Quotient symplectique et GIT

Exposé 1
1 Groupes réductifs
Soit Gun groupe algébrique linéaire sur (i.e. pour un certain n >
0, un sous-groupe de GLn()défini par des équations polynomiales en les
coordonnées (gi,j )1≤i,j≤n).
On dit que Gest réductif si Gne contient pas de sous-groupe distingué,
fermé pour la topologie de Zariski isomorphe à a(le groupe additif (,+)).
Exemples : (∗)net les groupes classiques GLn(),Sp2n( ),SOn( ),SLn( )
et plus génralement tout sous-groupe fermé (au sens de Zariski) de GLn()
qui agit irréductiblement sur n.
Voici deux autres caractérisations des groupes réductifs sur :
Théorème 1.1 ([Br-Mon, §2.2]) Pour un groupe algébrique linéaire sur
, sont équivalentes :
Gréductif ;
⇔Gcontient un sous-groupe compact (pour la topologie usuelle) dense
pour la topologie de Zariski ;
⇔Gest le complexifié d’un groupe de Lie compact ( i.e. il existe un sous-
groupe compact de Gtel que ⊗Lie(K)≃Lie(G);
⇔toute représentation rationnelle de Gest semi-simple.
Rappel : Une représentation rationnelle Vde Gest un −espace vectoriel
Vmuni d’une action linaire du groupe Gtelle que G→GL(V)soit un
morphisme de groupes algébriques. Une telle représentation est semi-simple
si V=⊕iVioù les Visont des sous-représentations de Virréductibles (i.e.
sans autre sous-espaces G−stables que 0et Vi).
Conséquence : Opérateur de Reynolds :
Proposition 1.2 Pour toute représentation rationnelle Vde Gil existe une
unique projection G−équivariante :
p:V→VG
sur les vecteurs G−invariants de V.
C’est la projection de Reynolds que l’on notera pV.
Démonstration : Démontrons l’unicité. Soient p, p′:V→VGdeux pro-
jections G−équivariantes. Soit ker p=LiViune décomposition de ker pen
somme directe de sous-G−modules irréductibles. Pour tout i,Vi∩VG= 0.
Fixons i. Soit 06=v∈Vi. Il existe g∈Gtel que g.vi6=vi. Donc :
06=g.vi−vi∈Vi∩ker p′.
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Comme Viest irréductible, forcément ker p′∩Vi=Vi. D’où Vi⊆ker p′
pour tout i. Donc ker p⊆ker p′. De même, ker p′⊆ker p. Donc ker p= ker p′
et p′=p.
Q.e.d.
Remarque : En raison de l’unicité, si W⊆Vsont deux représentations
rationnelles de G, on a : pW=pV|W.
Corollaire 1.2.1 Soit Xune variété algébrique affine sur munie d’une
action algébrique d’un groupe réductif G. ALors si Z1et Z2sont des sous-
variétés fermes de X, disjointes et G−stables, il existe f∈[X]Gune fonc-
tion G−invariante régulière sur Xtelle que :
f|Z1= 0 et f|Z2= 1 .
Démonstration : Soient IZ1, IZ2les idéaux d’annulation de Z1et Z2dans
[X]. On a IZ1+IZ2= (1). Donc il existe f1, f2respectivement dans IZ1et
IZ2tels que f1+f2= 1. Il suffit de poser f:= p(f1)où pest la projection
de Reynolds de [X]sur [X]G.Q.e.d.
2 Points (semi-)stables
Soit Gun sous-groupe réductif fermé et connexe de GLn+1(). Soit X
une sous-variété irréductible fermée (i.e. définie par des équations polyno-
miales) de n()stable sous G.
En général, Ga des orbites qui ne sont pas fermées dans Xet donc
il est impossible de munir l’ensemble des orbites de Xd’une structure de
variété algébrique de sorte que l’application x7→ G.x soit un morphisme de
variétés algébriques. Au lieu de cela, on va définir un ouvert G−stable de X
et une relation d’équivalence sur cet ouvert (très proche de la relation « être
sur la même orbite » ) de sorte que le quotient soit une variété projective
(éventuellement singulière) et que la surjection canonique sur ce quotient
soit un morphisme de variétés.
Définition 1 Soit x∈X. On dit que xest ...
–instable s’il existe un polynôme homogène F∈[T0, ..., Tn],G−invariant,
tel que F(x) = 0 ;
–semi-stable s’il existe un polynôme homogène F∈[T0, ..., Tn],G−invariant,
tel que F(x)6= 0 ;
On notera Xss l’ensemble des points semi-stables.
–polystable s’il existe un polynôme homogène F∈[T0, ..., Tn],G−invariant,
tel que F(x)6= 0 et tel que l’orbite G.x est fermée dans l’ouvert affine
XF:= {y∈X:F(y)6= 0};
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–stable si xest polystable et si le sous-groupe d’isotropie Gxest fini ;
On notera Xsl’ensemble des points stables.
Exemple : X=2(),G=
s0 0
0 1 0
0 0 s−1
:s∈∗
. Dans ce cas,
voici les polynômes invariants :
[T0, T1, T2]G=M
d0,d1≥0
Td0
0Td1 1Td0 2
et les points in/semi/poly/stables :
Xins ={[1 : 0 : 0],[0 : 0 : 1]}
Xss =2\ {[1 : 0 : 0],[0 : 0 : 1]}
Xps = (z0z26= 0) ∪ {[0 : 1 : 0]}
Xs= (z0z26= 0) .
En particulier, l’ensemble des points polystables n’est pas toujours ou-
vert. En revanche :
Proposition 2.1 Les parties Xset Xss sont ouvertes et G−stables dans X.
Démonstration : Démontrons que Xsest ouvert. Rappelons pour cela un
résultat sur les fibres des morphismes :
Lemme 2.2 (cf. [Danilov, §4.4, th.]) Soit f:X→Yun morphisme do-
minant entre variétés algébriques irréductibles.
Pour tout x∈X,dimxf−1f(x)≥dim X−dim Yet il existe un ouvert
Ude Ytel que pour tout y∈Y,dim f−1(y) = dim X−dim Y.
Posons γ:G×X→X×X, (g, x)7→ (x, g.x)et ∆Xla diagonale de
X×X. Soit xun point stable. Soit Cest une composante irréductible de
γ−1∆Xcontenant (1, x). On applique le lemme ci-dessus à pX:C→X,
(g, x)7→ xet on en déduit qu’il existe un ouvert Ude Xtel que pour tout
y∈U,dim Gy= 0. Soit Fun polynôme homogène invariant tel que F(x)6= 0
et G.x est fermé dans l’ouvert affine XF. Notons Z:= {z∈XF: dim Gz>
0}. D’après ce qui précède, Zest un fermé G−stable de XF, disjoint de
l’orbite fermé G.x. Puisque Gest réductif, il existe une fonction frégulière
et G−invariante sur XFtelle que :
f|G.x = 1, f|Z= 0 .
Il existe alors un polynôme homogène et G−invariant Rtel que f=R
Fα
pour un entier α. Pour tout y∈XRF ,dim Gy= 0. En particulier toutes les
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orbites de Gdans XRF ont la même dimension : dim Get sont donc fermées.
L’ouvert XRF contient xet est contenu dans Xs. On a ainsi montré que Xs
est ouvert.
Q.e.d.
3 Définition du quotient en théorie géométrique des
invariants
Proposition 3.1 Soit [X]l’anneau des fonctions régulières sur le cône
au-dessus de X(i.e. l’anneau [T0, ..., Tn]/IXoù IXest l’idéal engendré par
les polynômes homogènes nuls sur X).
Alors l’anneau des invariants [X]Gest une −algèbre de type fini.
Démonstration : Il suffit de vérifier que l’idéal [X]G
+engendré par les po-
lynômes invariants homogènes de degré >0est de type fini. C’est le cas car
il est engendré par les p(fi)où pest l’opérateur de Reynolds [X]→[X]G
et (fi)in’importe quel système de générateurs de [X]+.Q.e.d.
On peut alors définir X//G := Proj [X]G(pour la graduation induite
par celle de [X]).
Digression-Rappel sur les Proj
Soit Aune −algèbre graduée (en fait on peut remplacer par un corps
algébriquement clos arbitraire) i.e. :
A=⊕d≥0Ad, A0=,∀d, d′≥0, Ad.Ad′⊆Ad+d′.
On notera A+l’idéal ⊕d>0Ad.
On peut définir ProjAde la manière suivante :
— comme ensemble, ProjAest l’ensemble des idéaux premiers homogènes
de Ane contenant pas A+.
— une base d’ouverts est donnée par les ensembles (ProjA)◦
foù fest un
élément homogène de Aet (ProjA)◦
fest l’ensemble des idéaux dans ProjA
ne contenant pas f.
— l’anneau des fonctions régulières sur (ProjA)◦
fest (Af)0la partie ho-
mogène de degré 0du localisé Afi.e. {a
fm∈Af:a∈Amdeg f}.
En particulier, ProjAest recouvert par des ouverts affines (ProjA)◦
fiso-
morphes àă Spec(Af)0.
Si Aest réduite i.e. sans nilpotent autre que 0comme dans le cas affine
on peut définir ProjAuniquement avec des morphismes de −algèbres vers
:
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ProjA=φ∈Hom −alg.(A, ) : φA+6= 0/∼
où φ∼φ′s’il existe k > 0et t∈∗, tels que pour tout m≥0et tout
a∈Akm,φ(a) = tmφ′(a).
On peut vérifier que si d > 0et A(d):= ⊕k≥0Akd (gradué de sorte que
A(d)
k=Akd), alors Proj(A(d))≃ProjA.
Remarque : Si Aest de type fini, il existe d > 0tel que A(d)soit engendré
par un nombre fini d’éléments de Ad(cf. [Bou, chapitre III, §1, proposition
3]).
Si Aest engendré par des éléments homogènes a0, ..., aNde même degré,
on peut identifier ProjAavec la variété projective :
{[x]∈N() : F1(x) = ... =Fr(x) = 0}
où F1, ..., Frest un système de générateurs quelconque de l’idéal
{P∈[T0, ..., TN] : P(a0, ..., aN) = 0}.
Remarque : Si les générateurs aisont de degrés distincts d0, ..., dN, il faut
remplacer Npar l’espace projectif àă poids (d0, ..., dN)†.
Avec la graduation usuelle, Proj [X0, ..., Xn] = n().
†Si S=[X0, ..., Xn]/I o[X0, ..., Xn]est l’anneau des polynômes en n+ 1 variables
X0,... de degrés respectifs : d0, ... et où Iest un idéal homogène, alors comme ensemble :
ProjS=(t0, ..., tn)∈n+1 − {0}:∀P∈I, P (t0, ..., tn) = 0/∼
o pour tout λ∈∗,(t0, ..., tn)∼(λd0t0, ..., λdntn).
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