CHAPITRE Racines carrées Objectifs du chapitre. Énigme du chapitre. On remarque que : s r 13 + r q 3+ 7+ 7+ q 3+ q 3+ 5 p p p 1=2 1=3 1=4 En vous inspirant de ceci, comment obtenir 15 grâce à des racines imbriquées ? — Savoir que, p si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont lepcarré est p a et utiliser les égalités : ( a )2 = a , a 2 = a . — Sur des exemples numériques, où a et b sont des pa les p nombres p a utiliser p ppositifs, p égalités ab = a b, = (b b b non nul). I/ Racine carrée d’un nombre positif Activité A. Racine carrée d’un nombre positif 1. Recopier et compléter le tableau suivant : 4 a a2 2 1 0 1 2 3 4 2. Quels nombres a pour carré : (a) 4 (b) 16 (c) 0 (d) 0;01 (e) 9 25 3. Un nombre strictement négatif peut-il être le carré d’un nombre ? Justifier. 4. Définition : La racine carrée d’un nombre a est le nombre positif dont le carré est égal p à a. Ce nombre est noté a. Recopier et compléter (il peut y avoir deux possibilités) : p (p3)) = : : : (c) 3 = : : :. p 5. Comment peut-on vérifier que 13;69 = 3;7 ? p 6. Peut-on affirmer que 5 = 2;236067977 comme l’affiche la calculatrice ? 7. Recopier et compléter par les signes « = » ou « » ? p p (a) 7 : : : 2;645 (b) 6;110784 : : : 2;472 (a) 3 = : : :, donc p: : : = 3. 2 2 (b) 2 Définition Soit a un nombre positif. Le nombre positif dont le carré est égal à p du nombre a. On note ce nombre a. Remarque Le symbole p est appelé radical. 3 = 9 donc p9 q= 3. = , donc = Exemples — est un nombre positif et 2 2 — 32 est un nombre positif et 23 p p — ; . 3 1=1 0=0 9 4 9 4 3 2 . Remarque ATTENTION ! La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas. Propriétés Pour tout nombre a positif, p a2 = a et (pa) = a: 2 a est appelé la racine carrée Exemples p — p; ; — 4 51 = 4;51 ; ( 0 473) = 0;273. 2 2 Remarque La racine carrée d’un nombre peut ne posséder ni écriture décimale exacte, ni écriture fractionnaire. Exemple p ne peut pas s’écrire sous la forme d’un nombre décimal ou p d’une fraction. On peut cependant donner une valeur arrondie de ce nombre ; (arrondi au centième). 7 Faire les exercices 1 2 3 4 F 5 F 7 2 65 II/ Racines carrés et opérations 1) Racines carrées et multiplication Activité B. Produit de deux racines carrés Partie A : Conjecture On considère le triangle P OM suivant : P 6 M H O 9 4 1. Quelle est l’aire du triangle 2. Démontrer que P OM ? P OM est un triangle rectangle. 3. Calculer l’aire de ce triangle d’une deuxième manière. 5. Recopier et compléter le tableau suivant : a b 9 16 100 64 25 4 q a b p p 6. Emettre une conjecture. Partie B : Démonstration a et b sont deux nombres positifs. 1. Montrer que 2 a b = 2. Que dire du signe de 3. En déduire que q Remarque Dans un produit, le signe a b a b = . a ? p p . b a b peut parfois être sous-entendu. a b p 117 p p52 sous la 117 52 d’une p 4. En t’aidant des résultats trouvés dans les questions 1 et 3, écrire p forme c où c est un nombre entier. En déduire un moyen de calculer autre manière. Exemple p 2 6 = 6 p2 = 6p2. Propriété p p pa b. Pour tous nombres a et b positifs, a b Autrement dit, le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit. = Exemple p p 3 12 = p3 12 = p36 = 6 Faire les exercices 6 2) Racines carrées et division Activité C. Quotient de deux racines carrées Partie A : Conjecture On considère la figure suivante constituée des triangles B CAB et CA0 B 0 . A C A 1. Calculer la valeur de AB A0 B 0 0 B 0 . 2. En utilisant la définition d’une racine carrée, écrire le résultat précédent sous la forme où a et b sont des entiers positifs avec b 6 . 0 0 3. Calculer AB et A B . p32 p72 . 4. Comparer les deux écritures de AAB 0 B 0 et trouver un moyen pour simplifier 5. Recopier et compléter le tableau suivant : =0 a b 16 4 100 64 81 9 p ab pa pb 6. Emettre une conjecture. Partie B : Démonstration a et b sont deux nombres positifs. (p p ) = a b 2 a b. 1. Montrer que p p 2. Que dire du signe de a b ? p pa pb . 3. En déduire que a b = Propriété q p a Pour tous nombres a et b positifs, avec b 6 , pba . b Autrement dit, le quotient de deux racines carrées est égal à la racine carrée du quotient. =0 Exemple s p p p18 = 18 = 2 9 = 3. 2 Faire les exercices 7 = q a b 3) Racines carrées et addition Activité D. Racine carrée et addition a = 9 et b = 16. p p 1. Calculer a + b. p 2. Calculer a + b. Soit 3. Les résultats des question 1. et 2. sont-ils égaux ? 4. Peut-on conjecturer une propriété similiaire à celles des activités B et C ? Remarque Il n’existe pas de règle similaire concernant l’addition ou la soustraction de racines carrées. Exemple p — p — — Ainsi 36 + p64 =p6 + 8 ; 36 +p64 = p100 =p10 ; 36 + 64 6= 36 + 64. Faire les exercices 8 9 10 F Problèmes : Faire les exercices 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F Vu au brevet : Faire les exercices 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F