x0
x∈Dlim
n→∞ uniforme fn(x)
existe par hypoth`ese
= lim
n→∞ lim
x→x0
x∈D
fn(x).
existe par hypoth`ese
Remarque. On pourrait remplacer dans la propri´et´epr´ec´edente le npar une variable yqu’on
ferait tendre vers une valeur y0.
D´emonstration. On a :
(C)∀ε>0∃N(ε)∀p>N(ε)∀q>N(ε)
∀x∈D
|fp(x)−fq(x)|<ε
3.
.Par passage `a la limite dans (C) on a donc :
∀p>N(ε)∀q>N(ε)|p−q|≤ ε
3.
La suite (p) est donc une suite de Cauchy dans Rou C.Donc elle converge. Soit sa
limite on a :
∀p>N(ε)|p−|≤ ε
3.
.On obtient ´egalement ∀p>N(ε)∀x∈p|fp(x)−f(x)|≤ ε
3.
.Soit alors p0fix´e choisi tel que p0>N(ε) comme on a lim
x→x0
x∈D
fp0(x)=p0,il existe ηp0,ε >0
tel que x∈D
|x−x0|<η
p0,ε ⇒|fp0(x)−p0|<ε
3.
Finalement pour |x−x0|<η
p0,ε,x ∈Dona:
|f(x)−|≤|f(x)−fp0(x)|+|fp0(x)−p0|+|p0−|≤ ε.
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III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la fonction limite d’une
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la fonction limite d’une
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la fonction limite d’une
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la fonction limite d’une
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la fonction limite d’une
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la fonction limite d’une
III - Continuit´ e, int´ egration, d´ erivation de la fonction limite d’une
suite de fonctions
suite de fonctions
suite de fonctions
suite de fonctions
suite de fonctions
suite de fonctions
suite de fonctions
Th´eor`eme 3. Soit D⊆R.
Soit (fn)nune suite de fonctions de Ddans R(ou C) uniform´ement convergente sur D
vers une fonction f.
Soit x0∈D. On suppose que chaque fonction fnest continue en x0sur D.
Alors la fonction fest continue en x0sur D.
D´emonstration. On a :
∀n∈Nlim
x→x0
x∈D
fn(x)=fn(x0)=net lim
n→∞ fn(x0)=f(x0).
On obtient d’apr`es le th´eor`eme 2 :
lim
n→∞ n= lim
x→x0
x∈D
f(x),donc lim
x→x0
x∈D
f(x)=f(x0).
Th´eor`eme 4. Soient aet bdes r´eels, a<b.
Soit (fn)nune suite de fonctions continues sur [a, b] et convergeant uniform´ement sur [a, b]
vers une fonction f.
Pour tout x∈[a, b] on pose Fn(x)=x
a
fn(t)dt
F(x)=
x
a
f(t)dt.
Alors la suite de fonctions (Fn)nconverge uniform´ement sur [a, b] vers la fonction F.
D´emonstration. Remarquons que d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent la fonction fest continue,
donc int´egrable.
Soit ε∈R,ε>0.Alors il existe Nεtel que
∀t∈[a, b]
∀n>N
εon ait |fn(t)−f(t)|<ε.
Alors pour n>N
εet x∈[a, b] ona:
|Fn(x)−F(x)|=|x
afn(t)−f(t)dt|≤x a
|fn(t)−f(t)|dt
≤ε(b−a).
D’o`u la convergence uniforme de la suite (Fn)nvers F. On admettra le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 5. Soient aet bdes r´eels a<b.
Soit (fn)nune suite de fonctions Riemann-int´egrables de [a, b] dans R,uniform´ement conver-
gente vers une fonction f.
Alors fest Riemann-int´egrable.
On obtient alors le th´eor`eme 6 en r´ep´etant exactement la d´emonstration du th´eor`eme 4 :
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