Les fractions

DES FRACTIONS
X - Qu’est-ce qu’une fraction ?
Une part d’une grandeur donnée :
2 de 60 €
3
.............................................................. 15% de 400 électeurs .................................................................................
Un quotient de deux nombres entiers :
2
3≈
........................................
3
4=
..................................................
8
7
≈
.................................................
Y - Comment représenter une fraction ? Les fractions précédentes sont représentées ci-dessous
Z - Comment comparer des fractions ?
Plusieurs fractions peuvent représenter un même nombre : Lequel ? Quelles sont ses différentes écritures ?
..................................................................................
.
..................................................................................
…………………………………………………...
…………………………………………………...
Ces deux dessins représentent des fractions différentes ; Compare-les:
...........………………………….........................
................................................................
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
[- Comment ajouter ou retrancher des fractions ?
..................................................................................................................
..................................................................................................................
..................................................................................................................
..................................................................................................................
\ - Comment multiplier des fractions ?
Chaque côté du carré mesure 1 (unité non définie).Son aire est donc 1 x 1 = 1
L’aire coloriée est :
en fraction de l’aire du carré : ..................................................................
longueur × largeur = ....................................................................................
Conclusion : ...........................................................................................................................

LES FRACTIONS
PARTIE I
X - Définition
Une fraction représente un quotient de deux nombres entiers.
Les nombres écrits sous forme de fraction peuvent être :
 Des nombres entiers naturels comme :
1001
13 77=
 Des nombres décimaux comme :
3
8
1=1 5,62
 Des nombres non décimaux comme :
6
7
8=12,2857142 .9..
Remarque :
Dans ce dernier exemple, l’écriture fractionnaire présente un avantage certain sur l’écriture décimale
illimitée !
Y - Simplification de l’écriture des fractions
a) Si, dans le numérateur et le dénominateur d’une fraction, on fait apparaître un facteur commun k, on peut
simplifier l’écriture de la fraction par ce facteur k.
a
b
k
k
a
b
×
×
=
b) Exemple :
28 14 14
70 35 35
2
2
×
×
==
(on a simplifié par le facteur commun 2)
On peut simplifier encore :
714 2 2
35 5 7
×
×5
==
On pouvait écrire, plus rapidement :
1428 2 2
70 5 41
×
×2714
×
=
5
==
(puisque le facteur commun est )
c) Lorsqu’on ne peut plus simplifier (c’est-à-dire lorsqu’on ne trouve plus de facteur commun), on obtient
l’écriture irréductible de la fraction.
C’est, en fait, l’écriture la plus simple de la fraction.
2
5 est une fraction irréductible.
Z - Écriture d’un quotient de nombres décimaux sous la forme d’une fraction
Si on reprend la formule de simplification d’une fraction, on peut l’écrire aussi :

bbk
aak
×
×
=
Exemples :
55 5
0,3 0 10 1,3 30×=
×
=0
(On a rendu entier le diviseur)
Remarque : cette méthode est déjà employée pour la division des nombres à virgule.
1004,41 4,41 441
77 700 001
×
=×=
Remarque : la fraction ainsi obtenue est simplifiable par le facteur 7
441 63 63
700 100 1 0
7
7
×
×0
==
[ - Écriture d’une fraction avec un autre dénominateur
La formule du précédent paragraphe permet aussi d’écrire une fraction donnée avec un autre dénominateur
Exemple :
La fraction
2
3 peut s’écrire avec les dénominateurs : 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; …etc.… (ils sont multiples du
dénominateur 3)
22 4
33 6
22 6
33 9
22 824681012...
33 12369121518
22 10
33 15
22 12
3
2
2
3
3
4
4
318
5
5
6
6
⎧⎫
==
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
==
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
= = ======
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
==
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
==
×
×
×
×
×
×
×
⎪
×
×
×
⎪
⎩⎭
\ - Équation ax b= où a et b sont des nombres entiers ou décimaux
a) Exemple :
Un jardin rectangulaire a une aire de 126 m².
Quelle est sa longueur x sachant qu’il mesure 9 m de largeur ?
En utilisant la formule donnant l’aire du rectangle, on écrit :
9 126
126
9
14
x
x
x
×=
=
=
La longueur du terrain est 14 m (vérification :914 126
×
=)
b) Cas général :
L’équation :
axb×= a une solution (si a n’est pas égal à zéro) :

b
xa
=
Vérification : 11
abab bb
ab
aa
×
×
a
×
×====
] - Égalité de deux fractions
a) Exemple :
535
12 84
= car 35 5 7
84 12 7
×
=×
On remarque que : 5 et que : 1284 420×= 35 420
×
=
On dit que les produits « en croix » sont égaux.
On pourrait effectuer les divisions de 5 par 12 et de 35 par 84 mais les quotients obtenus étant à partie décimale
illimitée, on évite ce procédé.
b) Règle :
Deux fractions sont égales si les produits « en croix » sont égaux
lorsque
ac ad bc
bd
=×=×
Vocabulaire :
Deux fractions égales constituent une proportion.
c) Application :
Résoudre l’équation :
57
3
75
53
7
15
7
xx
x
x
=
×=×
×
=
=
3

PARTIE II
X - Savoir écrire des fractions avec le même dénominateur
On utilise la méthode vue plus haut :
bbk
aak×
×
=
Exemple :
Écrire
4
9 et 11 27 avec le même dénominateur :
Puisque :
27 39=×
Alors : 344 12
99 732
×
×
==
Y - Savoir comparer des nombres écrits sous forme fractionnaire
a) Pour comparer deux fractions, il faut d’abord les écrire avec le même dénominateur.
On dit qu’on les réduit au même dénominateur
Les fractions sont alors dans le même ordre que leurs numérateurs
si
cc
ab ab<<
Exemple :
Pour comparer 3
7 et 10 21 , on écrit 3 7 avec le dénominateur 21
33 9 910
77 or 9 10 21 21 21
21
donc
3
Conclusion: 310 721
0
3
1
==
<<
⎫
⎪
⎪<
×
×⎬
⎪
⎪
⎭
b) Remarque :
On peut faire certaines comparaisons en utilisant la calculatrice
Exemple :
11 0,31
35 donc car 0,310 0,314
22 0
4
0
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
22 11
7
,31
753 11<
≈
<
⎬
≈⎭
…On aurait d’ailleurs des difficultés à écrire ces deux fractions avec le même dénominateur !
c) Exercice :
Comparer 2
a et 3 2a où a est un nombre entier naturel quelconque (sauf zéro)
22 4 34
or: 3 4 donc: soit
2
232
2
2
2a
a
:
322
aa aaaa
⎫
==
⎪
⎪<<
⎬
⎪
×
×
<
⎪
⎭