Partiel LCF Oct. 2007 Corrigé

Université Joseph Fourier - Grenoble I Mercredi 24 octobre 2007
UE PHY 111 et PHY 112 - Licence - L1 Partiel de Lois de Conservation
Cette partie de l'épreuve dure 1 heure. Aucun document autorisé. Calculatrice autorisée et nécessaire.
Ce problème ne comporte aucun calcul compliqué et les différentes parties sont partiellement
indépendantes : ne restez pas bloqués sur une question.
On portera une attention particulière aux explications accompagnant les calculs.
Propulsion de la fusée Ariane 5 (+ Corrigé)
Nous allons exprimer l'énergie potentielle de gravité d'un objet en fonction de son altitude. Puis nous
étudierons un modèle simplifié du lanceur de satellites Ariane 5 avec des valeurs à peu près réalistes.
Nous étudierons plus particulièrement les 2 premières étapes de sa propulsion.
A. Energie potentielle de gravité (5 pts)
L'énergie potentielle d'un objet de masse m située à la distance r du centre de la terre s'écrit :
EPot = -
G M
T
m
r
où G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2 est la constante de gravitation universelle, M
T = 5,97.1024
kg est la masse
de la terre, dont le rayon moyen est R
T = 6370 km.
RT
z
z
z = 0
Masse m
r
Terre de
masse MT
1. Pour un objet de masse m situé à l'altitude z au
dessus de la surface de la terre, écrire la relation entre
r, R et z, puis exprimer son énergie gravitationnelle
E en fonction de z.
T
Pot
r = RT + z (0,5 pt)
Soit EPot = -
G M
T
m
r = -
G M
T
m
RT + z
(0,5 pt)
2. Pour z << R
T
, faire un développement au 1
er ordre de EPot
(z) et montrer que cette énergie s'écrit :
EPot ≈ Cte + m 
G M
T
RT2
z. On rappelle que le développement au 1
er
ordre d'une fonction au voisinage de
xo s'écrit : f(x
o
+ ε) ≈ f(xo ) + ε f '(xo) où ε est un infiniment petit.
EPot = -
G M
T
m
RT + z
= -
G M
T
m
RT (1 + z/R
T) = -
G M
T
m
RT
(1 +
z
RT)-1 ≈ -
G M
T
m
RT (1 - z RT)
(1,5 pt)
Soit EPot ≈ -
G M
T
m
RT + m 
G M
T
RT2 z
3. Calculer le terme
G M
T
RT2
et préciser son unité. Commenter.
G M
T
RT2 = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2 x 5,97.1024 kg / (6370.103 m)2 = 9,83 m.s-2
C'est l'accélération de la gravité : g ≈ 9,8 m.s
-2
(1 pt calcul + 0,5 pt unités)
4. La constante qui apparaît dans l'expression de E
Pot
(question 2) a-t-elle une importance ? Expliquer.
Non : l'énergie potentielle est définie à une constante arbitraire près. Avec la définition donnée pour E
Pot,
cette constante vaut : E
Pot(z=0) = -
G M
T
m
RT
(1 pt)
Dans la suite du problème, on utilisera la relation simplifiée E
Pot
= mgz avec g = 9,8 m.s
-2.

B. Décollage grâce aux Étages d'Accélération à Poudre (EAP) (9 pts)
La première étape de la propulsion de la fusée a lieu principalement grâce à deux EAP (boosters). Les
caractéristiques de la phase 1 sont les suivantes :
• Accélération de la gravité : g = 9,8 m.s-2
• Masse totale de la fusée au décollage : m = 750 tonnes
• Altitude au décollage : zo = 0
• Vitesse à la fin de la première phase : v1 = 5000 km/h
• Durée de la première phase : t1 = 130 secondes
z
zo = 0
EAP
Suite au verso......
1. On suppose que l'accélération a de la fusée est constante pendant la phase 1. Donner l'expression
littérale de la vitesse v(t).
v(t) = v
o
+ at avec v(t=0) = v
o
= 0 soit v(t) = at (1 pt)
2. A la fin de la phase 1 la vitesse de la fusée est v
1 =
5000 km/h. Exprimer, puis calculer l'accélération a
avec son unité.
a = v(t) / t = v
1 / t1 = 5000.103 m / (3600 s x 130 s) = 10,7 m.s-2
(1 pt)
3. Donner l'expression littérale de l'altitude de la fusée en fonction du temps. Calculer l'altitude atteinte à
la fin de la phase 1, c'est à dire pour t
1 = 130 s.
z(t) = ∫
o
t
v(t).dt = ∫
o
t at.dt = 1
2 at2
(1 pt)
z(t=130 s) = 1
2 at2 = 1 2 x 10,7 x 1302 ≈
90,3 km (0,5 pt)
4. Déduire de la question 3 l'expression littérale de l'énergie potentielle E
Pot
de la fusée en fonction du
temps.
EPot = m.g.z(t) = 1
2 m.g.a.t2
(1 pt)
5. Donner l'expression littérale de l'énergie cinétique E
Cin de
la fusée en fonction du temps et en déduire
l'expression littérale de l'énergie mécanique E
Méc
en fonction du temps.
ECin = 1
2
m.v(t)
2 = 1
2 m.a2.t2
(1 pt)
Soit EMéc = 1
2 m.a.(a + g).t2
(1 pt)
6. Calculer l'énergie mécanique E
Méc
nécessaire au cours de la phase 1. Si le rendement des EAP est
ρ = 0,5 quelle est l'énergie totale E
Tot
consommée par les EAP au cours de la phase 1 ?
E
Méc (utile)
= 1
2 m.a (a + g).t2 = 1 2 x 750 000 kg x
10,7 m.s
-2 x (10,7 m.s-2 + 9,8 m.s-2) x (130 s)2
Soit E
Méc (utile)
= 1,39.1012 J (0,5 pt calcul + 0,5 pt unités)
D'où ETot = EMéc / ρ = 1,39.1012 / 0,5 = 2,77.10
12 J
(0,5 pt)
7. En déduire la puissance moyenne P fournie par les EAP au cours de la phase 1. Comparer P à la
puissance électrique totale P
Elec ≈
63 GW fournie par l'ensemble des centrales nucléaires en service en
France.
P = ETot / t1 = 2,77.1012 J / 130 s = 21,3 GW (0,5 pt)
Cette puissance est de l'ordre du tiers de P
Elec
(0,5 pt)
C. Propulsion par l'Étage Principal Cryogénique (EPC) (7 pts)
A la fin de la phase 1, les EAP sont largués et la propulsion se poursuit au moyen d'un moteur
cryogénique. Les caractéristiques de la phase 2 sont les suivantes :

• Masse totale de carburant cryogénique (H2 et O2) :
mc = 200 tonnes
• Consommation de carburant cryogénique : D = 250 kg/s
Moteur
cryogénique
• Accélération de la gravité : g = 9,8 m.s-2
• Masse totale de la fusée (sans EAP) : m2 = 240 tonnes
• Altitude de départ seconde phase : z1 = 90 km
z
z1
• Vitesse au début de la phase 2 : v2 = 5000 km/h
La réaction de combustion dans le moteur cryogénique s'écrit : H2 +
1
2 O2 → H2
O. Cette réaction libère
285 kJ par mole d'eau produite.
1. Exprimer et calculer l'énergie thermique Q (en J/kg) libérée par la combustion de 1 kg de carburant.
1 kg de carburant produit 1 kg d'eau = 1000 g → Q
1 mole d'eau = 18 g → 285.103 J
Q = (1000/18) x 285000 J = 15,8 MJ par kg de carburant. (0,5 pt)
2. La puissance calorifique P
c
dépend de Q et de la masse de carburant consommé par seconde D (qui
s'exprime en kg/s). Effectuer une analyse dimensionnelle de P
c
, Q et D et proposer une relation entre ces
grandeurs.
Pc = Q x D (Watt = J.kg-1 x kg.s-1) (0,5 pt dimension + 0,5 pt expression)
3. Calculer la puissance calorifique P
c si D = 250 kg.s-1.
Pc (Watt) = 15,8 MJ.kg-1 x 250 kg.s-1 = 3,96 GW (0,5 pt)
4. Exprimer et calculer l'autonomie de la phase 2.
Les réservoirs contenant m
c
= 200 tonnes de carburant, le temps mis pour les vider s'écrit :
t2 = mc / D = 200 000 kg / 250 kg.s-1 = 800 s ≈ 13 min et 20 s (1 pt)
5. Si le rendement du moteur est ρ , exprimer la puissance mécanique P
Méc
servant à propulser la fusée.
Calculer P
Méc pour ρ = 0,8.
PMéc = ρ Pc = 3,17 GW (1 pt)
6. Ecrire l'expression vectorielle qui relie la puissance mécanique P
Méc
à la force de poussée
→
F et à la
vitesse instantanée
→
v (t).
PMéc = → F .→ v (t). C'est un produit scalaire (J = N x m/s). (1 pt)
7. Calculer le module de la force de poussée F = ||
→
F || pour v2 = 5000 km.h-1
→
F et → v2 sont colinéaires. On a donc P
Méc = F x v2
Soit : F = PMéc / v
2 = 3,17 GW / (5000.103 m / 3600 s) = 2280 kN
(1 pt)
8. Ecrire un bilan des forces, et indiquer comment va évoluer la vitesse de la fusée au cours de la phase 2.
Au début de la phase 2, la poussée (vers le haut) est F = 2280 kN et le poids (vers le bas) est P = m.g =
240 000 x 9,8 ≈ 2350 kN. |P| > |F| donc la vitesse diminue.
Après 28 secondes, la masse de la fusée n'est plus que de (240 - 7) = 233 tonnes et le poids devient
inférieur à 233 000 x 9,8 = 2280 kN. Le poids devient inférieur à la poussée et la fusée recommence
alors à accélérer. (1 pt)
Total : 21 pt
___________________________