statistiques. - Maths learning

C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S .
S TAT I S T I Q U E S .
1. Vocabulaire.
1.1
Etude statistique.
On effectue une étude statistique sur une population, en étudiant un caractère bien précisé sur les individus de
cette population.
On collecte et on dépouille les données.
Un échantillon est une partie de la population.
1.2
Série statistique :
La liste des valeurs prises (ou modalités) prises par caractère constitue la série statistique.
1.3
Caractère étudié.
C’est l’aspect étudié sur chaque individu.
Le résultat possible (mesure ou réponse) est la valeur du caractère.
1.3.1
1.3.2
Si le caractère étudié prend des valeurs numériques, il est dit quantitatif.
•
Ce caractère quantitatif peut-être discret s’il ne prend que des valeurs isolées et précises.
•
Ce caractère quantitatif est dit continu s’il peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle.
Si le caractère étudié ne prend pas de valeurs numériques, il est dit qualitatif.
Exemple : des opinions, des comportements, des couleurs etc……
EXERCICE 1
Répondre aux
questions
Voici les résultats d’un sondage effectué sur un groupe de 85 élèves.
Estimes-tu que les professeurs sont en général :
•
Trop sévères ?
50%
•
Pas assez sévères ?
47%
•
Sans opinions
3%
1.
Donner la population concernée par cette étude et la taille de l’échantillon étudié.
2.
Préciser le caractère étudié et les valeurs possibles de ce caractère.
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
1
C O U R S
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
1.4
N U M É R I Q U E S
Effectif et fréquence.
•
L’effectif d’une modalité, est le nombre d’individus de la population ayant cette modalité.
•
La fréquence de la modalité est le quotient de l’effectif de cette modalité par l’effectif total.
On calculera :
effectif de la modalité n
=
effectif total
N
fréquence de la modalité =
N.B. On aura toujours : 0 ≤ f ≤ 1
On appelle distribution des fréquences, l’ensemble des fréquences de toutes les modalités.
N.B. : La somme des fréquences d’une distribution est égale à 1
EXERCICE 2
Répondre aux
questions.
On a étudié l’âge des élèves d’une classe de seconde.
Compléter la ligne des fréquences du tableau suivant : (arrondir les résultats à 10−2 )
Âge
14
15
16
17
18
Effectif
3
14
11
5
1
Total
Fréquences
1.5
Fréquence cumulée croissante.
On appelle fréquence cumulée croissante (resp.décroissante) associée à la modalité xi , la somme des fréquences
dont la modalité est inférieure ou égale à xi
EXERCICE 3
Répondre aux
questions ;
Sur une commune, on a recensé les surfaces, xi , des terres agricoles de l’ensemble
des exploitations et l’on a obtenu les résultats suivants :
Surface xi (en ha)
Nombre d’exploitations
]0 ; 15]
]15 ; 30 ]
]30 ; 45]
]45 ; 60 ]
]60 ; 100 ]
5
14
8
2
1
Etablir un tableau faisant apparaître les effectifs et les fréquences cumulées croissantes.
Surface inférieure ou égale à xi
15
30
45
60
100
Effectif cumulé croissant
Fréquence cumulée croissante
www.maths-learning.fr
2
C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S .
Etendue
L’étendue d’une série statistique est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère.
EXERCICE 4
A chercher
On considère les deux séries suivantes, qui se situent dans une classe de seconde :
•
Série 1 : Répartition des notes au dernier contrôle de Math en seconde 1.
Note ( xi )
2
5
8
9
10
11
12
14
16
19
Nombres d’élèves ( ni )
1
3
4
6
6
4
3
2
3
2
Total
Fréquences ( f i )
Fréquences cumulées
croissantes
•
Série 2 : Répartition des différentes tailles des élèves de la classe, en seconde 2.
[115 ; 135[ [135 ; 145[
Taille (en cm)
Nombre d’élèves ( ni )
3
11
[145 ; 155[
[155 ; 165[
[165 ; 185[
[185 ; 195[
8
7
3
1
Total
Fréquences ( f i )
Fréquences cumulées
croissantes
1.
Quelle est la population étudiée ?
2.
Quel est le caractère étudié ? Est-il qualitatif ? quantitatif ? Préciser s’il est discret ou continu.
3.
•
Pour la série 1 :
•
Pour la série 2 :
Quel est l’effectif total ?
•
Pour la série 1 :
•
Pour la série 2
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
3
C O U R S
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M É R I Q U E S
2. Représentations graphiques.
2.1
Diagramme en bâton.
On l’utilise pour représenter graphiquement une série statistique de caractère discret.
On place en abscisse les valeurs du caractère, et en ordonnée les effectifs.
Voici le diagramme en bâton de la série 1 de l’exercice précédent.1
y
Série 1 : Notes du dernier contrôle de math
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26x
Q1Med
Q3
-2
2.2
Histogramme.
On l’utilise pour représenter graphiquement une série statistique dont le caractère est continu.
L’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif.
La largeur de chaque rectangle correspond à l’amplitude de l’intervalle de chaque classe (elle est exprimée en
carreaux)
effectif (ou fréquence)
On calcule la densité de chaque classe, selon le rapport :
largeur de l'intervalle
On attribue à l’aire de 1 carreau une valeur (ici : aire de 1 carreau = 1%) puis on divise la densité par cette
valeur pour trouver la hauteur du rectangle.
Voir page suivante la représentation de l’histogramme de la série 2 de l’exercice précédent.
Choisir une unité, en carreaux, sur l’axe des abscisses, et indiquer les amplitudes sur l’axe des abscisses.
Taille (en cm)
[145 ; 155[
[155 ; 165[
[165 ; 185[
[185 ; 195[
Total
33
Nombre d’élèves ( ni )
3
11
8
7
3
1
Fréquence (%)
9,09
33,33
24,24
21,21
9,09
3,03
Largeurs de l’intervalle
(en carreaux)
4
2
2
2
4
2
2,3
16,7
12 ,1
10,6
2,3
1,5
Densité des intervalles
1
[115 ; 135[ [135 ; 145[
Notez la présence de Q1, Med et Q3. Ces valeurs seront expliquées plus loin.
www.maths-learning.fr
4
C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S .
Voici ce que cela donne :2
Série 2 / Taille des élèves de seconde 2
11
8
7
3
115
125
3
135 145 155 165 175
D1Q1 Med Q3
D9
1
185
195
205x
= 1,0 %
EXERCICE 5
Répondre aux
questions
Les 1 202 élèves d’un lycée ont répondu à la question suivante : « A quelle distance du
lycée habitez-vous ? »
Les réponses sont consignées dans les deux premières lignes du tableau suivant, qui est à compléter.
Distance (en
Km)
Effectifs
[0 ; 2[
[2 ; 4[
[4 ; 7[
[7 ; 10[
[10 ; 20[
72
487
567
33
43
Largeur du
rectangle en
carreaux
Hauteur (en
carreaux)
Choix des unités :
•
En abscisses : 2 carreaux = 1 unité. Donc une amplitude de 2, a une largeur de 4 carreaux
•
On choisit que l’aire de 1 carreau représente 10 élèves.
La hauteur du rectangle de largeur 4 sera donc de : 72 ÷ 40 = 1.8 carreaux
2
Les valeurs correspondant à D1, Q1, Med, Q3 et D9 seront expliquées plus loin.
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
5
C O U R S
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M É R I Q U E S
•
On divise les effectifs par 10 fois le nombre de carreaux de la largeur de l’intervalle, pour
trouver la hauteur du rectangle correspondant
On dessine l’histogramme ci-dessous :
0
1
2.3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21x
Diagramme circulaire.
On l’utilise pour représenter une série statistique dont le caractère est discret, ou encore qualitatif.
L’ouverture de l’angle de chaque secteur est proportionnelle à la fréquence de la modalité.
Intéressons nous nous à la situation suivante :
Dans une classe de 32 élèves, le choix de la seconde langue vivante s’est fait de la façon suivante :
Langue
Anglais
Allemand
Espagnol
Total
Effectif
10
18
4
32
10 5
=
32 16
18 9
=
32 16
4 1
=
32 8
1
5
× 360° = 112, 5°
16
9
× 360° = 202, 5°
16
1
× 360° = 45°
8
360°
Fréquence
Angle (en degrés)
On construit le diagramme circulaire suivant :
Choix de la seconde langue
Anglais : 31,25 %
Espagnol : 12,50 %
Allemand : 56,25 %
www.maths-learning.fr
6
C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S .
3. Caractéristiques de position.
3.1
Mode et classe modale.
3.1.1
Le mode d’une série discrète :
C’est la valeur du caractère qui correspond au plus grand effectif.
3.1.2
La classe modale d’une série continue :
C’est la classe qui correspond au plus grand effectif.
Ainsi :
•
Dans le cas de la série 2 de l’exemple précédent, la classe modale est [135 ; 145[
•
Dans le cas de la série 1 de l’exemple précédent, il y a deux modes : 9 et 10.
3.2
La médiane.
3.2.1
Définition :
C’est la valeur du caractère qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif.
3.2.2
Détermination :
3.2.2.1
MÉDIANE D’UNE SÉRIE DISCRÈTE
3.2.2.1.1 Méthode de la liste.
On range les valeurs du caractère par ordre croissant.
•
Si l’effectif total est impair, N = 2n + 1 alors la médiane (Med) est la valeur de rang n + 1
•
Si l’effectif total est pair, N = 2n alors la médiane est la demi somme des valeurs de
caractère n et n + 1
EXERCICE 6
A chercher.
•
Donner, en justifiant, la médiane des séries suivantes :
Série 1
7 ; 9 ; 10 ; 11 ; 15 ; 17 ; 51
•
Série 2
8 ; 10 ; 12 ; 15
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
7
C O U R S
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M É R I Q U E S
3.2.2.1.2 Méthode en utilisant les effectifs
cumulés croissants
On utilisera cette méthode lorsque les valeurs à recopier sont trop nombreuses.
Calculons la médiane de la série 1 de la page 2.
On commence par calculer les effectifs cumulés croissants (ou les fréquences cumulées croissantes), que l’on
regroupe dans un tableau.
On obtient : (complète ce tableau)
Note ( xi )
2
5
8
9
10
11
12
14
16
19
Total
Nombres d’élèves ( ni )
1
3
4
6
6
4
3
2
3
2
34
1
4
Effectifs cumulés
croissants
Rappel :
1 signifie que 1 élève a une note inférieure ou égale à 2
4 signifie que élèves ont une note inférieure ou égale à 5
etc……
Il y a 34 élèves au total, donc la note médiane est située …………………………………………………………
Conclusion : en observant le tableau ci-dessus, on en conclut que la note médiane est :
3.2.2.2
MÉDIANE D’UNE SÉRIE À CARACTÈRE CONTINU.
On se propose de déterminer la médiane de la série 2 vue précédemment.(Taille des élèves)
Comme précédemment, on va utiliser le polygone des fréquences cumulées croissantes
On construit d’abord le tableau des fréquences cumulées croissantes :
Taille (en cm)
[115 ; 135[ [135 ; 145[ [145 ; 155[ [155 ; 165[ [165 ; 185[ [185 ; 195[
Nombre d’élèves ( ni )
3
11
Fréquences ( f i ) en %
9
33
Fréquences cumulées
croissantes en % 3
9
42
8
7
Fréquences cumulées
décroissantes en %4
3
1
Total
33
3
Ensuite on trace le polygone des fréquences cumulées croissantes exprimées en %.(Par commodité)
3
Ici, 9 signifie que 9 % des élèves ont une taille strictement inférieure à 135 cm
33 signifie que 33 % des élèves ont une taille strictement inférieure à 145 cm
4
3 signifie que 3% des élèves ont une taille supérieure ou égale à 185
www.maths-learning.fr
8
C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S .
Reporte tes valeurs et construit ce polygone.
Sur ce graphique, on remarque que le point d’ordonnée 50, a pour abscisse environ ……… . Cette valeur est la
médiane de la série.
Que signifie cette valeur médiane ?
y
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
115
-10
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
Tailles
Voici donné par un logiciel le polygone que tu aurais dû obtenir :
Polygones des fréquences cumulées croissantes (en %)
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
115
-10
120
125
130
135
D1
140
Q1
145 150
Med
155
160
Q3
165
170
D9
175
180
185
190 Tailles
Examine bien ce graphique.
Compte tenu de ce qui a été dit pour la signification de la médiane (Med), a ton avis :
•
Que signifie Q1 ?
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
9
C O U R S
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
•
Que signifie Q3 ?
•
Que signifie D1 ?
•
Que signifie D9 ?
3.3
La moyenne.
3.3.1
Définition ;
N U M É R I Q U E S
Soit une série d’effectif total N et dont les valeurs du caractère sont x1 , x2 ,.....xN
La moyenne x est définie par x =
x1 + x2 + ...... + x N
N
Remarque :
N
La somme x1 + x2 + ...... + xN se note :
∑ xi
et se lit : »somme des xi pour i variant de 1 à N »
i =1
Et donc la moyenne de la série se notera : x =
1
N
N
∑ xi
i =1
La série 8, 10, 12, 15 a pour moyenne :
3.3.2
Calcul d’une moyenne pondérée.
Pour une série statistique quantitative, prenant les valeurs de x1 à x p et connue par la distribution des effectifs
ni (ou des fréquences f i ), la moyenne pondérée est le nombre x calculé par la relation :
x=
1
N
p
∑
p
ni × xi
i =1
ou
x=
∑ fi × xi
i =1
N.B. : si la série est regroupée en classes, on se ramène à un caractère discret en remplaçant chaque classe par
son centre.
EXERCICE 7
Déterminer la moyenne de chacune des séries statistiques suivantes sur un parc
automobile :
A chercher
a)
Nombre de passagers autorisés de 25 véhicules.
4
4
4
5
2
2
4
5
4
4
2
2
6
7
5
5
6
4
2
4
4
7
4
4
4
www.maths-learning.fr
10
C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S .
Pour les calculs, il faut organiser les données dans le tableau suivant :
xi
2
4
5
6
7
Total
ni
ni × xi
On calcule ensuite :
x =
b) Vétusté de 80 véhicules du parc :
Nb d’années xi
[ 0 ; 0,5[
[ 0,5 ; 1[
[1 ; 1,5[
[1,5 ; 2[
[ 2 ; 2,5[
32
21
12
9
6
Effectif ni
Total
Centre des classes ci
ni × ci
On calcule ensuite :
x =
3.3.3
Propriétés de la moyenne.
a)
Linéarité.
•
Si on multiplie toutes les valeurs de la série par un même nombre a, alors la moyenne est
multipliée par a.
Ainsi : si la série x1 , x2 ,............xn a pour moyenne x , alors la série ax1 , ax2 ,............axn a pour moyenne a x
•
Si on ajoute le même nombre b à chacune des valeurs de la série, alors la moyenne est
augmentée de b.
Ainsi : si la série x1 , x2 ............xn a pour moyenne x , alors la série x1 + b, x2 + b,............xn + b a pour moyenne
x+b
Exemples :
1.
Dans une classe la moyenne du contrôle de SVT a été de 8 sur 20.
Le professeur a décidé d’augmenter toutes les notes de 10%
Calculer la nouvelle moyenne.
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
11
C O U R S
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
2.
N U M É R I Q U E S
Dans cette classe la moyenne du contrôle d’hist-géo a été de 7,8.
Le professeur décide d’ajouter un point à chaque élève.
Calculer la nouvelle moyenne.
b) La moyenne des sous-groupes.
Soit une série statistique séparée en deux sous-groupes distincts d’effectifs respectifs n et p
Le premier sous-groupe a pour moyenne z , et le second sous-groupe a pour moyenne y
Dans ce cas la moyenne de la série statistique est :
x=
nz + p y
n+ p
EXERCICE 8
A chercher
Dans une classe de seconde, la moyenne générale des 12 élèves ayant choisi l’option MPI
est 12,74 et la moyenne générale des 18 élèves ayant choisi l’option SES est 11,86
Calculer la moyenne générale de la classe.
c)
Moyenne élaguée.
Lorsque les valeurs extrêmes, maximum ou minimum semblent douteuses, ou ne rentrent pas dans le cadre de
l’étude, on peut faire un calcul de moyenne élaguée en retirant ces valeurs de la série.
EXERCICE 9
A chercher
Observer la série suivante de la répartition des salaires dans une entreprise.
Salaires (en €)
Effectifs
1000
1200
1500
2000
19 000
7
8
3
2
1
La situation est-elle adaptée au calcul d’une moyenne élaguée ? Pourquoi ?
Calculer cette moyenne.
www.maths-learning.fr
12
C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S .
Autre exemple :
La série 7, 9, 10, 11, 15, 17, 51 a pour moyenne :
Refaisons ce calcul en éliminant la valeur 51.
3.4
Choisir un indicateur.
La valeur moyenne est parfois moins intéressante que la valeur médiane.
Par exemple, la moyenne générale d’une classe ne rend pas forcément compte du niveau général de la classe.
Ainsi, deux classes de même moyenne générale peuvent avoir des niveaux très différents. Ce constat se fera
grâce à la valeur médiane.
EXERCICE 10
A chercher
Deux classes de seconde ont eu le même contrôle. Voici les résultats :
•
Classe de seconde 1 :
6 ; 6,3 ; 6,4 ; 6,6 ; 6,9 ; 7 ; 7,2 ; 7,5 ; 8 ; 8,4 ; 19,8 ; 19,9 ; 20
•
Classe de seconde 2 :
0,5 ; 1 ; 1,5 ; 8,9 ; 12 ; 12,5 ; 12,8 ; 13 ; 13,1 ; 13,4 ; 13,6 ; 13,7 ; 14
Calculer la moyenne, puis la médiane de chacune de ces classes, puis interpréter les résultats.
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
13
C O U R S
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M É R I Q U E S
4. Fluctuation d’échantillonnage. Simulation.
4.1
Echantillonnage statistique.
Soit une série statistique formée des résultats d’une expérience, faite n fois, dans les mêmes conditions.
Cette série constitue un échantillon statistique de taille n.
Exemple :
On lance un dé équilibré, numéroté de 1 à 6, et on note le chiffre qui apparaît sur la face supérieure.
On répète cette expérience 100 fois. On obtient un échantillon A, de taille 100.
On a noté les fréquences d’apparition de chaque chiffre.
Chiffre
Fréquence A
1
2
3
4
5
6
0,14
0,17
0,19
0,18
0,17
0,15
C’est le tableau de la distribution des fréquences.
Ainsi, la fréquence de l’évènement « le dé donne 5 » est 0,17
4.2
Fluctuation d’échantillonnage.
On a construit deux échantillons A et B de taille 100, et on a noté pour chaque échantillon la distribution des
fréquences.
Chiffre
1
2
3
4
5
6
Fréquence A
0,14
0,17
0,19
0,18
0,17
0,15
Fréquence B
0,15
0,16
0,16
0,18
0,17
0,18
On constate que les distributions des fréquences des deux échantillons ne sont pas les mêmes.
On appelle cela la fluctuation d’échantillonnage.
La moyenne de l’échantillon A est :
La moyenne de l’échantillon B est :
4.3
Simulation.
Lorsqu’on lance un dé équilibré (expérience précédente), on ne peut pas prévoir à l’avance le résultat.
Le lancer du dé est donc une expérience aléatoire.
Simuler une expérience, c’est choisir un modèle pour cette expérience.
Exemple :
La naissance d’un enfant est assimilée à une expérience aléatoire ayant deux résultats possibles : garçon ou fille.
Supposons que les chances sont égales d’avoir un garçon ou une fille.
Pour simuler la répartition des sexes dans 10 familles de 4 enfants :
•
On lance 4 fois un dé équilibré, et on choisit « fille » si le résultat est pair, et « garçon » si le
résultat est impair
•
On répète 10 fois ces 4 lancers. Chaque groupe de 4 lancers correspondant à une famille de 4
enfants.
www.maths-learning.fr
14
C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M E R I Q U E S .
En répétant cette expérience 100 fois par exemple, on pourrait estimer la fréquence des familles constituées de 2
filles et deux garçons.
5
4.4
Utilisation de la fonction RAND d’une calculatrice.
C’est une fonction qui va sortir au hasard un nombre décimal de l’intervalle [ 0 ;1[ comprenant 10 chiffres après
la virgule
Exemple de situation :
On voudrait étudier la fréquence de répartition des sexes à l’issue de 50 naissances.
•
Si on sort 0, 2, 4, 6, 8 on associe une fille
•
Si on sort 1, 3, 5, 7, 9 on associe un garçon.
Chaque chiffre du nombre sera interprété en « garçon » ou « fille »
Il suffira de tirer 5 nombres par RAND, pour simuler 50 naissances. (s’il n’y a que 9 chiffres après la virgule on
place 0 en 10ème position)
Réalisons cette expérience.
On a trouvé :
•
Nombre de filles =
soit une fréquence de :
•
Nombre de garçons =
soit une fréquence de :
E XE R C I C E 11
A chercher
Effectuer une simulation de 50 lancers d’une pièce de monnaie, et donner
1°.
la fréquence de « face ».
On va demander à la calculatrice de sortir de façon aléatoire un nombre entier de 1 à 10.
-
si ce nombre est pair : on dira « face »
-
si ce nombres est impair : on dira « pile »
Réglage de la machine : (Casio 35 +)
1 + OPTN F6 NUM Int (10 × EXIT Prob Ran # ) EXE
Chaque appui sur EXE sortira un nombre allant de 1 à 10
5
•
Nombre de « FACE »
•
Fréquence de « FACE »
Avec la Casio 35+, dans le menu Run OPTN, F6 jusqu’à PROB (F3), Ran# (F4), EXE
Avec la TI 89, CATALOG, rand(, ENTER, puis fermer la ) pour obtenir rand(), puis ENTER
Remarque : si votre TI89 est réglée en français, rand() correspond à nbrAléat()
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
15
C O U R S
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M É R I Q U E S
2°. Effectuer une simulation de 50 lancers d’un dé cubique.
Attention : cette fois il faut sortir un entier compris entre 1 et 6
Avec la Casio 35+, 6 × Ran# donnera un nombre décimal compris entre 0 et 6 et INT(6 × Ran# ) donnera un
entier qui est la partie entière du nombre précédent (donc compris entre 0 et 5)
Donc pour avoir un entier compris entre 1 et 6, on tapera 1+ INT(6 × Ran# )
Avec la TI 89, il suffit de placer le nombre 6 dans les parenthèses ran() pour avoir un entier compris entre 1 et
6..
Pour chaque lancer, on note le nombre obtenu.
•
Avec la Casio 35+, il faut taper : 1+ Int(6 × Ran#)
Pour cela : on tape 1 + , puis dans le menu Run OPTN, F6 jusqu’à NUM (F4), Int (F2), puis ouvrir une
parenthèse,et taper 6 × , puis OPTN, F6 jusqu’à PROB (F3) puis F4, et refermer la parenthèse, puis EXE
En tapant EXE 50 fois de suite, on aura les résultats des 50 lancers.
•
Avec la TI 89, il suffit de appuyer sur CATALOG, rand( ), et de rentrer 6 entre les () ,pour
obtenir rand(6) puis ENTER, 50 fois de suite.
Résultats :
Nombre ( xi )
1
2
3
4
5
6
Total
Effectif ( ni )
Fréquence ( f i )
5. Sondage et intervalle de confiance.
5.1
Situation :
Dans une population, on s’intéresse à une sous population qui vérifie un certain critère : par exemple une sous
population qui va voter pour un certain candidat.
On souhaite connaître la proportion p des personnes votant pour ce candidat.
5.2
Méthode :
On sonde un échantillon de cette population.
Le nombre n de personnes sondées est appelé la taille de l’échantillon.
On connaît alors la proportion p des personnes de notre échantillon votant pour le candidat.
En fait, p n’est pas égal à p, car il est une approximation de p.
De plus, à cause des fluctuations d’échantillonnage, la valeur de p n’est jamais la même !
5.3
Théorème :
A la condition que :
1.
La taille de l’échantillon soit strictement supérieure à 30
2.
p appartienne à l’intervalle [ 0,3 ; 0,7 ]
www.maths-learning.fr
16
C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
3.
N U M E R I Q U E S .
On choisisse un individu au hasard, on le sonde et on le remet dans la population avant de sonder
l’individu suivant

1 1 

Alors, il y a 95 % de chances que p appartienne à l’intervalle  p −
; p+

n
n 
On dit encore que le niveau de confiance est de 95 %
L’amplitude de cet intervalle est
2
n
Cet intervalle s’appelle intervalle de confiance.
EXERCICE 12
A chercher.
Un homme politique souhaite connaître ses chances d’être élu lors du deuxième tour d’une
élection.
Quelle taille doit avoir l’échantillon sondé pour obtenir un intervalle de confiance inférieur
à 1 % avec un niveau de confiance de 95 % ?
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
17
C O U R S
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M É R I Q U E S
6. Je me prépare aux contrôles.
6.1
Testons les connaissances essentielles.
6.1.1
Savoir calculer les paramètres d’une série.
Soit la série statistique définie par ce tableau :
Valeur xi
1
2
4
6
7
10
24
Effectif
3
5
15
13
10
3
1
Pour chacune des questions suivantes, choisir la bonne réponse :
Réponses :
6.1.2
A
B
C
D
1.
L’étendue de cette série est :
14
15
23
50
2.
Le mode de cette série est :
4
5
10
15
3.
La moyenne de cette série est :
4
5,5
6
8
4.
La médiane de cette série est :
4
5,5
6
8
5.
La moyenne élaguée de cette série est :
5
5,1
5,4
5,5
Savoir utiliser les propriétés de la moyenne.
La moyenne d’un élève sur les 4 premiers devoirs d’une matière est 10.
Réponses :
6.1.3
A
B
C
D
1.
Si le professeur augmente toutes
les notes d’un point, sa moyenne
devient :
10
11
12
14
2.
Si le professeur augmente toutes
les notes de 10%, sa moyenne devient :
10,1
10,4
11
14
3.
Si l’élève a 15 au cinquième devoir,
sa moyenne devient :
11
12
12,5
13
Savoir concevoir des simulations.
Réponses :
A
B
C
D
1.
La fonction RANDOM de la
calculatrice
fournit aléatoirement :
Un entier
compris
entre 0 et 1
0 ou 1
Un réel
compris
entre 0 et 1
Un entier
compris
entre 0 et
9
2.
Pour simuler avec la calculatrice le
numéro du mois de naissance d’une
personne choisie au hasard, on tape :
Int ( rand ×
12)
ou
int (ran #
× 12)
Int (rand
× 12) + 1
ou
int (ran #
× 12) + 1
Rand × 12
ou
ran # × 12
Int (rand
+ 12)
ou
int (ran #
+ 12)
3.
Que simule-t-on à l’aide de la
calculatrice avec les séquences
int (rand + 0,5) ou int ( ran # + 0,5) ?
Le lancer
d’une
pièce
Le lancer
de deux
pièces
La naissance
d’un
enfant
Le lancer
d’un dé
à 4 faces.
www.maths-learning.fr
18
C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
6.2
Bilan des connaissances.
6.2.1
Une fréquence :
N U M E R I Q U E S .
A. Est toujours dans [ 0 ; 1]
B. N’est jamais égale à 0
C. Dépend de l’effectif total
6.2.2
Soit un échantillon de taille 100.
Compléter le tableau ci-dessous par les effectifs correspondants à chacune des valeurs de la variable statistique :
6.2.3
Valeur
1,2
2,1
3
4,7
5,3
Fréquence
0,19
0,05
0,3
0,25
0,21
La somme des fréquences des valeurs prises par une variable statistique est :
A. Toujours un nombre plus petit que 1
B. Toujours égale à 100
C. Toujours égale à 1
6.2.4
Si on multiplie tous les effectifs d’une série statistique par 1000 alors :
A. Les fréquences restent inchangées
B. Chaque fréquence est multipliée par 1000
C. La médiane reste inchangée
D. La médiane est multipliée par 1000
6.2.5
Si dans une série statistique il y a un même nombre de valeurs positives et de valeurs négatives,
la moyenne est nulle.
A. Vrai
B. Faux
6.2.6
Si trois nombres ont pour moyenne 7 et 5 autres nombres ont pour moyenne 12, la moyenne des
huit nombres est :
A.
(12 + 7 ) ÷ 2
B. 19 ÷ 8
C.
( 3*7 + 5*12 ) ÷ 8
6.2.7
1 000 nombres ont pour moyenne 21 et 2 000 autres nombres ont pour moyenne 21, alors les
3 000 nombres ont pour moyenne :
A. 42
B. 21 ÷ 3000
C. 21
6.2.8
x1, x2 , x3 , x4 , x5 sont cinq nombres de moyenne m, alors :
( x1 − m ) + ( x2 − m ) + ( x3 − m ) + ( x4 − m ) + ( x5 − m ) est égal à :
A. 5m
B. m
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
19
C O U R S
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
N U M É R I Q U E S
C. 0
6.2.9
Si on multiplie toutes les valeurs prises par une variable statistique par 10 alors :
A. La médiane est multipliée par 10
B. La moyenne est multipliée par 10
C. La médiane reste inchangée
D. La moyenne reste inchangée
6.2.10
Si on ajoute 21 à chacune des 100 valeurs prises par une série statistique alors :
A. La moyenne augmente de 21
B. La moyenne augmente de 100 × 21
C. La médiane reste inchangée
D. La médiane est augmentée de 50 × 21
6.2.11
En répétant 100 fois avec une calculatrice int(10*rand) :
A. On obtient 100 nombres entiers distincts
B. On obtient une liste de nombres entiers pouvant prendre toutes les valeurs de
0 à 10.
C. On obtient une liste de 100 chiffres pris au hasard parmi : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;
6;7;8;9
6.2.12
Si dans une liste de chiffres choisis au hasard on élimine un chiffre sur deux :
A. La liste obtenue n’est plus une liste de chiffres au hasard
B. Il n’y a plus que des chiffres soit pairs, soit impairs
C. La liste obtenue est encore une liste de chiffres choisis au hasard
6.2.13
Dans une urne il y a 9 boules rouges et 3 boules noires.
On tire 20 fois une boule de l’urne et on la remet après avoir noté sa couleur.
Au bout des 20 fois, on relève la fréquence d’apparition d’une boule noire. On recommence 10 fois l’expérience.
La fréquence d’apparition d’une boule noire :
A. Sera toujours voisine de 0,25
B. Sera toujours voisine de 0,5
C. Peut sensiblement varier d’une fois sur l’autre
6.2.14
Si l’on jette deux pièces de monnaie bien équilibrée :
A. Il y a autant de chances d’obtenir 0 fois pile que deux fois pile
B. Il y a plus de chances d’avoir deux fois face qu’une fois face.
6.3
Dire si la proposition est vraie ou fausse.
1.
La moitié des valeurs d’une série statistique a une valeur supérieure ou égale à la médiane.
2.
La médiane sépare une série statistique en exactement deux parties de même taille.
3.
La moitié des valeurs d’une série statistique a une valeur supérieure ou égale à la
moyenne.
4.
On considère une série statistique dont la moyenne est 13.
Si on ajoute à cette série la valeur 13, alors la moyenne est inchangée.
www.maths-learning.fr
20
C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
6.4
N U M E R I Q U E S .
5.
La moyenne est toujours inférieure à la médiane
6.
La somme des fréquences d’une série statistique vaut toujours 1.
7.
Les fréquences sont proportionnelles aux effectifs.
8.
Une urne contient 100 boules rouges et 100 boules noires. On prélève au hasard un
échantillon de 50 boules.
On obtiendra 25 boules rouges et 25 boules noires.
Construction d’un histogramme.
On étudie le caractère suivant : l’énergie en calories contenue dans un pot de yaourt allégé de valeur affichée 67
cal.
Quantité d’énergie
en calories.
[56
Effectifs
;60[
40
[60 ; 64[
[64 ; 66[
[66 ;67[
[67;68[
[68 ;74[
[74 ; 76[
24
252
246
248
222
6
• 1ère méthode : on construit des rectangles dont la hauteur est proportionnelle
à l’effectif.
Dans ce cas, quelle semble être sur l’histogramme la classe qui contient le plus de pots ?
Est-ce vrai ? Que penser de cette méthode ?
• 2ème méthode : on construit des rectangles dont l’aire est proportionnelle à
l’effectif de la classe.
Analyse : aire = amplitude × hauteur
Or, si l’aire est proportionnelle à l’effectif, alors : aire = k × effectif
Ainsi : amplitude × hauteur = k × effectif
D’où : hauteur = k ×
Rappel : le rapport
effectif
amplitude
effectif
s’appelle la densité
amplitude
Dans ce cas, cette représentation est-elle conforme visuellement à la répartition étudiée ?
Retenir que :
Dans un histogramme, les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux densités d’effectifs.
6.5
QCM
Dans les questions suivantes, déterminer la (ou les) bonne(s) réponses.
1.
Le salaire moyen des employés d’une entreprise est de 1 600 €. Le directeur décide d’augmenter tous
les employés de 10%, puis le directeur financier décide de baisser tous les employés de 10%.
Finalement, quel est le salaire moyen des employés de cette société ?
A – 1600 €
B – 1936 €
C – 1584 €
D – 1616 €
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
21
C O U R S
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
6.6
N U M É R I Q U E S
On considère le graphique ci-dessous sur la répartition des notes dans une classe.
13
12
11
10
9
effectif
8
7
6
5
4
3
2
1
0
5
7
9
10
11
12
15
note sur 20
6.7
1) L’effectif total vaut :
a 11
b 12
c 35
d 69
2) Le mode vaut :
a 1
b 11
c 12
d 35
Karine est passionnée par les courses de chevaux.
Elle relève le numéro du gagnant de chaque course.
nbre de courses gagnées
Voici ci-dessous le graphique illustrant son relevé.
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6 n° du
7 cheval
8
9
10
11
12
13
14
1) La valeur médiane est :
a 3
b 5
c 7
d 13
2) Le pourcentage de courses gagnées par un cheval portant un numéro inférieur ou égal à 6
est de :
a 42,8 %
b 50 %
c 57,14 %
c 60 %
www.maths-learning.fr
22
C L A S S E
D E
S E C O N D E
A C T I V I T É S
6.8
N U M E R I Q U E S .
Utiliser des moyennes de sous-groupes.
La taille moyenne des 20 garçons d’une classe de seconde est 170,4 cm, celle des 14 filles est de 168,5 cm.
Calculer la taille moyenne des élèves de la classe.
6.9
Utiliser la linéarité de la moyenne.
1.
Calculer rapidement à la main la moyenne m des valeurs suivantes : 331 ; 328 ; 332 ; 335 ; 329
2.
On a observé le prix au kg de différentes variétés de pommes dans un même magasin :
Variétés
Golden
Boskop
Reinette
Canada
Prix au Kg
2,90 €
2,60 €
2,75 €
2,95 €
a.
Calculer le prix moyen des pommes au Kg
b.
Si on applique une augmentation de 0,8 % à tous les fruits, quel sera le prix moyen au Kg des
pommes, dans ce magasin ?
STATISTIQUES
www.maths-learning.fr
23