Arithmétique - Partie 2 : Arithmétique modulaire

Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Arithmétique
Partie 2 : Arithmétique modulaire
Laurent Debize
Ingésup
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Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Divisibilité – Division euclidienne
Exemple
La relation divise Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?
Nombres premiers
Crible d’Eratosthène
Théorème fondamental
Déterminer les diviseurs d’un nombre
PGCD
Trouver les diviseurs
Utiliser la calculatrice
Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers
Emploi de l’algorithme d’Euclide
Nombres premiers entre eux
Congruences - entiers modulo n
Compatibilité des congruences avec les opérations
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
Comment faisait-on des divisions à l’école primaire ?
Exemple
43 5
3 8
Dans cette écriture : 43 s’appelle le dividende ; 5 est le diviseur ; 8 est le
quotient et 3 est le reste.
On peut établir sans difficulté les deux propriétés suivantes :
43 = 5 × 8 + 3
et 0 ≤ 3 < 5
Soit dividende = diviseur × quotient + reste et 0 ≤ reste < diviseur
Ce type de division s’appelle une division euclidienne.
Le mot euclidienne vient du nom du mathématicien grec de
l’Antiquité : Euclide.
Notez bien que dans ce type de division :
• n’interviennent que des nombres entiers (et jamais de décimaux) ;
• il est indispensable de bien avoir la relation : 0 ≤ reste < diviseur
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Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Euclide
Le mot euclidienne vient du nom du mathématicien grec de
l’Antiquité : Euclide.
Il aurait vécu vers 300 avant notre ère, après Platon, mais avant
Archimède et Eratosthène.
Il a écrit les Eléments, composé de 13 livres, qui abordent la géométrie
plane et dans l’espace, l’arithmétique...
Pendant des siècles, il a fait partie du cursus universitaire standard.
Une des plus
ciens fragments
Éléments.
andes
Codex Vaticanus 190
Première édition
primée (1482)
im-
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
Définition
Soient a ∈ Z et b ∈ N∗ (autrement dit a est un entier quelconque,
positif, négatif ou nul ; par contre b est un entier positif non nul).
Faire la division euclidienne de a par b, c’est trouver le couple (q, r )
d’entiers relatifs tels que :
a=b×q+r
et :
0≤r <b
a
r
b
q
Dans cette écriture : a est le dividende ; b est le diviseur, q le quotient
et r est le reste.
Nous admettrons que ce couple (q, r ) existe toujours de manière
unique.
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Divisibilité – Division euclidienne
Exemple
• a = 368 et b = 13 :
368 = 13 × 28 + 4
On observe que : 0 ≤ 4 < 13
Donc : q = 28 et r = 4
• a = −368 et b = 13 :
−368 = 13 × (−28) + (−4)
Mais −4 < 0 : ce reste ne convient pas !
−368 = 13 × (−29) + 9 et 0 ≤ 9 < 13
Donc : q = −29 et r = 9
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Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
Quelques outils pour calculer facilement le quotient et le reste
• Sur calculatrice :
TI :
Casio :
MenuMath → NUM → partEnt(
Options → NUM → int(
donne le quotient
Pour avoir le reste de la division de a par b, taper :
a–b × partEnt(a ÷ b)
Exemple : partEnt(368 ÷ 13) donne 28 (quotient)
368–13 × partEnt(368 ÷ 13) donne 4 (reste)
• Sur Excel :
MOD(A; B) : donne le reste de A par B.
A
B
C
1 dividende diviseur
reste
2
368
13
=Mod(A2 ;B2)
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
Remarques
• Dans la division par 2, le reste ne peut être égal qu’à 0 ou 1
donc :
Tout nombre entier a peut s’écrire sous la forme :
a = 2k (s’il est pair) ou a = 2k + 1 (s’il est impair) (avec k ∈ Z)
• De même, dans la division par 3, le reste ne peut être que 0,
1 ou 2 :
Tout nombre entier a peut s’écrire sous l’une des trois formes
suivantes :
a = 3k ou a = 3k + 1 ou a = 3k + 2 (avec k ∈ Z)
• Et ainsi de suite...
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
Exercices 1 à 3
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
La relation
PGCD
Congruences - entiers modulo n
divise Définition
Soient a et b deux entiers relatifs.
b divise a ⇐⇒ il existe un entier q tel que a = b × q
Autrement dit : a peut s’écrire sous la forme du produit de b par un
nombre entier.
On dit que b divise a ou bien que b est un diviseur de a ou encore que a
est un multiple de b.
Remarque : si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors
b divise a.
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
La relation
PGCD
Congruences - entiers modulo n
divise Propriétés
• Tout entier relatif b divise 0. En effet 0 = b × 0
• 0 ne divise aucun entier a 6= 0
cela revient à dire qu’on ne peut pas diviser par 0
(En effet si a 6= 0, quel que soit le nombre q : a 6= 0 × q)
• 1 et – 1 divisent tous les entiers : a = 1 × a et a = (–1) × (–a)
• Tout nombre entier admet un nombre fini de diviseurs (propriété
admise)
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Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
La relation
PGCD
Congruences - entiers modulo n
divise Rappels de quelques règles sur la divisibilité
Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 : 6 ; 8 (nombres
pairs)
• Exemples : 268 ; 1222 ; 146 sont divisibles par 2.
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est elle-même
divisible par 3.
• Exemple : 363 est divisible par 3 car la somme des chiffres :
3 + 6 + 3 = 12 est divisible par 3 (12 = 3 × 4)
• 2654 n’est pas divisible par 3 car : 2 + 6 + 5 + 4 = 17 n’est pas
divisible par 3
Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5
• Exemple : 15 ; 25 ; 330.
Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?
Exemple : recherche des diviseurs de 168
On essaie de diviser le nombre 168 par tous les nombres qui lui sont inférieurs :
168 = 1 × 168
−→
1 et 168 sont des diviseurs de 168.
168 = 2 × 84
−→
2 et 84 sont des diviseurs de 168.
168 = 3 × 56
−→
3 et 56 sont des diviseurs de 168.
168 = 4 × 42
−→
4 et 42 sont des diviseurs de 168.
Ensuite : 168 ne se divise pas par 5.
168 = 6 × 28
−→
6 et 28 sont des diviseurs de 168.
168 = 7 × 24
−→
7 et 24 sont des diviseurs de 168.
168 = 8 × 21
−→
8 et 21 sont des diviseurs de 168.
168 ne se divise pas par 9, 10 ni 11.
168 = 12 × 14
−→
12 et 14 sont des diviseurs de 168.
STOP : le seul nombre entre 12 et 14 est 13, qui n’est pas un diviseur de 168.
D’où la liste des diviseurs de 168 :
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D
= {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 12; 14; 21; 24; 28; 42; 56; 84; 168}
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?
Autres propriétés
• Si m divise a et b, alors il divise leur somme, leur différence, leur
produit.
• Si a divise b et si b divise c alors a divise c.
• Si m divise a et b alors il divise tous les nombres de la forme
ka + k 0 b (où k et k 0 sont deux entiers).
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Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
Exercices 4 à 9
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Divisibilité – Division euclidienne
Exemple
La relation divise Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?
Nombres premiers
Crible d’Eratosthène
Théorème fondamental
Déterminer les diviseurs d’un nombre
PGCD
Trouver les diviseurs
Utiliser la calculatrice
Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers
Emploi de l’algorithme d’Euclide
Nombres premiers entre eux
Congruences - entiers modulo n
Compatibilité des congruences avec les opérations
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Nombres premiers
Définition
Un nombre est premier s’il n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Remarque : 1 n’est pas premier. Il n’a qu’un seul diviseur : 1.
Des exemples de nombres premiers : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; etc.
Par contre :
• 4 n’est pas premier : ses diviseurs sont : 1 ; 2 et 4.
• 15 n’est pas premier : ses diviseurs sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15
Si un nombre n’est pas premier, on dit qu’il est composé.
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Nombres premiers
Théorème
Il existe un infinité de nombres premiers (théorème admis).
La course au plus grand nombre premier
Un programme de recherche appelé Great Internet Mersenne Prime
Search est constamment à la recherche du plus grand nombre premier
possible.
Le plus grand connu à ce jour a été trouvé en 2013
Il a nécessité 360 000 ordinateurs, 150 trillions (1018 ) opérations par
seconde, 17 ans de calcul.
Ce nombre est composé de 17 425 170 caractères. Il faudrait près de
3500 pages pour l’écrire entièrement !
Il peut toutefois s’écrire sous une forme plus courte : 257885161 − 1
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Nombres premiers
Propriété
Soit a un entier naturel strictement supérieur à 1.
a possède au moins un diviseur premier.
Si a n’est pas premier, alors au moins un de ses diviseurs est inférieur à
√
a (propriété admise).
Méthode pour savoir si un nombre est premier ou non
On appelle cette méthode un test de primalité.
• Si l’un des nombres premiers inférieurs ou égaux à
√
a n’est pas premier.
• Si aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à
alors a est premier.
a divise a, alors
√
a ne divise a,
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Nombres premiers
Exemple 1
a = 871 est-il
√ ?
√ premier
On calcule a = 871 ≈ 29, 51
Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 29,51 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ;
13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29
On cherche si 871 se divise par un de ces nombres
C’est le cas : 871 se divise par 13 car 871 = 13 × 67
Donc 871 n’est pas premier
Exemple 2
b
√= 307 est-il premier ?
307 ≈ 17, 52
Nombres premiers inférieurs à 17,52 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17
307 n’est divisible par aucun de ces nombres
Donc : 307 est premier
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Crible d’Eratosthène
Eratosthène : astronome, géographe, philosophe et mathématicien grec
de l’Antiquité (276 av. n.è. - 194 av. n.è.)
Célèbre pour avoir trouvé une méthode permettant de mesurer la
circonférence de la Terre
Il a élaboré une méthode (un crible) permettant de trouver, par exemple,
tous les nombres premiers entre 1 et 100.
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Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Crible d’Eratosthène
On commence par écrire tous les nombres entre 1 et 100 dans un
tableau :
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Crible d’Eratosthène
On élimine (nombres dans les cases sur fond grisé) :
• 1 qui n’est pas premier
• tous les multiples de 2 (nombres pairs) strictement supérieurs à 2
• tous les multiples de 3 strictement supérieurs à 3
• tous les multiples de 5 strictement supérieurs à 5 (nombres qui se
terminent par 0 ou 5)
• tous les multiples de 7 strictement supérieurs à 7
√
On a 100 = 10, donc on peut s’arrêter là.
Les nombres restants sont premiers, sinon ils auraient un diviseur premier
plus petit que 10.
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Crible d’Eratosthène
Inconvénient de cette méthode
Long et fasitidieux, donc envisageable que sur de petits nombres ...
Mieux vaut implémenter un algorithme.
Mais même dans ce cas, on ne peut pas choisir des nombres trop grands.
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Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Divisibilité – Division euclidienne
Exemple
La relation divise Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?
Nombres premiers
Crible d’Eratosthène
Théorème fondamental
Déterminer les diviseurs d’un nombre
PGCD
Trouver les diviseurs
Utiliser la calculatrice
Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers
Emploi de l’algorithme d’Euclide
Nombres premiers entre eux
Congruences - entiers modulo n
Compatibilité des congruences avec les opérations
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Le théorème fondamental de l’arithmétique
Théorème
Nous admettrons le théorème suivant :
Tout nombre entier positif strictement plus grand que 1 s’écrit de
manière unique sous la forme d’un produit de nombres premiers.
Exemple
La décomposition est à peu près évidente pour de petits nombres :
6=2×3
→ 6 est le produit de 2 et 3 qui sont premiers
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 → 12 est le produit de 2 ; 2 et 3 qui sont premiers
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Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Le théorème fondamental de l’arithmétique
Méthode
Soit un n un nombre entier.
On cherche à diviser n par tous les nombres premiers, en les prenant dans
l’ordre croissant. On divise par chaque nombre premier, tant que c’est
possible ; on passe ensuite au nombre premier suivant.
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Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Le théorème fondamental de l’arithmétique
Exemple
Décomposer 9828 en produit de facteurs premiers :
9828 2
9828 se divise par 2 ; le quotient est 4914
4914 2
4914 est encore divisible par 2 ; le quotient est 2457. On
ne peut plus diviser par 2 ; on essaie de diviser par 3 :
2457 3
2457 est divisible par 3 ; quotient : 819
819 3
819 est divisible par 3 ; quotient : 273
273 3
273 est divisible par 3 ; quotient : 91 . On ne peut plus
diviser par 3 ; on essaie 7 :
91 7
91 est divisible par 7 ; quotient : 13
13 13 13 n’est divisible que par 13 ; quotient : 1
STOP !
On obtient la décomposition en multipliant tous les nombres premiers qui
figurent à droite du trait vertical :
9828 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 × 13= 22 × 33 × 7 × 13
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Divisibilité – Division euclidienne
29/52
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Déterminer les diviseurs d’un nombre
On peut utiliser la décomposition précédente pour obtenir tous les
diviseurs d’un nombre
Exemple : 4116 = 22 × 3 × 73
Utilisons un arbre !
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Déterminer les diviseurs d’un nombre
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Déterminer les diviseurs d’un nombre
Conseil : commencer l’arbre par le nombre premier qui a la plus grande
puissance.
La lecture et les calculs sur l’arbre se font de gauche à droite.
On met d’abord les puissances de 7 : 70 , 71 , 72 , 73 puis les puissances de
2 de 0 à 2 puis les puissances de 3 de 0 à 1.
Les diviseurs s’obtiennent en multipliant les nombres obtenus de la racine
de l’arbre jusqu’à la dernière feuille en suivant les branches.
Par exemple pour obtenir 84 on a fait : 71 × 22 × 31 .
Remarque : il y a autant de diviseurs que de branches de l’arbre
soit : 4 × 3 × 2 = 24 diviseurs.
Propriété
Si la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre N s’écrit :
N = p1α1 × p2α2 × p3α3 × . . . × pkαk , le nombre de diviseurs est égal à :
(α1 + 1)(α2 + 1)(α3 + 1) . . . (αk + 1).
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Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
Exercices 10 à 14
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Divisibilité – Division euclidienne
Exemple
La relation divise Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?
Nombres premiers
Crible d’Eratosthène
Théorème fondamental
Déterminer les diviseurs d’un nombre
PGCD
Trouver les diviseurs
Utiliser la calculatrice
Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers
Emploi de l’algorithme d’Euclide
Nombres premiers entre eux
Congruences - entiers modulo n
Compatibilité des congruences avec les opérations
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
PGCD (plus grand commun diviseur)
Définition
Comme son nom l’indique, le PGCD de deux entiers a et b est le plus
grand nombre entier qui divise à la fois a et b.
On le note : PGCD(a, b)
Comment déterminer le PGCD ?
Dans les diapositives suivantes, nous allons donner 4 façons différentes de
déterminer le PGCD en étudiant un exemple :
Prenons par exemple : a = 1636 et b = 1128
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Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
1re méthode : trouver les diviseurs
Méthode
Trouvons les diviseurs de a = 1636 et b = 1128 :
D1636 = {1, 2, 4, 409, 818, 1636}
D1128 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 47, 94, 141, 188, 282, 376, 564, 1128}
Diviseurs communs à a et b : 1 ; 2 ; 4.
Le plus grand de ces diviseurs est 4 donc : PGCD(1636; 1128) = 4.
Long et fastidieux !
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
2e méthode : utiliser la calculatrice
Méthode
La plupart des modèles de calculatrices scientifiques donnent directement
la réponse.
Sur Texas Instruments : MenuMATH → NUM → 9 : gcd
Puis taper gcd(1636, 1128).
Sur Casio : OPTN → NUM → GCD
Puis taper GCD(1636, 1128)
La calculatrice donne directement la réponse : 4.
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Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
3e méthode : utiliser la décomposition en produit de
facteurs premiers
Règle
Le PGCD(a, b) est égal au produit des facteurs premiers communs aux
décompositions de a et de b, chacun d’eux étant affectés du plus petit
exposant avec lequel il figure dans la décomposition de a et b.
Exemple
1636 = 22 × 409
et
Facteur commun : 2
Plus petit exposant : 2
Donc PGCD(1636; 1128) = 22 = 4
37/52
1128 = 23 × 3 × 47
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
3e méthode : utiliser la décomposition en produit de
facteurs premiers
Autre exemple
a = 22 × 35 × 71 × 112
et
Facteurs communs :
Plus petits exposants (respectivement) :
Donc PGCD(a, b) = 21 × 32 × 71 = 126
b = 21 × 32 × 74 × 13
2
1
3
2
7
1
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
4e méthode : emploi de l’algorithme d’Euclide
Théorème
Soient a, b, q, r des entiers relatifs non nuls.
Si a = bq + r alors PGCD(a, b) = PGCD(b, r )
(Théorème admis)
En pratique
• on divise a par b, on trouve un reste r
• on divise ensuite b par r , ce qui donne un reste r 0
• on divise ensuite r par r 0 , ce qui donne un reste r 00
• etc.
À chaque étape :
• le dividende de la division est le diviseur de la division précédente
• le diviseur est le reste de la division précédente
• Le PGCD est alors le dernier reste non nul obtenu
39/52
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
4e méthode : emploi de l’algorithme d’Euclide
Exemple : a = 27634 et b = 6551
Etape
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a
27634
6551
1430
831
599
232
135
97
38
21
17
4
b
6551
1430
831
599
232
135
97
38
21
17
4
1
Reste
1430
831
599
232
135
97
38
21
17
4
1
0
Dernier reste non nul : PGCD(27634; 6551) = 1
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Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Nombres premiers entre eux
Définition
On dit que deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si leur
PGCD est égal à 1
Remarques
Deux nombres premiers sont nécessairement premiers entre eux.
Par contre, deux nombres premiers entre eux, ne sont pas forcément des
nombres premiers.
Exemple
27 634 et 6 551 : on vient de voir précédemment que :
PGCD(27634, 6551) = 1 donc 27 634 et 6 551 sont premiers entre eux.
Mais 27 634 n’est pas premier et 6 551 est premier.
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Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Nombres premiers entre eux
Propriété
Propriété du PGCD
Nous admettrons la propriété suivante : si a, b, k sont des entiers :
PGCD(ka, kb) = k × PGCD(a, b)
Conséquence
Si d = PGCD(a, b) alors il existe deux nombres a0 et b 0 premiers entre
eux tels que :
a = da0
et
b = db 0
En effet : si d est le PGCD(a, b), d est un diviseur de a et de b.
Il existe donc deux nombres a0 et b 0 tels que a = da0 et b = db 0 .
On a alors : d = PGCD(a, b) = PGCD(da0 , db 0 ) = d × PGCD(a0 , b 0 )
(d’après la propriété précédente).
D’où : d = d × PGCD(a0 , b 0 ) donc PGCD(a0 , b 0 ) = 1 et a0 et b 0 sont
premiers entre eux.
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
Exercices 15 à 18
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Divisibilité – Division euclidienne
Exemple
La relation divise Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?
Nombres premiers
Crible d’Eratosthène
Théorème fondamental
Déterminer les diviseurs d’un nombre
PGCD
Trouver les diviseurs
Utiliser la calculatrice
Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers
Emploi de l’algorithme d’Euclide
Nombres premiers entre eux
Congruences - entiers modulo n
Compatibilité des congruences avec les opérations
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Congruences - entiers modulo n
Définition
On dit que deux entiers a et b sont congrus modulo n, si a et b ont le
même reste dans la division par n.
a et b congrus modulo n se note : a ≡ b (mod n) ou bien b ≡ a (mod n)
On rencontre aussi cette notation : a ≡ b [n] ou b ≡ a [n]
Exemple
26 ≡ 15 (mod 11) car le reste de la division euclidienne de 26 et 15 par
11 est le même : 4
On peut aussi écrire 26 ≡ 4 (mod 11) ou 26 ≡ −7 (mod 11)
Il y a une infinité de possibilités. . .
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Congruences - entiers modulo n
Autre exemple
2 et 14 sont congrus modulo 12
Un dernier exemple
Si le 4 du mois est un mardi, le prochain mardi sera le 11, puis le 18, le 25
4, 11, 18 et 25 sont congrus à 4 modulo 7
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Congruences - entiers modulo n
Propriétés
• a ≡ b (mod n) équivaut à dire que a–b est un multiple de n
• Si r est le reste de la division de a par n alors : a ≡ r (mod n)
• n ≡ 0 (mod n)
• a ≡ a (mod n)
• Si a est un multiple de n alors : a ≡ 0 (mod n)
• Transitivité : Si a ≡ b (mod n) et si b ≡ c (mod n) alors :
a ≡ c (mod n)
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Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Compatibilité des congruences avec les opérations
Soient a, b, c et d des entiers relatifs et p un entier positif.
Compatibilité avec l’addition et la soustraction
• Si a ≡ b (mod n) alors a + c ≡ b + c (mod n)
• Si a ≡ b (mod n) alors a − c ≡ b − c (mod n)
Compatibilité avec la multiplication et l’élévation à une
puissance
• Si a ≡ b (mod n) alors ac ≡ bc (mod n)
• Si a ≡ b (mod n) alors ap ≡ b p (mod n)
Autres compatibilités
• Si a ≡ c (mod n) et b ≡ d (mod n) alors a + b ≡ c + d (mod n)
• Si a ≡ c (mod n) et b ≡ d (mod n) alors ab ≡ cd (mod n)
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Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Compatibilité des congruences avec les opérations
Application
Trouver le reste d’une division d’un très grand nombre par un entier
donné.
Par exemple : le reste de la division de 214607 par 3.
,→ Impossible à la calculatrice : 214607 trop grand
Essayons avec de petits exposants :
20 = 1
le reste dans la division par
21 = 2
le reste dans la division par
22 = 4
le reste dans la division par
23 = 8
le reste dans la division par
24 = 16 le reste dans la division par
etc.
3
3
3
3
3
de
de
de
de
de
1 est 1
2 est 2
4 est 1
8 est 2
16 est 1
donc
donc
donc
donc
donc
:
:
:
:
:
20
21
22
23
24
≡ 1 (mod 3)
≡ 2 (mod 3)
≡ 1 (mod 3)
≡ 2 (mod 3)
≡ 1 (mod 3)
Divisibilité – Division euclidienne
Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Compatibilité des congruences avec les opérations
Maintenant raisonnons :
On avait : 22 ≡ 1 (mod 3)
Donc : (22 )n ≡ 1n (mod 3)
Soit : 22n ≡ 1 (mod 3)
D’autre part : 22n × 2 ≡ 1 × 2 (mod 3)
Soit : 22n+1 ≡ 2 (mod 3)
Donc si l’exposant est pair (égal à 2n) alors, le reste de la division
euclidienne de 22n est 1.
Si l’exposant est impair (égal à 2n + 1) alors le reste de la division
euclidienne de 22n+1 est 2.
14 607 est un nombre impair donc 214607 ≡ 2 (mod 3) et le reste de la
division euclidienne de ce nombre par 3 est 2.
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Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
Exercices 19 à 22
PGCD
Congruences - entiers modulo n
Divisibilité – Division euclidienne
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Nombres premiers
Théorème fondamental
PGCD
Application à la cryptographie
Exercice 3 du sujet de BTS SIO de Métropole 2013
Congruences - entiers modulo n