Cours et activités

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Racines carrées
CHAPITRE
On remarque que :
q
rq
srq
En vous inspirant de ceci, comment obtenir
grâce à des racines imbriquées ?
Énigme du chapitre.
— Savoir que, si désigne un nombre
positif, est le nombre positif dont
le carré est et utiliser les égalités :
, .
—Sur des exemples numériques, où et
sont des nombres positifs, utiliser les
égalités , p(
non nul).
Objectifs du chapitre.

I/ Racine carrée d’un nombre positif
Activité A. Racine carrée d’un nombre positif
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
2. Quels nombres a pour carré :
(a) (b) (c) (d) (e)
3. Un nombre strictement négatif peut-il être le carré d’un nombre ? Justifier.
4. Définition : La racine carrée d’un nombre est le nombre positif dont le carré est égal
à . Ce nombre est noté .
Recopier et compléter (il peut y avoir deux possibilités) :
(a) , donc . (b) (c) .
5. Comment peut-on vérifier que ?
6. Peut-on affirmer que comme l’affiche la calculatrice ?
7. Recopier et compléter par les signes « » ou « » ?
(a) (b)
Définition
Soit un nombre positif. Le nombre positif dont le carré est égal à est appelé la racine carrée
du nombre . On note ce nombre .
Remarque
Le symbole est appelé radical.
Exemples
— est un nombre positif et donc .
— est un nombre positif et   , donc q.
— ; .
Remarque
ATTENTION ! La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
Propriétés
Pour tout nombre positif,
et

Exemples
— ;
— .
Remarque
La racine carrée d’un nombre peut ne posséder ni écriture décimale exacte, ni écriture fractionnaire.
Exemple
ne peut pas s’écrire sous la forme d’un nombre décimal ou d’une fraction.
On peut cependant donner une valeur arrondie de ce nombre (arrondi au centième).
Faire les exercices 1 2 3 4 5

II/ Racines carrés et opérations
1) Racines carrées et multiplication
Activité B. Produit de deux racines carrés
Partie A : Conjecture
On considère le triangle suivant :
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1. Quelle est l’aire du triangle ?
2. Démontrer que est un triangle rectangle.
3. Calculer l’aire de ce triangle d’une deuxième manière.
4. En t’aidant des résultats trouvés dans les questions 1 et 3, écrire sous la
forme où est un nombre entier. En déduire un moyen de calculer d’une
autre manière.
5. Recopier et compléter le tableau suivant : q
6. Emettre une conjecture.
Partie B : Démonstration
et sont deux nombres positifs.
1. Montrer que   .
2. Que dire du signe de ?
3. En déduire que q.
Remarque
Dans un produit, le signe peut parfois être sous-entendu.

Exemple
.
Propriété
Pour tous nombres et positifs, .
Autrement dit, le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit.
Exemple
Faire les exercices 6