Arithmétique - Partie 2 : Arithmétique modulaire

Divisibilit´e – Division euclidienne Nombres premiers Th´eor`eme fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n
Arithm´etique
Partie 2 : Arithm´etique modulaire
Laurent Debize
Ing´esup
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Divisibilit´e – Division euclidienne Nombres premiers Th´eor`eme fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n
Divisibilit´e – Division euclidienne
Exemple
La relation divise 
Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?
Nombres premiers
Crible d’Eratosth`ene
Th´eor`eme fondamental
D´eterminer les diviseurs d’un nombre
PGCD
Trouver les diviseurs
Utiliser la calculatrice
Utiliser la d´ecomposition en produit de facteurs premiers
Emploi de l’algorithme d’Euclide
Nombres premiers entre eux
Congruences - entiers modulo n
Compatibilit´e des congruences avec les op´erations
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Divisibilit´e – Division euclidienne Nombres premiers Th´eor`eme fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n
Divisibilit´e – Division euclidienne
Comment faisait-on des divisions `a l’´ecole primaire ?
Exemple
43 5
3 8
Dans cette ´ecriture : 43 s’appelle le dividende ; 5 est le diviseur ; 8 est le
quotient et 3 est le reste.
On peut ´etablir sans difficult´e les deux propri´et´es suivantes :
43 = 5 ×8 + 3 et 0 ≤3<5
Soit dividende =diviseur ×quotient +reste et 0 ≤reste <diviseur
Ce type de division s’appelle une division euclidienne.
Le mot euclidienne vient du nom du math´ematicien grec de
l’Antiquit´e : Euclide.
Notez bien que dans ce type de division :
•n’interviennent que des nombres entiers (et jamais de d´ecimaux) ;
•il est indispensable de bien avoir la relation : 0≤reste <diviseur
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Divisibilit´e – Division euclidienne Nombres premiers Th´eor`eme fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n
Euclide
Le mot euclidienne vient du nom du math´ematicien grec de
l’Antiquit´e : Euclide.
Il aurait v´ecu vers 300 avant notre `ere, apr`es Platon, mais avant
Archim`ede et Eratosth`ene.
Il a ´ecrit les El´ements, compos´e de 13 livres, qui abordent la g´eom´etrie
plane et dans l’espace, l’arithm´etique...
Pendant des si`ecles, il a fait partie du cursus universitaire standard.
Une des plus an-
ciens fragments des
´
El´ements.
Codex Vaticanus 190 Premi`ere ´edition im-
prim´ee (1482)
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Divisibilit´e – Division euclidienne
D´efinition
Soient a∈Zet b∈N∗(autrement dit aest un entier quelconque,
positif, n´egatif ou nul ; par contre best un entier positif non nul).
Faire la division euclidienne de apar b, c’est trouver le couple (q,r)
d’entiers relatifs tels que :
a=b×q+r
et : 0 ≤r<b
a b
r q
Dans cette ´ecriture : aest le dividende ;best le diviseur,qle quotient
et rest le reste.
Nous admettrons que ce couple (q,r)existe toujours de mani`ere
unique.
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