Suites et séries de fonctions

CHAPITRE V

Suites et s´

eries de fonctions.

Suites et s´

eries de fonctions.

Suites et s´

eries de fonctions.

Suites et s´

eries de fonctions.

Suites et s´

eries de fonctions.

Suites et s´

eries de fonctions.

Suites et s´

eries de fonctions.

I - Convergence simple d’une suite de fonctions :

le probl`

eme de l’interversion des limites.

le probl`

eme de l’interversion des limites.

le probl`

eme de l’interversion des limites.

le probl`

eme de l’interversion des limites.

le probl`

eme de l’interversion des limites.

le probl`

eme de l’interversion des limites.

le probl`

eme de l’interversion des limites.

II - Convergence uniforme d’une suite de fonction :

le th´

eor`

eme d’interversion des limites.

le th´

eor`

eme d’interversion des limites.

le th´

eor`

eme d’interversion des limites.

le th´

eor`

eme d’interversion des limites.

le th´

eor`

eme d’interversion des limites.

le th´

eor`

eme d’interversion des limites.

le th´

eor`

eme d’interversion des limites.

III - Continuit´

e, int´

egration, d´

erivation de la limite

III - Continuit´

e, int´

egration, d´

erivation de la limite

III - Continuit´

e, int´

egration, d´

erivation de la limite

III - Continuit´

e, int´

egration, d´

erivation de la limite

III - Continuit´

e, int´

egration, d´

erivation de la limite

III - Continuit´

e, int´

egration, d´

erivation de la limite

III - Continuit´

e, int´

egration, d´

erivation de la limite

d’une suite de fonctions.

IV - Cas particulier des s´

eries. Convergence normale,

IV - Cas particulier des s´

eries. Convergence normale,

IV - Cas particulier des s´

eries. Convergence normale,

IV - Cas particulier des s´

eries. Convergence normale,

IV - Cas particulier des s´

eries. Convergence normale,

IV - Cas particulier des s´

eries. Convergence normale,

IV - Cas particulier des s´

eries. Convergence normale,

crit`

ere d’Abel.

crit`

ere d’Abel.

crit`

ere d’Abel.

crit`

ere d’Abel.

crit`

ere d’Abel.

crit`

ere d’Abel.

crit`

ere d’Abel.

I - Convergence simple d’une suite de fonctions

D´eﬁnition. Soit D⊆R.Une suite de fonctions de Ddans R(ou C) est la donn´ee pour

tout n∈Nd’une application fnde Ddans R(ou C).

Notation. On notera (fn)n∈Nou (fn)nou (fn) la suite de fonctions.

D´eﬁnition. Soit (fn)nune suite de fonctions de Ddans R(ou C).Soit fune application

de Ddans R(ou C).On dit que la suite (fn) converge simplement vers la fonction f(ou

converge en tous points vers f) si pour tout x∈D, la suite fn(x)nconverge vers f(x).

C’est-`a-dire :

∀x∈D∀ε∈R, ε>0,∃N∈Ntel que ∀n∈Nn>N ⇒|fn(x)−f(x)|<ε

.

Remarquons que dans cette d´eﬁnition l’entier Nd´epend de εet de x.

Notation. f= lim

n→∞ fn.

Exemple et remarques.

1) Soit D=[0,+∞[.

Pour tout n∈Net tout x∈D, on pose fn=nx

1+nx (f

n(0) = npour n≥1)

1

x00

f

1

f2

f

97

∀n

∀nfn(x)=1−1

1+nx .La fonction fnest croissante, d´erivable, et lim

x→+∞fn(x)=1.







.Pour tout x∈D\{0}ﬁx´e, on a lim

n→∞

nx

1+nx =1.

.Pour x=0 on a lim

n→∞ fn(0) = 0.

La suite (fn)nconverge donc simplement vers la fonction fdonn´ee par f(x)=1 pour

x∈D\{0}et f(0) = 0.On a f= lim

n→∞ fn.

Remarquons que bien que chaque application fnsoit continue en 0, l’application fn’est pas

continue en 0. Autrement dit dans ce cas on a :

lim

x→0

x∈D

x=0 lim

n→∞ fn(x)= lim

n→∞lim

x→0

x=0

x∈D

fn(x)

2) On suppose que (fn) est une suite de fonctions par exemple de [a, b] dans R,pour aet b

r´eels, a<b, convergeant simplement vers une fonction f.

On se pose les trois questions suivantes :

a) La continuit´e de chaque fnentraˆıne t-elle celle de f?

b) Si chaque fnest d´erivable, fest-elle d´erivable et a-t-on f= lim

nf

n?

c) Si chaque fnest int´egrable, fest-elle int´egrable et a-t-on alors b

a

fn(t)dt =b

a

f(t)dt ?

On va voir (comme on l’a d´ej`a vu pour la continuit´e) que la convergence simple des fonctions

ne suﬃt pas, il faut une notion plus forte : la convergence uniforme.

II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´

eor`

eme

II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´

eor`

eme

II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´

eor`

eme

II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´

eor`

eme

II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´

eor`

eme

II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´

eor`

eme

II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et th´

eor`

eme

d’interversion des limites

D´eﬁnition. Soit D⊆R.Soit (fn)nune suite de fonctions de Ddans R(ou C).On dit

que la suite (fn)nconverge uniform´ement vers la fonction fsur Dsi on a :

∀ε∈R,ε>0,∃N∈Ntel que ∀x∈D∀n∈N(n>N ⇒|fn(x)−f(x)|<ε).

Remarques.

1) Si on compare `alad´eﬁnition de la convergence simple donn´ee en I on remarque que la condition

∀x∈Dest plac´ee apr`es le ∃N. Cela signiﬁe que le Ntrouv´ed´ependant de εdoit convenir

pour tous les x∈D.

2) Dans les cas o`u on sait calculer au moins pour nassez grand sup

x∈D

|fn(x)−f(x)|(qu’on

notera fn−f∞) on peut aussi traduire la propri´et´e par :

∀ε>0∃Ntel que n>N ⇒fn−f∞<ε

c’est-`a-dire que la suite r´eelle fn−f∞converge vers 0.

Exemple. Le probl`eme de non continuit´e dans l’exemple des fonctions fn(x)= nx

1+nx pour

x∈[0,+∞[ se situait pour x=0.

Montrons que cette suite de fonctions n’est pas uniform´ement convergente sur [0,1],mais qu’elle

l’est sur tout intervalle [a, +∞[ avec a>0.

Si on a convergence uniforme, on a convergence uniforme vers la fonction fqui est limite simple

de la suite. Or on a :

pour x>0|nx

1+nx −1|=1

1+nx .

98

a) pour nﬁx´e on a sup

x>0

1

1+nx = 1 on n’a donc pas de convergence uniforme sur ]0,+∞[.

b) Si on se restreint `a l’intervalle [a, +∞[,ona:

∀n∈N,n ﬁx´e sup

x∈[a,+∞[

1

1+nx =1

1+na .

Il suﬃt donc de rendre 1

1+na inf´erieur `a εpour qu’on ait : ∀x∈[a, +∞[1

1+nx <ε. On

a donc convergence uniforme sur [a, +∞[.

Remarque.

1) Pour montrer la convergence uniforme de (fn)nil faut apr`es avoir trouv´e la limite simple f

essayer de majorer |fn(x)−f(x)|ind´ependamment de x.

2) Une seconde m´ethode est d’utiliser le crit`ere de Cauchy uniforme (ci-dessous).

3) Enﬁn dans le cas des s´eries on verra deux autres m´ethodes (crit`ere de convergence normale,

crit`ere d’Abel).

On va voir tout de suite le crit`ere de Cauchy.

Th´eor`eme 1 (Crit`ere de Cauchy uniforme).

Soit D⊆R.

Soit (fn)nune suite de fonctions de Ddans R(ou C).

Alors la suite (fn)nconverge uniform´ement vers une fonction fde Ddans R(ou C)siet

seulement si on a la condition (C) suivante :

∀ε∈R,ε>0∃Nεtel que ∀p∈N∀q∈N∀x∈D

(p>N

εet q>N

ε)⇒|fp(x)−fq(x)|<ε.

D´emonstration.

1) La condition est ´evidemment n´ecessaire.

2) Montrons qu’elle est suﬃsante. On suppose donc (C)v´eriﬁ´e.

.Pour tout x∈Dla suite fn(x)n∈Nest une suite de Cauchy dans R(ou C).Donc elle

converge. Soit f(x) sa limite. Ceci d´eﬁnit la fonction f.

.Soit ε>0 et soient p>N

εet x∈Don a ∀q>N(ε)|fp(x)−fq(x)|<ε. D’o`uen

faisant tendre qvers +∞:|fp(x)−f(x)|≤ ε. D’o`u la convergence uniforme.

Remarque. Avant de voir le th´eor`eme d’interversion des limites, signalons sans d´emonstration et

`a titre documentaires les r´esultats classiques suivants, qu’on ne demandera pas de retenir. Soient

aet bdes r´eels avec a<b.

1) Toute fonction monotone sur [a, b] peut s’´ecrire comme limite uniforme d’une suite de fonctions

en escalier.

2) Toute fonction continue sur [a, b] peut s’´ecrire comme limite uniforme d’une suite de fonctions

en escalier.

3) Toute fonction continue sur [a, b] peut s’´ecrire comme limite uniforme d’une suite de fonctions

polynomiales (th´eor`eme de Weierstrass).

99

Th´eor`eme 2. Soit D⊆R,soit (fn)nune suite de fonctions de Ddans R(ou C) convergeant

uniform´ement sur Dvers une fonction f.

Soit x0∈D.

Supposons que pour tout n∈N

n= lim

x→x0

x∈D

fn(x) existe dans Rou C

Alors la suite (n)nest convergente et on a :

lim

n→∞ n= lim

x→x0

x∈D

f(x).

R´esum´e. On a donc :

lim

x→x0

x∈Dlim

n→∞ uniforme fn(x)

 

existe par hypoth`ese

= lim

n→∞ lim

x→x0

x∈D

fn(x).

 

existe par hypoth`ese

Remarque. On pourrait remplacer dans la propri´et´epr´ec´edente le npar une variable yqu’on

ferait tendre vers une valeur y0.

D´emonstration. On a :

(C)∀ε>0∃N(ε)∀p>N(ε)∀q>N(ε)

∀x∈D

|fp(x)−fq(x)|<ε

3.

.Par passage `a la limite dans (C) on a donc :

∀p>N(ε)∀q>N(ε)|p−q|≤ ε

3.

La suite (p) est donc une suite de Cauchy dans Rou C.Donc elle converge. Soit sa

limite on a :

∀p>N(ε)|p−|≤ ε

3.

.On obtient ´egalement ∀p>N(ε)∀x∈p|fp(x)−f(x)|≤ ε

3.

.Soit alors p0ﬁx´e choisi tel que p0>N(ε) comme on a lim

x→x0

x∈D

fp0(x)=p0,il existe ηp0,ε >0

tel que x∈D

|x−x0|<η

p0,ε ⇒|fp0(x)−p0|<ε

3.

Finalement pour |x−x0|<η

p0,ε,x ∈Dona:

|f(x)−|≤|f(x)−fp0(x)|+|fp0(x)−p0|+|p0−|≤ ε.

100