Principe d`inertie, quantité de mouvement

Principe d'inertie, quantité de mouvement
I) Étude cinématique
La cinématique est l'étude du mouvement
indépendamment des causes qui le provoquent. En reliant
vitesse et durée de chute, Galilée, au XVIIe siècle, fut le
premier scientifique à considérer le temps comme une
grandeur qui intervient dans la description du mouvement
des corps. La question d'une mesure précise du temps
devient alors incontournable. Cette mesure qui, depuis
Huygens, s'appuie sur des horloges à oscillateurs est
devenue au cours des siècles de plus en plus précise
entraînant une évolution de la définition de la seconde.
C'est également Galilée qui a établi que la description du
mouvement des corps dépend de la référence choisie pour
l'étudier.
Fondateur de ta physique moderne, Galilée (1564 -1642), physicien
et astronome italien, est célèbre pour ses travaux en mécanique et
en astronomie.
Utilisant une démarche expérimentale, il étudia la chute des corps
mais aussi les oscillations du pendule (solide suspendu à un fil),
phénomène périodique qui sera utilisé dans les horloges
mécaniques.
1) Référentiel et repère
Le référentiel est le solide de référence par rapport auquel on étudie
le mouvement d'un point.
À un référentiel sont associés:
 un repère d'espace qui donne la position du point (ci-contre)
 un repère de temps qui permet d'associer une date à chaque
position. L'origine des dates est fixée arbitrairement et un
dispositif appelé horloge mesure la durée entre deux dates.
Dans le repère d'espace 
 la position du point mobile
A à la date t est repérée par ses trois coordonnées x(t), y(t), et z(t).
2) Vecteur position
La position d'un point A à la date t est donnée par le vecteur position  (ci-dessus).
Dans le repère  , 
Les notations x(t), y(t) et z(t) précisent que les coordonnées d'un point en mouvement sont des fonctions du
temps.
L'ensemble des positions occupées successivement par le point A au cours du temps constitue la trajectoire de ce
point. La trajectoire dépend du référentiel d'étude.
3) Vecteur vitesse
La vitesse moyenne d'un point A entre deux dates t1, et t2, est égale au quotient de la longueur parcourue par la
durée du trajet: 
Le vecteur vitesse donne la direction, le sens et la
valeur de la vitesse à un instant de date donnée.
Pour définir le vecteur vitesse 
 à la date t0,
supposons que la position (notée A(t)) du point A est
connue à la date t voisine de t0.
Alors, le vecteur 
 est d'autant plus proche de
 que l'intervalle de temps t – t0 est petit.
Ceci nous conduit à la notion de dérivée et on écrira
Le vecteur vitesse est porté par la tangente à la
trajectoire au point considéré et orienté dans le sens du
mouvement.
La vitesse s'exprime en m.s-1.

Les coordonnées cartésiennes vx, vy et vz du vecteur vitesse sont les dérivées par rapport au temps des
coordonnées du vecteur position: vx = dx/dt; vy = dy/dt et vz = dz/dt.
Dans un repère orthonormé  , le vecteur vitesse  pour norme
.
4) Le vecteur accélération
Une variation du vecteur vitesse (en valeur et/ou direction) entraîne l'existence d'un vecteur accélération.
Pour un point G(t) marquant la position d'un point mobile G à un instant t, le vecteur accélération 
 est défini
par :
Le vecteur accélération d'un point mobile à un instant f est caractérisé par :
 Son sens et sa direction, qui sont identiques à ceux du vecteur variation de vitesse 
 Sa valeur  
 qui s’exprime en m.s-2.
Comme le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, le vecteur accélération est la
dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.
Dans un repère orthonormé 
.
5) Mouvement rectiligne uniforme
Un mouvement est rectiligne uniforme si le vecteur vitesse est constant:  : Le vecteur vitesse  garde
même direction, même sens et sa valeur est constante.
Exemple:
Dans un repère  , les coordonnées du vecteur position d'un point A sont:
x(t) = 2,0 t et y(t) = - 4,0 t + 1,0 (x et y en mètre, t en seconde). Les coordonnées du vecteur vitesse sont alors :
vx = dx/dt = 2,0 m.s-1 et vy = dy/.dt = -4,0 m.s-1.
Le vecteur vitesse est un vecteur constant car ses coordonnées sont constantes: le mouvement du point Aest
rectiligne uniforme.
La valeur de la vitesse est donnée par 
 = 4,5 m.s-1.
Remarque: Le mouvement peut être uniforme sans être rectiligne: dans ce cas seule la valeur de la vitesse est
constante.
 3 ; 4 ; 5 p 97
II) Principe d'inertie
A la différence de la cinématique, la dynamique étudie le lien entre le mouvement et les actions mécaniques,
causes du mouvement. Le principe d'inertie constitue l'une des lois de la dynamique.
1) Système et milieu extérieur
 On appelle point matériel de masse m un objet dont la taille est suffisamment petite pour qu'il puisse être
modélisé par un point.
 On appelle système le point matériel ou l'ensemble de points matériels que l'on étudie. Tout ce qui
n'appartient pas au système constitue le milieu extérieur.

2) Actions mécaniques et forces
Pour faire l'inventaire des interactions entre le
système choisi et le milieu extérieur, on peut utiliser
le diagramme objets-interactions ou DOI (figure b
ci-contre appliqué au mobile autoporteur représenté
en fig a). Chaque action mécanique est ensuite
modélisée par une force. Cette force est dite
extérieure puisqu'elle est exercée par le milieu
extérieur sur le système.
Exemple: Le système étudié est un mobile
autoporteur posé sur une table horizontale ; il est en
interaction avec la Terre, avec le coussin d'air et avec
l'air ambiant.
a) Schéma d'un mobile autoporteur.
b) Diagramme objets-interactions.
 L'action exercée par la Terre est modélisée par le poids 
.
 L'action exercée par le coussin d'air est modélisée par la force 
,
perpendiculaire au support en l'absence de frottement.
 La force exercée par l'air ambiant est négligeable devant les autres forces.
On représente les forces appliquées en un même point A.
Représenter les forces extérieures s'exerçant sur le palet dans le cadre ci-contre:
3) Principe d'inertie ou première loi de Newton
Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si et seulement si les forces qui
s'exercent sur lui se compensent (Isaac Newton: 1686).
L'énoncé complet du principe d'inertie ou première loi de Newton, prend
en compte les deux points suivants:
 Le principe d'inertie n'est valable que dans certains référentiels que
l'on appelle galiléens.
 Le principe d'inertie ne s'applique qu'au mouvement d'un point
remarquable du système étudié, appelé centre d'inertie et noté G.
Le mobile autoporteur lancé sur une table horizontale est soumis à des forces qui se
compensent: seul son centre d'inertie est toujours en mouvement rectiligne uniforme.
Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse du centre d'inertie G d'un système est un vecteur constant
( ), alors la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur le système est nulle:  et
réciproquement. Un tel système est dit isolé.
Remarque. En toute rigueur, un système isolé est un système qui n'est soumis à aucune action mécanique.
Mais comme l'interaction gravitationnelle est pratiquement toujours présente, on parle de système pseudo-isolé
lorsque la condition  est vérifiée.

Référentiels qaliléens
Le centre d'inertie d 'un système isolé est donc soit au repos, soit en mouvement
rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen. Si ce n'est pas vérifié, alors le
référentiel choisi n'est pas galiléen.
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié.
 Le référentiel héliocentrique défini par le centre du Soleil et des étoiles
lointaines considérées comme fixes peut être considéré comme galiléen
ainsi que tous les référentiels animés d'un mouvement de translation
rectiligne uniforme par rapport à lui.
 Le référentiel géocentrique défini par le centre de la Terre et des étoiles
lointaines considérées comme fixes n'est pas galiléen; il peut cependant être
considéré galiléen si la durée de l'étude permet de ne pas tenir compte du
mouvement de révolution de la Terre autour du Soleil.
 Le référentiel terrestre constitué par la Terre ou tout objet fixe par rapport à
la Terre n'est pas galiléen. On peut le considérer comme tel pour des
mouvements de courte durée: c'est par exemple le cas du mouvement de
chute d'un parachutiste (document ci-contre).
Parachute ouvert, le parachutiste
descend à vitesse constante.
Si sa chute est rectiligne, le poids et
le frottement de l'air se compensent.
Le système {parachute-
parachutiste} est isolé.
 11 ; 12 p 98 – 99
III) Quantité de mouvement
Lorsque le passager d'une barque saute hors de la barque, celle-ci
s'éloigne, alors que s'il descend de la même façon d'une péniche,
beaucoup plus massive, la péniche reste immobile. Pour interpréter les
mouvements du passager et de l'embarcation, on introduit une nouvelle
grandeur nommée quantité de mouvement du système. Cette grandeur
permet de tenir compte de l'effet de la masse dans la mise en mouvement
d'un corps, et d'étudier des systèmes constitués de plusieurs corps.
1) Vecteur quantité de mouvement
Le vecteur quantité de mouvement  d'un point matériel de masse m animé de la vitesse  est défini ainsi:
A

Le vecteur quantité de mouvement d'un système constitué de n points
matériels est égal à la somme des vecteurs quantité de mouvement de
chaque point matériel, à un même instant:
On démontre que le vecteur quantité de mouvement d'un système de
masse constante M est égal au produit de sa masse par le vecteur vitesse
de son centre d'inertie: 
Les quantités de mouvement de la fusée Ariane et des gaz éjectés sont opposées:
La fusée est propulsée dans le sens contraire de celui de la vitesse des gaz.
2) Loi de conservation de la quantité de mouvement
La loi de conservation de la quantité de mouvement est une loi fondamentale de
la mécanique qui permet d'étudier le cas d'un système isolé constitué de
plusieurs corps, qu'il soit déformable ou pas.
Dans un référentiel galiléen, le vecteur quantité de mouvement d'un système
isolé est un vecteur constant:
Remarque : Cette loi de conservation contient le principe d'inertie puisque, si
la masse M du système isolé est constante, la relation
entraîne 
.
Conservation de la quantité de mouvement lors de la propulsion par réaction d'une barque.
3) Application : propulsion par réaction
Cette loi permet d'étudier les collisions et les phénomènes de recul ou de propulsion lors de l'explosion (ou
éclatement) de systèmes.
Lorsque l'on saute d'une barque immobile pour rejoindre la berge, la barque s'éloigne du bord : expliquons ce
phénomène à l'aide de la loi de conservation de la quantité de mouvement.
Dans le référentiel terrestre, considéré galiléen pendant la durée de l'expérience, le système {personne (notée A) ;
barque (notée B)} supposé immobile avant le saut, est isolé. La quantité de mouvement  de ce système est donc
nulle puisqu'il est immobile.
Juste après le saut, on note  la quantité de mouvement de la personne,  celle de la barque et  celle du
système complet. D'après la loi de conservation de la quantité de mouvement:  =  et ainsi  =  . Après le
saut, les vecteurs quantité de mouvement de A et de B sont opposés, donc les vitesses de A et de B sont de sens
opposés: la barque s'éloigne de la berge au moment du saut.
On dit qu'il y a propulsion par réaction.
Remarque : A quantité de mouvement identique communiquée à la barque ou à une péniche, l'influence de leur
masse dans l'expression  explique la différence des reculs observés (important pour la barque,
insignifiant pour la péniche).
 19 ; 20 p 101