Chapitre 11 : Probabilités (2 semaines) Loi de probabilité et modélisation Notion d’événement et probabilité d’un événement Intersection, réunion et événement contraire P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )−P ( A∩B ) PROBABILITES 1 Modélisation d'une expérience aléatoire 1.1 Définition ➢ Exemple On lance un dé cubique et on note le numéro de la face supérieure. Cette expérience est une expérience aléatoire dont les issues (ou résultats possibles) sont 1 , 2 , 3 , 4 , 5 et 6 . ➢ L'ensemble des issues est Ω= {1; 2 ;3; 4 ;5 ;6 } ➢ Définir un modèle de probabilité pour une expérience aléatoire consiste : • à préciser l'ensemble des issues possibles : Ω= { x 1 ; x 2 ; … ; x n } • à attribuer à chacune des issues x i un nombre p i , positif ou nul, appelé probabilité de x i , de sorte que l'on ait p 1+ p 2+ … + p n=1 1.2 Choix d'un modèle ➢ Il y a deux façons de déterminer les probabilités p i associées aux issues x i 1.2.1 Par l'observation statistique des fréquences ➢ Lorsque l'on répète n fois, de façon indépendantes, une expérience aléatoire, la fréquence f issue a tendance à se stabiliser, lorsque n devient grand, autour d'une valeur p . ➢ On prend alors cette valeur p comme probabilité de l'issue. ➢ Exemple On lance un dé truqué : on réalise une étude statistique (en lançant le dé un grand nombre de fois) puis on choisit une distribution de probabilité en accord avec les fréquences observées des issues. Issue 1 Probabilité 0 ,125 2 3 4 5 0 ,125 0 ,125 0 ,125 0 , 2 6 0,3 1.2.2 Par le choix de l'équiprobabilité ➢ Dans une situation d'équiprobabilité, les n issues de l'expérience aléatoire ont la même probabilité de 1 se produire. La probabilité d'une issue est n ➢ Le choix de ce modèle peut-être influencé par certains indices figurant dans la description de l'expérience : « les dés sont supposés équilibrés », « on tire au hasard », « les boules sont indiscernables au toucher », … . ➢ Exemple Issue Si on lance une pièce « bien équilibrée » : on attribue Probabilité 1 à chaque issue la même probabilité : 2 Pile Face 1 2 1 2 2 Probabilité d'un événement ➢ Exemple On lance un dé cubique et l'on considère l'événement A : « Obtenir au moins 5 ». Les issues favorables à A (qui réalisent A ) sont 5 et 6 ; on note A={5 ;6 } Pour notre dé truqué, on obtient P ( A ) =0 , 2+0 , 3=0, 5 1 1 1 Pour un dé équilibré P ( A ) = + = 6 6 3 ➢ Un événement A est un sous ensemble de Ω . Sa probabilité P ( A ) est la somme des probabilités des issues favorables à A . ➢ On a 0⩽P ( A ) ⩽1 ➢ P ( Ω ) =1 , on dit que Ω est l 'événement certain. ➢ Quand on lance un dé cubique : « obtenir un 7 » n'a pas d'issues favorable, il est impossible, (correspond à l'événement ∅ et P ( ∅ ) =0 ➢ Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est : nombre d'issues favorables à A P ( A )= nombre d'issues possibles 3 Opérations sur les événements ➢ Soit A et B deux événements. • A , est l’ensemble des issues qui ne réalisent pas A , il est appelé événement contraire de A . ➢ Exemple On lance un dé cubique. Soit A l'événement : « obtenir au moins 5 » On a A qui est l'événement : « ne pas obtenir au moins 5 » qui peut être dit « obtenir au plus 4 » A={5 ;6 } et A={1 ;2 ;3 ; 4 } • A∩B est l'ensemble des issues qui réalisent A ET B (les deux à la fois) : A∩B correspond à la partie hachurée deux fois. • A∪B est l'ensemble des issues qui réalisent A OU B (au moins l'une des deux) : A∪B correspond à toute la partie hachurée. ➢ Exemple On lance un dé cubique Soit A l'événement : « obtenir au moins 5 » et B l'événement : « obtenir un nombre pair ». On a A∩B qui est l'événement : « obtenir un nombre pair et au moins 5 », c'est à dire A∩B= {6 } On a A∪B qui est l'événement : « obtenir au moins 5 ou un nombre pair », c'est à dire A∪B= {2 ; 4 ;5; 6 } ➢ Soit A et B deux événements : • P ( A ) =1−P ( A ) • P ( A∪B )=P ( A ) + P ( B ) −P ( A∩B ) ➢ Si A et B ne peuvent pas être réalisés en même temps, alors A et B sont dits incompatibles. On a lors • A∩B=∅ et donc P ( A∩B )=0 • P ( A∪B )=P ( A ) + P ( B )