Cours

Arithmétique
Les programmes
1. Au collège
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Division euclidienne (cycle 3)
Multiples et diviseurs (dans l’ensemble des entiers naturels seulement ; critères de divisibilité)
Multiples et diviseurs communs :
- méthode de recherche de tous les diviseurs des deux nombres, puis du PGCD
- méthode des soustractions successives
- méthode de l’algorithme d’Euclide
- savoir faire un programme de calcul sur EXCEL permettant de calculer le PGCD par chacune des deux
dernières méthodes. Zenius 3e page 45 (2014).
o Fractions irréductibles
o Nombres premiers entre eux
2. Au lycée (TS spé et TL spé)
Outils et types de problèmes en arithmétique
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Des outils : division euclidienne, congruences, pgcd, nombres premiers
Des problèmes :
- divisibilité (division euclidienne, critère de divisibilité, comparaison des décompositions en facteurs
premiers, congruences , th de Gauss)
- équation à deux inconnues dans ZxZ (recherche de points à coordonnées entières d’une droite du
plan n°2p19, Math’x ; résolution système de congruences : sujet 1 (n°54 p43, Sésamaths)
- équation avec pgcd et ppcm
- cryptographie (système RSA, méthode des empilements, codage affine)
- clef de contrôle (application des congruences)
Connaissances à avoir
Divisibilité :
Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs : définition, propriétés.
Division euclidienne : attention aux ensembles dans lesquels vous prenez les entiers (relatifs ou naturels).
Congruences : définition et propriétés ;
PGCD
PGCD de deux entiers relatifs ; propriétés ;
Algorithme d’Euclide
Entiers premiers entre eux ;
Théorème de Bezout et démonstration
Identité de Bezout
Théorème de Gauss et démonstration
Nombres premiers
Test de primalité
Démonstration de l’infinité des nombres premiers
Décomposition en produit de facteurs premiers
Des exercices
Exercice 1 :
a) Déterminer à l’aide de l’algorithme des soustractions successives le PGCD de 6485 et 8746
b) Même question avec l’algorithme d’Euclide.
Exercice 2 : N° 81 page 43 Zénius 3ième
Exercice 3 : N° 127 Page 49 Zénius 3ième
J’ai moins de 100 pièces.
Si je les regroupe par 2 , il m’en reste une.
Si je les regroupe par 3, il m’en reste 2
Si je les regroupe par 4, il m’en reste 3,
Si je les regroupe par 5, il m’en reste 4.
Combien ai-je de pièces ?
Exercice 4 : Nombres parfaits : Zénius page 49
et Prisme page 59
On appelle nombre parfait, tout entier positif égal
à la somme de ces diviseurs excepté lui-même.
Montrer que 6 ; 28 ; 496 sont des nombres
parfaits.
Voir aussi Symbole TS page 87 ; Déclic page 443
Exercice 5 : nombres amicaux Zénius page 50
Deux nombres entiers a et b sont amicaux si la
somme des diviseurs propres de a est égale à b et
si la somme des diviseurs propres de b est égale à
a.
Montrer que 220 et 284 sont amicaux.
Exercices sur Chiffrements
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Chiffrement de César, le ROT 13, chiffrement de Vigenère, chiffrement affine pages 16 et 17 Math’X
Chiffrement de Vigenère page 41 ; chiffrement affine activité 6 page 13, Activité 4 page 47 et TP page 24-25;
Exercice page 130 ; Symbole
Chiffrement de César et de Vigenère page 476 Déclic
Exercices sur clé de contrôle : Insee ; Code RSA ; Clé du RIB
INSEE Page 39 Math X
INSEE Page 50 N° 130 Zenius 3ième
INSEE Activité 5 page 12 de Symbole
RIB N° 133 Page 34 de Symb ole ou n°2 p94, Math’x
RSA : Activité 6 page 81 ; TP TICE 2 Page 89 ; page 103 Symbole
RIB et INSEE Déclic page 453
RSA : activité 3 page 478 et 13 page 485 Déclic
ASCII : TP TICE 2 Page 59 Symbole
Codes barres et ISBN : Déclic page 440
Code-barres et EAN 13 : Math’X page 15
Test de primalité
Page 88 TP TICE 1 Symbole
Nombres de Fermat ; Mersenne ; Carmichael
Fermat : N° 69 et 70 page 93 et Mersenne Activité 3 page 79 Symbole
Mersenne : N°109 page 469 DECLIC
Fermat : N° 11 page 485 Déclic
Carmichaël : N° 77 à 80 page 500 Déclic