1 Modélisation d`une expérience aléatoire

Chapitre 11 : Probabilités (2 semaines)
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Loi de probabilité et modélisation
Notion d’événement et probabilité d’un événement
Intersection, réunion et événement contraire
P ( A∪B )=P ( A )+P ( B )−P ( A∩B )
PROBABILITES
1 Modélisation d'une expérience aléatoire
1.1
Définition
➢ Exemple
On lance un dé cubique et on note le numéro de la face supérieure.
Cette expérience est une expérience aléatoire dont les issues (ou résultats possibles)
sont 1 , 2 , 3 , 4 , 5 et 6 .
➢ L'ensemble des issues est Ω= {1; 2 ;3; 4 ;5 ;6 }
➢ Définir un modèle de probabilité pour une expérience aléatoire consiste :
• à préciser l'ensemble des issues possibles : Ω= { x 1 ; x 2 ; … ; x n }
• à attribuer à chacune des issues x i un nombre p i , positif ou nul, appelé probabilité de x i , de
sorte que l'on ait p 1+ p 2+ … + p n=1
1.2
Choix d'un modèle
➢ Il y a deux façons de déterminer les probabilités p i associées aux issues x i
1.2.1 Par l'observation statistique des fréquences
➢ Lorsque l'on répète n fois, de façon indépendantes, une expérience aléatoire, la fréquence f issue a
tendance à se stabiliser, lorsque n devient grand, autour d'une valeur p .
➢ On prend alors cette valeur p comme probabilité de l'issue.
➢ Exemple
On lance un dé truqué : on réalise une
étude statistique (en lançant le dé un
grand nombre de fois) puis on choisit
une distribution de probabilité en
accord avec les fréquences observées
des issues.
Issue
1
Probabilité 0 ,125
2
3
4
5
0 ,125 0 ,125 0 ,125 0 , 2
6
0,3
1.2.2 Par le choix de l'équiprobabilité
➢ Dans une situation d'équiprobabilité, les n issues de l'expérience aléatoire ont la même probabilité de
1
se produire. La probabilité d'une issue est
n
➢ Le choix de ce modèle peut-être influencé par certains indices figurant dans la description de
l'expérience : « les dés sont supposés équilibrés », « on tire au hasard », « les boules sont indiscernables
au toucher », … .
➢ Exemple
Issue
Si on lance une pièce « bien équilibrée » : on attribue
Probabilité
1
à chaque issue la même probabilité :
2
Pile
Face
1
2
1
2
2 Probabilité d'un événement
➢ Exemple
On lance un dé cubique et l'on considère l'événement A : « Obtenir au moins 5 ».
Les issues favorables à A (qui réalisent A ) sont 5 et 6 ; on note A={5 ;6 }
Pour notre dé truqué, on obtient P ( A ) =0 , 2+0 , 3=0, 5
1 1 1
Pour un dé équilibré P ( A ) = + =
6 6 3
➢ Un événement A est un sous ensemble de Ω .
Sa probabilité P ( A ) est la somme des probabilités des issues favorables à A .
➢ On a 0⩽P ( A ) ⩽1
➢ P ( Ω ) =1 , on dit que Ω est l 'événement certain.
➢ Quand on lance un dé cubique : « obtenir un 7 » n'a pas d'issues favorable, il est impossible,
(correspond à l'événement ∅ et P ( ∅ ) =0
➢ Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est :
nombre d'issues favorables à A
P ( A )=
nombre d'issues possibles
3 Opérations sur les événements
➢ Soit A et B deux événements.
• A , est l’ensemble des issues qui ne réalisent pas A , il est appelé
événement contraire de A .
➢ Exemple
On lance un dé cubique.
Soit A l'événement : « obtenir au moins 5 »
On a A qui est l'événement : « ne pas obtenir au moins 5 »
qui peut être dit « obtenir au plus 4 »
A={5 ;6 } et A={1 ;2 ;3 ; 4 }
• A∩B est l'ensemble des issues qui réalisent A ET B (les deux à la
fois) : A∩B correspond à la partie hachurée deux fois.
• A∪B est l'ensemble des issues qui réalisent A OU B (au moins
l'une des deux) : A∪B correspond à toute la partie hachurée.
➢ Exemple
On lance un dé cubique
Soit A l'événement : « obtenir au moins 5 » et B l'événement : « obtenir un nombre pair ».
On a A∩B qui est l'événement : « obtenir un nombre pair et au moins 5 »,
c'est à dire A∩B= {6 }
On a A∪B qui est l'événement : « obtenir au moins 5 ou un nombre pair »,
c'est à dire A∪B= {2 ; 4 ;5; 6 }
➢ Soit A et B deux événements :
• P ( A ) =1−P ( A )
• P ( A∪B )=P ( A ) + P ( B ) −P ( A∩B )
➢ Si A et B ne peuvent pas être réalisés en même temps, alors A et B sont dits incompatibles.
On a lors
• A∩B=∅ et donc P ( A∩B )=0
• P ( A∪B )=P ( A ) + P ( B )