Principe d'inertie, quantité de mouvement I) Étude cinématique La cinématique est l'étude du mouvement indépendamment des causes qui le provoquent. En reliant vitesse et durée de chute, Galilée, au XVIIe siècle, fut le premier scientifique à considérer le temps comme une grandeur qui intervient dans la description du mouvement des corps. La question d'une mesure précise du temps devient alors incontournable. Cette mesure qui, depuis Huygens, s'appuie sur des horloges à oscillateurs est devenue au cours des siècles de plus en plus précise entraînant une évolution de la définition de la seconde. C'est également Galilée qui a établi que la description du mouvement des corps dépend de la référence choisie pour l'étudier. Fondateur de ta physique moderne, Galilée (1564 -1642), physicien et astronome italien, est célèbre pour ses travaux en mécanique et en astronomie. Utilisant une démarche expérimentale, il étudia la chute des corps mais aussi les oscillations du pendule (solide suspendu à un fil), phénomène périodique qui sera utilisé dans les horloges mécaniques. 1) Référentiel et repère Le référentiel est le solide de référence par rapport auquel on étudie le mouvement d'un point. À un référentiel sont associés: un repère d'espace qui donne la position du point (ci-contre) un repère de temps qui permet d'associer une date à chaque position. L'origine des dates est fixée arbitrairement et un dispositif appelé horloge mesure la durée entre deux dates. Dans le repère d'espace la position du point mobile A à la date t est repérée par ses trois coordonnées x(t), y(t), et z(t). 2) Vecteur position La position d'un point A à la date t est donnée par le vecteur position (ci-dessus). Dans le repère , Les notations x(t), y(t) et z(t) précisent que les coordonnées d'un point en mouvement sont des fonctions du temps. L'ensemble des positions occupées successivement par le point A au cours du temps constitue la trajectoire de ce point. La trajectoire dépend du référentiel d'étude. 3) Vecteur vitesse La vitesse moyenne d'un point A entre deux dates t1, et t2, est égale au quotient de la longueur parcourue par la durée du trajet: Le vecteur vitesse donne la direction, le sens et la valeur de la vitesse à un instant de date donnée. Pour définir le vecteur vitesse à la date t0, supposons que la position (notée A(t)) du point A est connue à la date t voisine de t0. Alors, le vecteur est d'autant plus proche de que l'intervalle de temps t – t0 est petit. Ceci nous conduit à la notion de dérivée et on écrira Le vecteur vitesse est porté par la tangente à la trajectoire au point considéré et orienté dans le sens du mouvement. La vitesse s'exprime en m.s-1. Les coordonnées cartésiennes vx, vy et vz du vecteur vitesse sont les dérivées par rapport au temps des coordonnées du vecteur position: vx = dx/dt; vy = dy/dt et vz = dz/dt. Dans un repère orthonormé , le vecteur vitesse pour norme . 4) Le vecteur accélération Une variation du vecteur vitesse (en valeur et/ou direction) entraîne l'existence d'un vecteur accélération. Pour un point G(t) marquant la position d'un point mobile G à un instant t, le vecteur accélération est défini par : – Le vecteur accélération d'un point mobile à un instant f est caractérisé par : Son sens et sa direction, qui sont identiques à ceux du vecteur variation de vitesse Sa valeur qui s’exprime en m.s-2. Comme le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps. Dans un repère orthonormé . 5) Mouvement rectiligne uniforme Un mouvement est rectiligne uniforme si le vecteur vitesse est constant: même direction, même sens et sa valeur est constante. : Le vecteur vitesse garde Exemple: Dans un repère , les coordonnées du vecteur position d'un point A sont: x(t) = 2,0 t et y(t) = - 4,0 t + 1,0 (x et y en mètre, t en seconde). Les coordonnées du vecteur vitesse sont alors : vx = dx/dt = 2,0 m.s-1 et vy = dy/.dt = -4,0 m.s-1. Le vecteur vitesse est un vecteur constant car ses coordonnées sont constantes: le mouvement du point Aest rectiligne uniforme. La valeur de la vitesse est donnée par = 4,5 m.s-1. Remarque: Le mouvement peut être uniforme sans être rectiligne: dans ce cas seule la valeur de la vitesse est constante. 3 ; 4 ; 5 p 97 II) Principe d'inertie A la différence de la cinématique, la dynamique étudie le lien entre le mouvement et les actions mécaniques, causes du mouvement. Le principe d'inertie constitue l'une des lois de la dynamique. 1) Système et milieu extérieur On appelle point matériel de masse m un objet dont la taille est suffisamment petite pour qu'il puisse être modélisé par un point. On appelle système le point matériel ou l'ensemble de points matériels que l'on étudie. Tout ce qui n'appartient pas au système constitue le milieu extérieur. 2) Actions mécaniques et forces Pour faire l'inventaire des interactions entre le système choisi et le milieu extérieur, on peut utiliser le diagramme objets-interactions ou DOI (figure b ci-contre appliqué au mobile autoporteur représenté en fig a). Chaque action mécanique est ensuite modélisée par une force. Cette force est dite extérieure puisqu'elle est exercée par le milieu extérieur sur le système. Exemple: Le système étudié est un mobile autoporteur posé sur une table horizontale ; il est en a) Schéma d'un mobile autoporteur. interaction avec la Terre, avec le coussin d'air et avec b) Diagramme objets-interactions. l'air ambiant. L'action exercée par la Terre est modélisée par le poids . L'action exercée par le coussin d'air est modélisée par la force , perpendiculaire au support en l'absence de frottement. La force exercée par l'air ambiant est négligeable devant les autres forces. On représente les forces appliquées en un même point A. Représenter les forces extérieures s'exerçant sur le palet dans le cadre ci-contre: 3) Principe d'inertie ou première loi de Newton Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si et seulement si les forces qui s'exercent sur lui se compensent (Isaac Newton: 1686). L'énoncé complet du principe d'inertie ou première loi de Newton, prend en compte les deux points suivants: Le principe d'inertie n'est valable que dans certains référentiels que l'on appelle galiléens. Le principe d'inertie ne s'applique qu'au mouvement d'un point remarquable du système étudié, appelé centre d'inertie et noté G. Le mobile autoporteur lancé sur une table horizontale est soumis à des forces qui se compensent: seul son centre d'inertie est toujours en mouvement rectiligne uniforme. Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse du centre d'inertie G d'un système est un vecteur constant ( ), alors la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur le système est nulle: et réciproquement. Un tel système est dit isolé. Remarque. En toute rigueur, un système isolé est un système qui n'est soumis à aucune action mécanique. Mais comme l'interaction gravitationnelle est pratiquement toujours présente, on parle de système pseudo-isolé lorsque la condition est vérifiée. Référentiels qaliléens Le centre d'inertie d 'un système isolé est donc soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen. Si ce n'est pas vérifié, alors le référentiel choisi n'est pas galiléen. Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié. Le référentiel héliocentrique défini par le centre du Soleil et des étoiles lointaines considérées comme fixes peut être considéré comme galiléen ainsi que tous les référentiels animés d'un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à lui. Le référentiel géocentrique défini par le centre de la Terre et des étoiles lointaines considérées comme fixes n'est pas galiléen; il peut cependant être considéré galiléen si la durée de l'étude permet de ne pas tenir compte du mouvement de révolution de la Terre autour du Soleil. Le référentiel terrestre constitué par la Terre ou tout objet fixe par rapport à la Terre n'est pas galiléen. On peut le considérer comme tel pour des mouvements de courte durée: c'est par exemple le cas du mouvement de chute d'un parachutiste (document ci-contre). Parachute ouvert, le parachutiste descend à vitesse constante. Si sa chute est rectiligne, le poids et le frottement de l'air se compensent. Le système {parachuteparachutiste} est isolé. 11 ; 12 p 98 – 99 III) Quantité de mouvement Lorsque le passager d'une barque saute hors de la barque, celle-ci s'éloigne, alors que s'il descend de la même façon d'une péniche, beaucoup plus massive, la péniche reste immobile. Pour interpréter les mouvements du passager et de l'embarcation, on introduit une nouvelle grandeur nommée quantité de mouvement du système. Cette grandeur permet de tenir compte de l'effet de la masse dans la mise en mouvement d'un corps, et d'étudier des systèmes constitués de plusieurs corps. 1) Vecteur quantité de mouvement Le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel de masse m animé de la vitesse A est défini ainsi: Le vecteur quantité de mouvement d'un système constitué de n points matériels est égal à la somme des vecteurs quantité de mouvement de chaque point matériel, à un même instant: On démontre que le vecteur quantité de mouvement d'un système de masse constante M est égal au produit de sa masse par le vecteur vitesse de son centre d'inertie: Les quantités de mouvement de la fusée Ariane et des gaz éjectés sont opposées: La fusée est propulsée dans le sens contraire de celui de la vitesse des gaz. 2) Loi de conservation de la quantité de mouvement La loi de conservation de la quantité de mouvement est une loi fondamentale de la mécanique qui permet d'étudier le cas d'un système isolé constitué de plusieurs corps, qu'il soit déformable ou pas. Dans un référentiel galiléen, le vecteur quantité de mouvement d'un système isolé est un vecteur constant: Remarque : Cette loi de conservation contient le principe d'inertie puisque, si la masse M du système isolé est constante, la relation entraîne . Conservation de la quantité de mouvement lors de la propulsion par réaction d'une barque. 3) Application : propulsion par réaction Cette loi permet d'étudier les collisions et les phénomènes de recul ou de propulsion lors de l'explosion (ou éclatement) de systèmes. Lorsque l'on saute d'une barque immobile pour rejoindre la berge, la barque s'éloigne du bord : expliquons ce phénomène à l'aide de la loi de conservation de la quantité de mouvement. Dans le référentiel terrestre, considéré galiléen pendant la durée de l'expérience, le système {personne (notée A) ; barque (notée B)} supposé immobile avant le saut, est isolé. La quantité de mouvement de ce système est donc nulle puisqu'il est immobile. Juste après le saut, on note la quantité de mouvement de la personne, celle de la barque et celle du système complet. D'après la loi de conservation de la quantité de mouvement: = et ainsi = . Après le saut, les vecteurs quantité de mouvement de A et de B sont opposés, donc les vitesses de A et de B sont de sens opposés: la barque s'éloigne de la berge au moment du saut. On dit qu'il y a propulsion par réaction. Remarque : A quantité de mouvement identique communiquée à la barque ou à une péniche, l'influence de leur masse dans l'expression explique la différence des reculs observés (important pour la barque, insignifiant pour la péniche). 19 ; 20 p 101