Les fractions

DES FRACTIONS
X - Qu’est-ce qu’une fraction ?
Une part d’une grandeur donnée :
2
de 60 € .............................................................. 15% de 400 électeurs.................................................................................
3
Un quotient de deux nombres entiers :
2
8
3
≈ ........................................ = .................................................. ≈ .................................................
4
3
7
Y - Comment représenter une fraction ? Les fractions précédentes sont représentées ci-dessous
Z - Comment comparer des fractions ?
Plusieurs fractions peuvent représenter un même nombre : Lequel ? Quelles sont ses différentes écritures ?
..................................................................................
.
..................................................................................
…………………………………………………...
…………………………………………………...
Ces deux dessins représentent des fractions différentes ; Compare-les:
...........………………………….........................
................................................................
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
[- Comment ajouter ou retrancher des fractions ?
..................................................................................................................
..................................................................................................................
..................................................................................................................
..................................................................................................................
\ - Comment multiplier des fractions ?
Chaque côté du carré mesure 1 (unité non définie).Son aire est donc 1 x 1 = 1
L’aire coloriée est :
en fraction de l’aire du carré :..................................................................
longueur × largeur = ....................................................................................
Conclusion :...........................................................................................................................
LES FRACTIONS
PARTIE I
X - Définition
Une fraction représente un quotient de deux nombres entiers.
Les nombres écrits sous forme de fraction peuvent être :
™ Des nombres entiers naturels comme :
1001
= 77
13
™ Des nombres décimaux comme :
13
= 1, 625
8
™ Des nombres non décimaux comme :
86
= 12, 28571429...
7
Remarque :
Dans ce dernier exemple, l’écriture fractionnaire présente un avantage certain sur l’écriture décimale
illimitée !
Y - Simplification de l’écriture des fractions
a) Si, dans le numérateur et le dénominateur d’une fraction, on fait apparaître un facteur commun k, on peut
simplifier l’écriture de la fraction par ce facteur k.
a×k a
=
b×k b
b) Exemple :
28 14 × 2 14
(on a simplifié par le facteur commun 2)
=
=
70 35 × 2 35
On peut simplifier encore :
14 2 × 7 2
=
=
35 5 × 7 5
On pouvait écrire, plus rapidement :
28 2 × 14 2
=
= (puisque le facteur commun est 2 × 7 = 14 )
70 5 × 14 5
c) Lorsqu’on ne peut plus simplifier (c’est-à-dire lorsqu’on ne trouve plus de facteur commun), on obtient
l’écriture irréductible de la fraction.
C’est, en fait, l’écriture la plus simple de la fraction.
2
est une fraction irréductible.
5
Z - Écriture d’un quotient de nombres décimaux sous la forme d’une fraction
Si on reprend la formule de simplification d’une fraction, on peut l’écrire aussi :
a a×k
=
b b×k
Exemples :
5
5 ×10
50
(On a rendu entier le diviseur)
=
=
0,3 0,3 × 10 3
Remarque : cette méthode est déjà employée pour la division des nombres à virgule.
4, 41 4, 41× 100 441
=
=
7
7 × 100
700
Remarque : la fraction ainsi obtenue est simplifiable par le facteur 7
441 63 × 7
63
=
=
700 100 × 7 100
[ - Écriture d’une fraction avec un autre dénominateur
La formule du précédent paragraphe permet aussi d’écrire une fraction donnée avec un autre dénominateur
Exemple :
La fraction
2
peut s’écrire avec les dénominateurs : 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; …etc.… (ils sont multiples du
3
dénominateur 3)
⎧2
⎪3
⎪
⎪2
⎪3
⎪
⎪2
⎨
⎪3
⎪2
⎪3
⎪
⎪2
⎪⎩ 3
=
=
=
=
=
2× 2 4 ⎫
=
3× 2 6 ⎪
⎪
2×3 6 ⎪
=
3× 3 9 ⎪
⎪
2 × 4 8 ⎪ 2 4 6 8 10 12
= ⎬ = = =
=
=
= ...
3 × 4 12 ⎪ 3 6 9 12 15 18
2 × 5 10 ⎪
=
3 × 5 15 ⎪
⎪
2 × 6 12 ⎪
=
3 × 6 18 ⎭⎪
\ - Équation ax = b
où a et b sont des nombres entiers ou décimaux
a) Exemple :
Un jardin rectangulaire a une aire de 126 m².
Quelle est sa longueur x sachant qu’il mesure 9 m de largeur ?
En utilisant la formule donnant l’aire du rectangle, on écrit :
9 × x = 126
126
x=
9
x = 14
La longueur du terrain est 14 m
(vérification : 9 ×14 = 126 )
b) Cas général :
L’équation :
a× x = b
a une solution (si a n’est pas égal à zéro) :
x=
Vérification : a ×
b
a
b a×b a×b b
=
=
= =b
a
a
a ×1 1
] - Égalité de deux fractions
a) Exemple :
5 35
35 5 × 7
car
=
=
12 84
84 12 × 7
On remarque que : 5 × 84 = 420 et que : 12 × 35 = 420
On dit que les produits « en croix » sont égaux.
On pourrait effectuer les divisions de 5 par 12 et de 35 par 84 mais les quotients obtenus étant à partie décimale
illimitée, on évite ce procédé.
b) Règle :
Deux fractions sont égales si les produits « en croix » sont égaux
a c
= lorsque a × d = b × c
b d
Vocabulaire :
Deux fractions égales constituent une proportion.
c) Application :
Résoudre l’équation :
5 7
=
x 3
7 × x = 5× 3
5× 3
x=
7
15
x=
7
PARTIE II
X - Savoir écrire des fractions avec le même dénominateur
On utilise la méthode vue plus haut :
a a×k
=
b b×k
Exemple :
4
11
et
avec le même dénominateur :
9
27
Puisque : 27 = 9 × 3
4 4 × 3 12
Alors : =
=
9 9 × 3 27
Écrire
Y - Savoir comparer des nombres écrits sous forme fractionnaire
a) Pour comparer deux fractions, il faut d’abord les écrire avec le même dénominateur.
On dit qu’on les réduit au même dénominateur
Les fractions sont alors dans le même ordre que leurs numérateurs
a b
<
si a < b
c c
Exemple :
3
10
3
et
, on écrit
avec le dénominateur 21
7
21
7
3 3× 3 9 ⎫
=
=
9 10
3 10
7 7 × 3 21 ⎪⎪
<
<
Conclusion:
⎬ or 9 < 10 donc
10
21
21
7
21
⎪
⎪
21
⎭
Pour comparer
b) Remarque :
On peut faire certaines comparaisons en utilisant la calculatrice
11
⎫
≈ 0,314 ⎪
22 11
⎪
35
Exemple :
<
car 0,310 < 0,314
⎬ donc
22
1
3
5
7
≈ 0,310 ⎪
71
⎭⎪
…On aurait d’ailleurs des difficultés à écrire ces deux fractions avec le même dénominateur !
c) Exercice :
Comparer
2
3
et
où a est un nombre entier naturel quelconque (sauf zéro)
a
2a
2 2× 2 4 ⎫
=
=
3
4
a a × 2 2a ⎪⎪
<
⎬ or: 3 < 4 donc:
3
2a 2a
⎪
⎪⎭
2a
soit :
3 2
<
2a a
Z - Savoir ajouter des fractions (et savoir les retrancher)
a) Pour ajouter deux (ou plusieurs) fractions, il faut d’abord les réduire au même dénominateur.
Leur somme est une fraction dont le numérateur est la somme des numérateurs et dont le dénominateur est le
dénominateur mis en commun.
a b a+b
+ =
c c
c
b) On procède de même pour la soustraction :
a b a −b
− =
c c
c
c) Exemples :
22 6 22 + 6 28 4 × 7 4
+ =
=
=
= = 4 (On n’a pas oublié de simplifier !)
7 7
7
7 1× 7 1
3 1 3× 2 1 6 1 6 +1 7
3 1 6 1 7
+ =
+ = + =
= (On n’est pas obligé de tout détailler : + = + = )
4 8 4× 2 8 8 8
8
8
4 8 8 8 8
2+
1 10 1 11
1 2 × 5 1 10 1 10 + 1 11
(ou, plus simplement : 2 + =
+ =
=
+ = + =
=
5 5 5 5
5 1× 5 5 5 5
5
5
5 2 5 − 2 3 1× 3 1
5 2 3 1
− =
= =
= (ou, plus simplement : − = = )
9 9
9
9 3× 3 3
9 9 9 3
13
13 9 4
−3 = − =
3
3 3 3
[ - Savoir multiplier des fractions
a) Le produit de deux (ou plusieurs) fractions est une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs
et dont le dénominateur est le produit des dénominateurs.
a c a×c
× =
b d b×d
b) Exemples :
3 7 3 × 7 21
× =
=
5 8 5 × 8 40
(On remarque que cette fraction est irréductible)
3 7
3× 7
3 3 ×1 1
× =
=
=
= (On a pensé à simplifier avant d’effectuer les produits)
7 12 7 × 12 12 3 × 4 4
4 3 × 4 12
(C’est un rappel du cours de 6ème)
=
=
5
5
5
36 72 36 × 72 9 × 4 × 9 × 8 4 × 8 2 × 2 × 8 2 × 8 16
(On a simplifié par 9 × 9 et encore par 2)
×
=
=
=
=
=
=
54 63 54 × 63 9 × 6 × 9 × 7 6 × 7 2 × 3 × 7 3 × 7 21
3×
\ - Savoir organiser des calculs avec des fractions
Les règles de priorité et la distributivité sont applicables dans les calculs comportant des fractions.
Exemples :
3 ⎛1 2⎞ 3 ⎛3 2⎞ 3 1
3 ×1
1
(priorité au calcul entre parenthèses)
×⎜ − ⎟ = ×⎜ − ⎟ = × =
=
5 ⎝ 3 9 ⎠ 5 ⎝ 9 9 ⎠ 5 9 5 × 3 × 3 15
3 ⎛ 1 2 ⎞ 3 1 3 2 3 ×1 3 × 2 3 2
1
(le même calcul en appliquant la règle de
×⎜ − ⎟ = × − × =
−
= − =
5 ⎝ 3 9 ⎠ 5 3 5 9 5 × 3 5 × 9 15 15 15
distributivité de la multiplication sur la soustraction ; c’est un peu plus long…)
5 2 9 5 9
5 27 32 8
+ × =
+ =
+
=
= (priorité à la multiplication ; les simplifications n’ont pas été
36 3 8 36 12 36 36 36 9
détaillées)
1 5 7 1 1 ⎛ 5 7 ⎞ 1 ⎛ 10 7 ⎞ 1 17 17
1
(on a mis
en facteur commun)
× + × = ×⎜ + ⎟ = ×⎜ + ⎟ = × =
3 4 8 3 3 ⎝ 4 8 ⎠ 3 ⎝ 8 8 ⎠ 3 8 24
3
] - Savoir résoudre des problèmes
a) Pendant une heure d’étude, Lucas a consacré la moitié du temps à bavarder, le tiers du temps à rêver et le
sixième du temps à dormir profondément.
Quel temps a-t-il pu passer à travailler ?
Cet exercice peut se faire en cherchant la durée de chaque activité en minutes.
Mais on peut aussi faire ce calcul en fractions d’heure :
1−
1 1 1 6 3 2 1 6 −1− 2 − 3 0
− − = − − − =
= =0
2 3 6 6 6 6 6
6
6
(1 représente une heure)
Lucas n’a pas eu assez de temps pour travailler !
b) Les deux tiers d’une somme d’argent sont à partager équitablement entre quatre personnes.
Quelle est la part de chacune ?
On ne connaît pas la somme totale ; la part de chacun s’exprime donc en fonction de ce total inconnu.
2
x:
3
1
2
1 2
1× 2
1
Chaque personne en perçoit le quart, soit :
x= x
de x = × x =
4
3
4 3
4×3
6
si x est la somme totale, la somme à partager est :
c) Deux enfants devant une galette :
« Moi, j’en veux le tiers de la moitié »
« Moi, j’en veux le quart des deux tiers »
Qui est le plus gourmand ?
1
1
1 1
1
de de x = × × x = x
3
2
3 2
6
1
2
1 2
1
Le second réclame :
des de x = × × x = x
4
3
4 3
6
Si x représente la galette, la part du premier est :
Chacun demande la même part.
d) Maxime a dépensé le cinquième de sa fortune puis les trois quarts de ce qui lui reste.
Quelle fraction de sa fortune lui reste-t-il ?
Si x est le montant de sa fortune, Maxime dépense d’abord :
1
x
5
1
1
4
⎛ 1⎞
x = 1× x − × x = ⎜ 1 − ⎟ × x = x
5
5
5
⎝ 5⎠
3
4
3 4
3
3
Il dépense à nouveau : de x = × × x = × x = x
4
5
4 5
5
5
Il lui reste alors : x −
Il lui reste finalement : (la somme totale diminuée de la somme des dépenses) :
3 ⎞
4
4
1
⎛1
⎛ 1 3⎞
⎛ 4⎞
⎛5 4⎞
x − ⎜ x + x ⎟ = x − ⎜ + ⎟ x = x − x = 1x − x = ⎜ 1 − ⎟ x = ⎜ − ⎟ x = x
5 ⎠
5
5
5
⎝5
⎝5 5⎠
⎝ 5⎠
⎝5 5⎠
On a mis à deux reprises le facteur x en commun et on a sous-entendu le signe de la multiplication.
Il reste à Maxime le cinquième de sa fortune.
e) Écrire en fraction d’heure chacune des durées suivantes :
1 4 1 5
25 5 × 5 5
=
= h
= + = h ou 2,5 h →
2 2 2 2
10 2 × 5 2
36 3 × 12 3
36 min →
=
= h
60 5 × 12 5
48
4 × 12
4 10 4 14
2 h 48 min → 2 +
= 2+
= 2+ = + =
h
60
5 × 12
5 5 5 5
102 6 × 17 17
=
=
102 min →
h
60 6 × 10 10
132 4 × 33 33
1,32 h →
=
=
h
100 4 × 25 25
2,5 h → 2 + 0,5 = 2 +
f) Un article subit une baisse de 20 % puis une nouvelle baisse de 10 %
De combien a-t-il baissé en tout ? La réponse est à donner en pourcentage du prix initial.
−20% de x
x ⎯⎯⎯⎯
→x−
20
100
20
80
x=
x−
x=
x
100
100
100
100
Après la première baisse, l’article coûte 80 % de son prix initial.
Il va à nouveau baisser, mais de 20 % de ce nouveau prix :
80
80
20 80
80
8
72
72
−20% de 80% de x
x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
x−
×
x=
x−
x=
×x=
x
100
100
100 100
100
100
100
100
Après cette deuxième baisse, l’article ne coûte plus que 72 % du prix initial.
Il a donc baissé de : x −
72
100
72
28
x=
x−
x=
x
100
100
100
100
La baisse, en pourcentage du prix initial, est donc de 28 %.
g) Remarque :
Tous les exercices qui utilisent l’inconnue x peuvent être « vérifiés » en donnant une valeur numérique au
nombre x.
EXERCICES 1
LES FRACTIONS
X Écris les quotients suivants sous forme de fraction :
4,7
0,007
19,5
= ....................................
= ....................................
= ....................................
250
1,3
0,08
1,05
0,0008
732
= ....................................
= ....................................
= ....................................
10,5
0,00005
0,4
Y - Simplifie l’écriture des fractions suivantes :
28
30
86
= ...........................................................
= ........................................................... = ...........................................................
26
45
43
27
21
250
= ........................................................... = ...........................................................
= ...........................................................
81
35
350
72
66
225
= ...........................................................
= ...........................................................
= ...........................................................
108
55
55
27
56
42
= ...........................................................
= ...........................................................
= ...........................................................
45
70
105
49
49
12 x
= ...........................................................
= ...........................................................
= ...........................................................
63
56
15x
Z - Recherche les fractions représentant les mêmes nombres :
4 18 75 25 6 40 1 2 300 32 20 17 4 27
; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
8 45 81 27 15 80 2 5 324 64 25 34 5 25
.............................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
[ - Résous les équations suivantes : Tu écriras leurs solutions sous forme irréductible.
12 x = 9
45x = 63
42 x = 70
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
\ - Écris chacune des fractions suivantes avec le dénominateur 36 :
5 4 13 52 4 25
; ; ; ; ;
6 9 12 72 3 18
.............................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
EXERCICES 2
LES FRACTIONS
X - Réduis les fractions suivantes au même dénominateur et compare - les :
1 3
et ..............................................................................................................................................................................................................................
2 4
15
et 2 .............................................................................................................................................................................................................................
8
5 17
et
...........................................................................................................................................................................................................................
6 18
4 1
et ............................................................................................................................................................................................................................
15 5
Y - Effectue les calculs suivants et donne les résultats sous la forme de fractions irréductibles :
3 7
11 5
+ = ..................................................................................... − = .....................................................................................
5 5
4 4
5
1
+ 1 = ..................................................................................... 3 + = .....................................................................................
6
2
1
25
1 − = ..................................................................................... − 2 = .....................................................................................
3
7
2 11
4
9
+
= ..................................................................................... −
= .....................................................................................
5 10
10 100
5 5
5 8
+ = ..................................................................................... −
= .....................................................................................
10 2
7 21
14 7
1 3 5
+
= ..................................................................................... + + = .....................................................................................
75 25
2 8 4
2 5
5 1 7
= .....................................................................................
4 + + = ..................................................................................... − −
3 9
3 6 12
Z - Écris les nombres suivants sous forme d’une somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 :
Exemple :
1
16 15 1
= + = 3+
5
5
5 5
97
76
= .....................................................................................
= .....................................................................................
13
11
Compare alors ces deux fractions : .................................................................................................................................................
[- Calcule :
La moitié du quart de 50 €: ............................................................................................................................................................
Les
2
de trois quarts d’heure : .....................................................................................................................................................
3
Les
3
3
des de 200 km : ..................................................................................................................................................................
5
4
EXERCICES 3
LES FRACTIONS
X- Calcule les produits suivants et exprime les résultats sous forme irréductible :
5
13
= .....................................................................................
× 7 = .....................................................................................
4
42
7 5
5 7
× = ..................................................................................... × = .....................................................................................
3 3
7 5
1 1
14 3
× = ..................................................................................... ×
= .....................................................................................
2 3
15 35
2
4
⎛ 3⎞
⎛ 1⎞
.....................................................................................
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟ = .....................................................................................
⎝ 5⎠
⎝ 2⎠
3 ⎛ 5 2⎞
⎛ 3 5⎞ 2
× ⎜ × ⎟ = ..................................................................................... ⎜ × ⎟ × = ....................................................................................
⎠
⎝
⎝ 4 7⎠ 9
4
7 9
7 27 25
×
×
= ..........................................................................................................................................................................
45 35 18
2×
Y - Calcule de deux façons différentes :
2 ⎛ 1 3⎞
× ⎜ + ⎟ = ..........................................................................................................................................................................
3 ⎝ 4 8⎠
2 ⎛ 1 3⎞
× ⎜ + ⎟ = ..........................................................................................................................................................................
3 ⎝ 4 8⎠
6 ⎛5 7 ⎞
× ⎜ − ⎟ = ..........................................................................................................................................................................
5 ⎝ 6 12 ⎠
6 ⎛5 7 ⎞
× ⎜ − ⎟ = ..........................................................................................................................................................................
5 ⎝ 6 12 ⎠
Z - Calcule, en respectant les règles de priorité :
3 7 5
2 7 4
+ × = ....................................................................................... × − = .........................................................................................
4 4 4
3 5 5
3 7
5
2
7 4
( + ) × = ...................................................................................... × ( − ) = ......................................................................................
4 4
4
3
5 5
2 4
19 3 5
+ × = ......................................................................................
1 − × = .........................................................................................
3 5
28 7 2
2
4
19 3
5
(1 − ) × = ...................................................................................... ( + ) × = .....................................................................................
3
5
28 7
2
[ - Qu’y a-t-il de plus intéressant ,
les trois quarts des
5
2
d’une certaine somme d’argent ou les du triple de cette même somme ?
3
5
.............................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................
Devoir 1
X - Un terrain de 750 m² comprend un verger, un potager et une pelouse.
L’aire du potager est 105 m² et le verger occupe les
2
du terrain.
5
Que reste-t-il pour la pelouse ? Exprime cette aire en m² puis en fraction de l’aire totale.
Y - Trois basketteurs, Anthony, Nicolas et Arnaud, ont participé à un concours d’adresse.
Ils ont obtenu les scores suivants :
Anthony : 36 réussites sur 60 tentatives.
Nicolas : 42 réussites sur 75 essais.
Arnaud : 21 réussites sur 35 essais.
Exprime la performance de chacun sous la forme d’une fraction du nombre total de paniers tentés.
Écris chaque fraction, après l’avoir simplifiée, avec le dénominateur 100 et compare alors les résultats des
trois champions.
Z - Écris en fraction d’heure chacune des durées suivantes : 36 min ;
2h 48min ; 102min ; 1,32h.
[ - Monsieur Delaroue désire acheter une voiture d’occasion.
Un ami « expert en automobile » a visité les deux garages de la ville et l’informe que :
Le garage Tartempion propose 63 voitures dont 26 bonnes occasions.
Le garage Schtroumpf propose 21 voitures dont 9 bonnes occasions.
Dans quel garage Monsieur Delaroue, qui n’y connaît rien, a-t-il le plus de chances de « tomber » sur une
bonne occasion ?
Devoir 2
X - Calcule aussi astucieusement que possible:
1 2 1 1 1 1
+ + + + +
4 9 2 3 9 4
Y - Les dépenses de la famille Pensatout sont représentées dans le diagramme circulaire suivant:
Budget du mois
reste
loyer
5
36
2
9
voiture
scolarité
vêtements 1
1
12
6
nourriture
5
18
Trouve la fraction du budget de cette famille représentant le total des dépenses.
Quelle fraction du budget lui reste-t-il?
Z - Calcule les nombres suivants: tu écriras les résultats sous forme fractionnaire irréductible
7 1 3
− ×
8 4 2
1+ 4
6
×
1
2
+
6+3
4
×
5−3
3
⎛1 3⎞ 3 3 ⎛7 3⎞
⎜ + ⎟× − ×⎜ − ⎟
⎝ 2 4 ⎠ 5 10 ⎝ 4 2 ⎠
[ - Un feuilleton télévisé commence à 15 h 30. Il dure trois quarts d'heure. À quelle heure se termine-t-il?
Mehdi n'a vu que les deux tiers des 111 épisodes. Combien d'heures de loisir a-t-il consacrées à ce feuilleton?
\ - Une bouteille contient
3
2
de litre. Quelle fraction de litre représentent les
de cette bouteille?
4
3
Devoir 3
X - Un terrain a la forme d’un rectangle dont les deux côtés mesurent :
17
175
hm et
hm.
6
42
Quel est son périmètre ?
Y - Trois amis se partagent une somme d’argent :
Le premier en obtient les
3
5
, le second les
et le dernier le reste.
7
21
Qui en a le plus ?
Z - Madame C. Ramique possède un stock de 180 assiettes.
3
au prix de 3,50 € l’assiette et le reste avec 40% de réduction.
5
Quelle est la recette réalisée par Mme Ramique ?
Elle en vend les
[- Les
3
d’un terrain sont cultivés.
4
2
de la partie cultivée sont plantés de maïs et le reste de blé.
Les
3
Quelle fraction du terrain représente le champ de blé ?
Des FRACTIONS de a à z
Calcule les nombres suivants . Écris chaque résultat sous sa forme irréductible.
9
4
−
10 10
9
3
b=
+
48 48
9 13 8
c= +
−
7 7 7
1
d=7+
4
4
e =5−
9
3 6
f = 3+ +
5 15
1 1 1 1
g= − + −
2 4 6 12
5 ⎛9 3 ⎞
h= −⎜ + ⎟
2 ⎝ 7 14 ⎠
1 3
i= ×
2 2
3 4
j= ×
4 3
10 12
k=
×
9 15
⎛ 1 7⎞
l=⎜ + ⎟ ×3
⎝ 3 3⎠
1 7
m= + ×3
3 3
3 ⎞ 22
⎛8
n=⎜ − ⎟ ×
⎝ 11 11⎠ 10
a=
10 + 5 60 + 4
×
40 + 5 12 + 4
5 20 6
p= +
×
3 9 5
o=
2
⎛ 3⎞
q=⎜ ⎟
⎝ 7⎠
3
5
⎛ 3⎞
r=⎜ ⎟ −
⎝ 2⎠
8
s=
21 ⎛ 9 1 ⎞
×⎜
− ⎟
20 ⎝ 49 7 ⎠
⎛ 2 1⎞
t=⎜ + ⎟
⎝ 3 6⎠
⎛
u = ⎜1 −
⎝
2
1⎞ ⎛
1⎞
⎟ × ⎜1 + ⎟
⎠
⎝
2
8⎠
2
⎛ 1⎞
⎛ 2⎞
v=⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ 6⎠
⎝ 3⎠
2
8 9 10 21
× +
×
5 4 3 40
1
5 1 3
x = 3+ + 2 + + +
4
4 2 5
7
y = 3,5 −
5
w=
⎛ 1⎞
z=4×⎜ ⎟
⎝ 4⎠
2
Fractions de a à z (Corrigé)
9 4
5 1
9
3 12 1
− =
=
b=
+
=
=
10 10 10 2
48 48 48 4
9 13 8 14
1 28 1 29
c= + − =
=2
d =7+ =
+ =
7 7 7 7
4 4 4 4
4 45 4 41
3 6 45 9 6 60
+ + =
=4
e = 5− =
− =
f = 3+ + =
9 9 9 9
5 15 15 15 15 15
1 1 1 1
6 3 2 1 6 − 3 + 2 −1 4 1
g= − + − = − + − =
=
=
2 4 6 12 12 12 12 12
12
12 3
5 ⎛ 9 3 ⎞ 5 ⎛ 18 3 ⎞ 5 21 5 3 × 7 5 3 2
h = −⎜ + ⎟ = −⎜ + ⎟ = − = −
= − = =1
2 ⎝ 7 14 ⎠ 2 ⎝ 14 14 ⎠ 2 14 2 2 × 7 2 2 2
1 3 3
3 4 3× 4
=1
i= × =
j= × =
2 2 4
4 3 4×3
10 12 10 × 12 5 × 2 × 3 × 4 8
8
8× 3
⎛1 7⎞
k= × =
=
=
=8
l = ⎜ + ⎟×3 = ×3 =
3
3
9 15 9 × 15 3 × 3 × 3 × 5 9
⎝3 3⎠
1 7
1 21 22
⎛ 8 3 ⎞ 22 5 22 5 × 11× 2
= ×
=
=1
n = ⎜ − ⎟×
m = + ×3 = +
=
3 3
3 3
3
⎝ 11 11 ⎠ 10 11 10 11× 2 × 5
10 + 5 60 + 4 15 64 15 × 64 3 × 5 × 8 × 2 × 4 4
o=
×
= ×
=
=
=
40 + 5 12 + 4 45 16 45 × 16 3 × 5 × 3 × 8 × 2 3
5 20 6 5 20 × 6 5 5 × 4 × 3 × 2 5 8 13
p= + × = +
= +
= + =
3 9 5 3 9×5 3
3× 3× 5
3 3 3
a=
2
3 3 9
⎛ 3⎞
q=⎜ ⎟ = × =
7 7 49
⎝7⎠
3
⎛ 3 ⎞ 5 3 3 3 5 27 5 22 11
r =⎜ ⎟ − = × × − =
− =
=
4
⎝ 2⎠ 8 2 2 2 8 8 8 8
21 ⎛ 9 1 ⎞ 21 ⎛ 9
7 ⎞ 21 2
3× 7 × 2
3
×⎜ − ⎟ =
×⎜ − ⎟ =
×
=
=
s=
20 ⎝ 49 7 ⎠ 20 ⎝ 49 49 ⎠ 20 49 2 × 10 × 7 × 7 70
2
2
2
5 5 25
⎛ 2 1⎞ ⎛ 4 1⎞ ⎛5⎞
t =⎜ + ⎟ =⎜ + ⎟ =⎜ ⎟ = × =
6 6 36
⎝ 3 6⎠ ⎝ 6 6⎠ ⎝6⎠
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞⎛ 8 1 ⎞ 1 9 9
u = ⎜1 − ⎟ ⎜1 + ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟ = × =
⎝ 2 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 8 8 ⎠ 2 8 16
2
2
4 1 16 1 17
⎛2⎞ ⎛1⎞
v = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = +
=
+
=
9 36 36 36 36
⎝ 3⎠ ⎝6⎠
8 9 10 21 8 × 9 10 × 21 4 × 9 × 2 10 × 3 × 7 18 70 144 70 214 107
w= × + ×
=
+
=
+
= +
=
+
=
=
5 4 3 40 5 × 4 3 × 40
5× 4
3 × 10 × 4 5 40 40 40 40
20
1
5 1 3
1 5 1 3
6 1 3
3 1 3
4 3
3 35 3 38
x = 3+ + 2 + + + = 3+ 2+ + + + = 5+ + + = 5+ + + = 5+ + = 7+ =
+ =
4
4 2 5
4 4 2 5
4 2 5
2 2 5
2 5
5 5 5 5
7 35 7 35 14 21
y = 3,5 − =
− =
− =
5 10 5 10 10 10
1
4 ×1 1
⎛1⎞
⎛1 1⎞
z = 4×⎜ ⎟ = 4×⎜ × ⎟ = 4×
=
=
4× 4 4× 4 4
⎝ 4⎠
⎝ 4 4⎠
2
DES FRACTIONS
X - Qu’est-ce qu’une fraction ?
Une part d’une grandeur donnée :
2
2
15
de 60 € = × 60 = 40 €
× 400 = 60 électeurs
15% de 400 électeurs =
3
3
100
Un quotient de deux nombres entiers :
2
8
3
= 0,75
≈ 0, 66666667
≈ 1,14285714
4
3
7
Y - Comment représenter une fraction ? Les fractions précédentes sont représentées ci-dessous
8 7 1
= +
7 7 7
Z - Comment comparer des fractions ?
Plusieurs fractions peuvent représenter un même nombre : Lequel ? Quelles sont ses différentes écritures ?
Ces quatre surfaces représentent la
même fraction du rectangle donné
2 4 8 6
= =
. =
3 6 12 9
Ces deux dessins représentent des fractions différentes ; Compare-les:
La première surface est plus étendue
que la seconde ; donc :
5 1
>
.
12 3
[- Comment ajouter ou retrancher des fractions ?
3 1 3 2 5
+ = + =
8 4 8 8 8
5 1 5 2 7
+ = + =
12 6 12 12 12
5 1 5 3 2
− = − =
6 2 6 6 6
Chaque côté du carré mesure 1 (unité non définie).Son aire est 1 x 1 = 1
L’aire coloriée est :
8
en fraction de l’aire du carré :.
(8 petits rectangles sur un total de 15)
15
2 4
longueur × largeur = ×
(largeur multipliée par longueur)
3 5
produit des numérateurs
2 4 8
Conclusion : × =
soit :
3 5 15
produit des dénominateurs
1
4/5
\ - Comment multiplier des fractions ?
1 3 1 2
1− = − =
3 3 3 3
2/3
EXERCICES 1
LES FRACTIONS
X Écris les quotients suivants sous forme de fraction :
0,007 0,007 × 1000
7
=
=
1,3
1, 3 × 1000
1300
1,05 1,05 × 100 105
=
=
10,5 10,5 × 100 1050
4,7 4,7 × 10
47
19,5 19,5 × 100 1950
=
=
=
=
250 250 × 10 2500
0,08 0,08 × 100
8
0,0008
0,0008 × 100000 80
732 732 × 10 7320
=
=
=
=
0,00005 0,00005 × 100000 5
0, 4 0, 4 × 10
4
Y - Simplifie l’écriture des fractions suivantes : (les plus grands facteurs communs ont été recherchés)
28 2 × 14 14
=
=
26 2 × 13 13
27 1 × 27 1
=
=
81 3 × 27 3
72 36 × 2 2
=
=
108 36 × 3 3
27 9 × 3 3
=
=
45 9 × 5 5
49 7 × 7 7
=
=
63 7 × 9 9
30 2 × 15 2
=
=
45 3 × 15 3
21 3 × 7 3
=
=
35 5 × 7 5
66 11× 6 6
=
=
55 11× 5 5
56 14 × 4 4
=
=
70 14 × 5 5
49 7 × 7 7
=
=
56 8 × 7 8
86 2 × 43 2
=
= =2
43 1× 43 1
250 5 × 50 5
=
=
350 7 × 50 7
225 5 × 45 45
=
=
55 5 × 11 11
42 2 × 21 2
=
=
105 5 × 21 5
12x 4 × 3 × x 4
=
=
15x 5 × 3 × x 5
Z - Recherche les fractions représentant les mêmes nombres :
4 18 75 25 6 40 1 2 300 32 20 17 4 27
; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
8 45 81 27 15 80 2 5 324 64 25 34 5 25
On a représenté en couleur différente l’écriture la plus simple de chaque nombre (forme irréductible)
4 1 40 32 7
18 6 2
75 25 300
20 4
= =
=
=
= =
=
=
=
8 2 80 64 34
45 15 5
81 27 324
25 5
27
Le nombre
n’est représenté par aucune autre fraction
25
[ - Résous les équations suivantes : Tu écriras leurs solutions sous forme irréductible.
12x = 9
9
12
3× 3
x=
3× 4
3
x=
4
x=
45x = 63
63
x=
45
9× 7
x=
9×5
7
x=
5
\ - Écris chacune des fractions suivantes avec le dénominateur 36 :
5 4 13 52 4 25
; ; ; ; ;
6 9 12 72 3 18
5 5 × 6 30
4 4× 4 6
=
=
=
=
6 6 × 6 36
9 9 × 4 36
4 4 × 12 48
25 25 × 2 50
=
=
=
=
3 3 × 12 36
18 18 × 2 36
13 13 × 3 39
=
=
12 12 × 3 36
42x = 70
70
42
14 × 5
x=
14 × 3
5
x=
3
x=
Ici on a
simplifié par 2
52 26 × 2 26
=
=
72 36 × 2 36
EXERCICES 2
LES FRACTIONS
X - Réduis les fractions suivantes au même dénominateur et compare - les :
1 3
et
2 4
1 1× 2 2
=
=
2 2× 2 4
15
et2
8
2=
2 3
< car 2 < 3
4 4
donc
1 3
<
2 4
2 × 8 16
=
8
8
15 16
<
car 15 < 16
8 8
donc
15
<2
8
5 17
et
6 18
5 5 × 3 15
=
=
6 6 × 3 18
15 17
<
car 15 < 17
18 18
donc
5 17
<
6 18
4 1
et
15 5
1 1× 3 3
=
=
5 5 × 3 15
3 4
<
car 3 < 4
15 15
donc
1 4
<
5 15
Y - Effectue les calculs suivants et donne les résultats sous la forme de fractions irréductibles :
3 7 3 + 7 10
11 5 11 − 5 6 3
− =
= =
+ =
= =2
5 5
5
4 4
4
4 2
5
5 3 × 6 5 18 5 18 + 5 23
1
1 2 1+ 2 3
3+ =
+1 = + =
=
+ = + =
=
6
6 6 6
2
2 2
2
2
6
6
6
25
25 2 × 7 25 14 25 − 14 11
1 3 1 3 −1 2
−2=
−
=
− =
=
1− = − =
=
7
7
7
7
7 7
7
3 3 3
3
3
2 11 2 × 2 11 4 11 15 3
4
9
4 × 10
9
40
9
31
+ =
+ = + = =
−
=
−
=
−
=
5 10 5 × 2 10 10 10 10 2
10 100 10 × 10 100 100 100 100
5 5 5 5 × 5 5 25 30
5 8 5 × 3 8 15 8
7 1
+ = +
=3
= +
=
− =
− = − = =
10 2 10 2 × 5 10 10 10
7 21 7 × 3 21 21 21 21 3
14 7 14 7 × 3 14 21 35 7
1 3 5 4 3 10 4 + 3 + 10 17
+
=
+
=
+
=
=
+ + = + + =
=
75 25 75 25 × 3 75 75 75 15
2 8 4 8 8 8
8
8
2 5 4 × 9 2 × 3 5 36 6 5 47 5 1 7 20 2 7 20 − 2 − 7 11
− − =
− − =
=
4+ + =
+
+ =
+ + =
9
3 × 3 9 9 9 9 9 3 6 12 12 12 12
12
12
3 9
Z - Écris les nombres suivants sous forme d’une somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 :
Exemple :
1
16 15 1
= + = 3+
5
5
5 5
97 91 + 6 91 6
6
=
= + = 7+
13
13
13 13
13
Compare alors ces deux fractions :
76 66 + 10 66 10
10
=
=
+ = 6+
11
11
11 11
11
76
97
76 97
est inférieur à 7 alors que
est supérieur à 7 donc :
<
11
13
11 13
[- Calcule :
1 1
1×1
1
50
× × 50 =
× 50 = × 50 =
= 6, 25 €
2 4
2× 4
8
8
2 3 2×3 2 1
2
= = h
Les
de trois quarts d’heure : × =
3 4 3× 4 4 2
3
3 3
3 × 3 × 200 3 × 3 × 20 × 10
3
3
=
= 90 km
Les des de 200 km : . × × 200 =
5 4
5× 4
20
5
4
La moitié du quart de 50 €:
EXERCICES 3
LES FRACTIONS
5 2×5 2×5 5
=
=
=
4
4
2× 2 2
7 5 7 × 5 35
× =
=
3 3 3× 3 9
1 1 1× 1 1
× =
=
2 3 2×3 6
2
3 3 3× 3 9
⎛ 3⎞
=
⎜ ⎟ = × =
5 5 5 × 5 25
⎝5⎠
2×
13
13 × 7 13 × 7 13
=
×7 =
=
42
6×7 6
42
5 7 5× 7
× =
=1
7 5 7×5
14 3 14 × 3
2× 7×3
2
2
× =
=
=
=
15 35 15 × 35 3 × 5 × 7 × 5 5 × 5 25
4
1 1 1 1 1× 1× 1× 1
1
⎛1⎞
=
⎜ ⎟ = × × × =
2 2 2 2 2 × 2 × 2 × 2 16
⎝2⎠
3 ⎛ 5 2 ⎞ 3 5 × 2 3 × (5 × 2)
3× 5× 2
5
=
=
=
×⎜ × ⎟ = ×
4 ⎝ 7 9 ⎠ 4 7 × 9 4 × ( 7 × 9 ) 2 × 2 × 7 × 3 × 3 42
⎛ 3 5 ⎞ 2 3× 5 2 3× 5× 2 5
× =
=
⎜ × ⎟× =
⎝ 4 7 ⎠ 9 4 × 7 9 4 × 7 × 9 42
7 27 25 7 × 27 × 25
7 × 3× 9 × 5× 5
1
× × =
=
=
45 35 18 45 × 35 × 18 9 × 5 × 5 × 7 × 3 × 6 6
Y - Calcule de deux façons différentes : on applique la distributivité sur la multiplication (deuxième méthode)
2 ⎛ 1 3⎞ 2 ⎛ 2 3⎞ 2 5 2×5
2×5
5
×⎜ + ⎟ = ×⎜ + ⎟ = × =
=
=
3 ⎝ 4 8 ⎠ 3 ⎝ 8 8 ⎠ 3 8 3 × 8 3 × 2 × 4 12
2 ⎛ 1 3 ⎞ 2 1 2 3 2 ×1 2 × 3 1 1 2 3
5
×⎜ + ⎟ = × + × =
+
= + = + =
3 ⎝ 4 8 ⎠ 3 4 3 8 3 × 4 3 × 8 6 4 12 12 12
6 ⎛ 5 7 ⎞ 6 ⎛ 10 7 ⎞ 6 3
6×3
6×3
3
×⎜ − ⎟ = ×⎜ − ⎟ = × =
=
=
5 ⎝ 6 12 ⎠ 5 ⎝ 12 12 ⎠ 5 12 5 × 12 5 × 2 × 6 10
6 ⎛ 5 7 ⎞ 6 5 6 7 6×5 6× 7
7 10 7
3
×⎜ − ⎟ = × − × =
−
=1− = − =
5 ⎝ 6 12 ⎠ 5 6 5 12 5 × 6 5 × 12
10 10 10 10
Z - Calcule, en respectant les règles de priorité :
(en rouge, le calcul prioritaire)
3 7 5 3 35 12 35 47
+ × = +
= +
=
4 4 4 4 16 16 16 16
3 7 5 10 5 5 × 2 × 5 25
( + )× = × =
=
4 4 4 4 4 2× 2× 4 8
2 4
2× 4
8 15 8 7
1− × =1−
=1− = − =
3 5
3× 5
15 15 15 15
2 4 ⎛3 2⎞ 4 1 4 4
(1 − ) × = ⎜ − ⎟ × = × =
3 5 ⎝ 3 3 ⎠ 5 3 5 15
2 7 4 2 × 7 4 14 4 14 12 2
× − =
− = − = − =
3 5 5 3 × 5 5 15 5 15 15 15
2 7 4 2 3 2×3 2
×( − ) = × =
=
3 5 5 3 5 3× 5 5
19 3 5 19 15 19 30 49 7
+ × =
=
+ =
+
=
28 7 2 28 14 28 28 28 4
19 3 5 ⎛ 19 2 ⎞ 5 31 5 155
( + )× = ⎜ + ⎟× = × =
28 7 2 ⎝ 28 28 ⎠ 2 28 2 56
[ - Qu’y a-t-il de plus intéressant ,
5
2
d’une certaine somme d’argent ou les du triple de cette même somme ?
3
5
3
5
3 5
5
2
2
6
de de S = × × S = S
du triple de S = × 3 × S = S
Soit S la somme.
4
3
4 3
4
5
5
5
5 5 × 5 25
6 6 × 4 24
24 25
6 5
<
=
=
et : =
donc : <
car :
Or : =
4 4 × 5 20
5 5 × 4 20
20 20
5 4
5
de la somme sont plus intéressants.
Les trois quarts des
3
les trois quarts des