Solutions

La Soci´et´e math´ematique du Canada
en collaboration avec
Le CENTRE d’´ EDUCATION
en MATH´ EMATIQUES et en INFORMATIQUE
pr´esente
Le D´efi ouvert canadien
de math´ematiques
Financi`ere Sun Life
le mercredi 25 novembre 2009
Solutions
©2009 Soci´et´e math´ematique du Canada

DOCM 2009 – Solutions Page 2
Partie A
1. −1+2−3+4−5+6−7+8−9 + 10 −11 + 12 −13 + 14 −15 + 16 −17 + 18
= (2 −1) + (4 −3) + (6 −5) + (8 −7) + (10 −9) + (12 −11) +
(14 −13) + (16 −15) + (18 −17)
= 1+1+1+1+1+1+1+1+1
= 9
R´ eponse : 9
2. On utilise la valeur positionnelle des chiffres pour repr´esenter 5073 :
5×1000 + 7 ×10 + 3 ou 5 ×103+ 7 ×101+ 3 ×100
Si a= 0, b= 3 et c= 1, alors le membre de gauche de l’´equation donn´ee
(c.-`a-d. 3 ×10a+ 5 ×10b+ 7 ×10c) est ´egal `a 5073.
Aucune autre combinaison des valeurs de a,bet cne peut donner 5073.
Donc a+b+c= 0 + 3 + 1, ou a+b+c= 4.
(On peut d´emontrer que la seule possibilit´e est a= 0, b= 3 et c= 1. On remarque d’abord
que si on divise le membre de droite par 10, il y a un reste de 3. Donc, si on divise le membre
de gauche par 10, il doit y avoir un reste de 3. Si a= 0 et si bet csont sup´erieurs `a 0, alors
dans le membre de gauche, le reste sera ´egal `a 3. Si, en plus de a= 0, on a b= 0 et/ou c= 0,
on peut v´erifier toutes les possibilit´es pour conclure que le reste ne peut ˆetre ´egal `a 3.
Donc, on doit avoir a= 0 et bet cdoivent ˆetre strictement positifs.
On peut ensuite soustraire 3 de chaque membre de l’´equation et diviser chaque membre par 10
pour obtenir la nouvelle ´equation
5×10b−1+ 7 ×10c−1= 507
et r´ep´eter le mˆeme argument pour obtenir c= 1, puis b= 3.)
R´ eponse : 4
3. Solution 1
Supposons que Santo a dpi`eces de 10 ¢.
Puisqu’il a 10 pi`eces de monnaie en tout, il a 10 −dpi`eces de 25 ¢.
Les pi`eces de 10 ¢valent 10dcents et les pi`eces de 25 ¢valent 25(10 −d) cents.
On veut que la valeur des pi`eces de 10 ¢soit plus grande que la valeur des pi`eces de 25 ¢. Donc :
10d > 25(10 −d)
10d > 250 −25d
35d > 250
7d > 50
d > 50
7= 71 7

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Puisque dest un entier, alors d≥8. Donc, le plus petit nombre possible de pi`eces de 10 ¢qu’il
pourrait avoir est 8.
Solution 2
On proc`ede par tˆatonnements de fa¸con syst´ematique.
Si Santo a 4 pi`eces de 25 ¢et 6 pi`eces de 10 ¢, les pi`eces de 25 ¢ont une valeur de 100 cents
(4 ×25) et les pi`eces de 10 ¢ont une valeur de 60 cents (6 ×10). (Un plus petit nombre de
pi`eces de 10 ¢r´eduirait leur valeur totale et augmenterait la valeur totale des pi`eces de 25 ¢.
Donc, le nombre de pi`eces de 10 ¢doit ˆetre sup´erieur `a 6.)
Si Santo a 3 pi`eces de 25 ¢et 7 pi`eces de 10 ¢, les pi`eces de 25 ¢ont une valeur de 75 cents
(3 ×25) et les pi`eces de 10 ¢ont une valeur de 70 cents (7 ×10).
Si Santo a 2 pi`eces de 25 ¢et 8 pi`eces de 10 ¢, les pi`eces de 25 ¢ont une valeur de 50 cents
(2 ×25) et les pi`eces de 10 ¢ont une valeur de 80 cents (8 ×10).
Donc, le plus petit nombre possible de pi`eces de 10 ¢qu’il pourrait avoir est 8.
R´ eponse : 8
4. Solution 1
D’apr`es la condition donn´ee, on veut que 15 ×12 (c.-`a-d. 180) soit divisible par n, que 15nsoit
divisible par 12 et que 12nsoit divisible par 15.
15nest divisible par 12 si 15nest un multiple de 12, c’est-`a-dire s’il existe un entier strictement
positif mtel que 15n= 12m, ou 5n= 4m.
Dans cette ´equation, le membre de droite est divisible par 4. Le membre de gauche doit l’ˆetre
aussi. Donc, ndoit ˆetre divisible par 4.
12nest divisible par 15 s’il existe un entier strictement positif ktel que 12n= 15k, ou 4n= 5k.
Dans cette ´equation, le membre de droite est divisible par 5. Le membre de gauche doit l’ˆetre
aussi. Donc, ndoit ˆetre divisible par 5.
Donc, ndoit ˆetre un multiple de 4 et de 5. Il doit donc ˆetre un multiple de 20.
Puisqu’on cherche la plus petite valeur positive possible de n, on choisit provisoirement n= 20.
On doit v´erifier.
Si n= 20, 15 ×12 (c.-`a-d. 180) est bien divisible par 20, 15 ×20 (c.-`a-d. 300) est bien divisible
par 12 et 12 ×20 (c.-`a-d. 240) est bien divisible par 15.
Donc, la plus petite valeur possible de nest 20.
(On aurait pu, `a la place, commencer par la condition que 180 doit ˆetre divisible par n, ´ecrire
tous les diviseurs positifs de 180, puis v´erifier chacun, en commen¸cant par le plus petit et en
proc´edant en ordre croissant, jusqu’`a ce que l’on trouve un diviseur qui v´erifie les deux autres
conditions.)

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Solution 2
On ´ecrit d’abord 12 et 15 en factorisation premi`ere : 12 = 22·3 et 15 = 3 ·5.
Puisque 12 est un diviseur de 15n, que 12 est divisible par 22et que 15 n’est pas divisible par
2, alors ndoit ˆetre divisible par 22.
Puisque 15 est un diviseur de 12n, que 15 est divisible par 5 et que 12 ne l’est pas, alors ndoit
ˆetre divisible par 5.
Puisque nest un diviseur de 12 ×15, c.-`a-d. de 22·32·5, alors nne peut admettre plus de deux
facteurs 2 et un facteur 5 (car 12 ×15 admet exactement deux facteurs 2 et un facteur 5).
Donc, ndoit ˆetre ´egal `a 22·5, ou 20.
R´ eponse : 20
5. Solution 1
Puisque Maya traverse 20 ponts, elle visite 21 ˆıles en tout. On repr´esente les suites par une
suite de 21 lettres en commen¸cant par la lettre A.
Lorsque Maya est sur l’ˆıle Aou sur l’ˆıle C, elle n’a d’autre choix que de se rendre sur l’ˆıle B,
puisque c’est la seule ˆıle reli´ee `a l’ˆıle Aet la seule ˆıle reli´ee `a l’ˆıle C.
Lorsque Maya est sur l’ˆıle B, elle a deux choix, soit de se rendre sur l’ˆıle Aou de se rendre sur
l’ˆıle C.
Puisque Maya commence sur l’ˆıle Aet qu’elle n’a d’autre choix que de se rendre sur l’ˆıle B, la
deuxi`eme lettre de la suite doit ˆetre un B.
La troisi`eme lettre peut ˆetre un Aou un C, puisque Maya a deux choix `a partir de l’ˆıle B.
Une fois rendue sur l’ˆıle Aou sur l’ˆıle C, elle doit revenir sur l’ˆıle B. Donc, la quatri`eme lettre
est un B.
Elle se retrouve dans la mˆeme situation qu’au d´epart. Il y a donc une r´egularit´e.
`
A partir de la troisi`eme lettre, la lettre dans une position impaire peut ˆetre un Aou un C,
tandis que la lettre dans n’importe quelle position paire doit ˆetre un B.
On peut repr´esenter la suite de lettres comme suit :
A B A
CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA C
Il y a 10 positions dans la suite o`u Maya a 2 choix. Les autres positions sont fixes.
Le nombre de suites possibles des ˆıles que Maya pourrait visiter est ´egal `a 210, ou 1024.
Solution 2
Soit Snle nombre de suites qui commencent dans l’ˆıle Aet qui comprennent ntravers´ees de
ponts. On cherche S20.
On remarque que S2= 2 (les seules suites sont de A`a B`a Aet de A`a B`a C).
On remarque le nombre de suites d’une longueur particuli`ere qui commencent par Aest le
mˆeme que le nombre de suites de la mˆeme longueur qui commencent par C.

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Supposons que Maya s’apprˆete `a faire un trajet de ttravers´ees, t´etant un nombre pair (t≥4).
Il y a Sttelles suites possibles.
Apr`es 2 travers´ees, Maya peut se retrouver sur l’ˆıle Aou sur l’ˆıle Cet il lui resterait t−2
travers´ees `a faire.
Or, qu’elle commence dans l’ˆıle Aou dans l’ˆıle C, il y aurait St−2suites qu’elle pourrait suivre.
Donc St=St−2+St−2= 2St−2. Or :
S20 = 2S18 = 2(2S16) = 22S16 = 23S14 =··· = 29S2= 29(2) = 210 = 1024
Le nombre de suites possibles des ˆıles qu’elle pourrait visiter est ´egal `a 210, ou 1024.
R´ eponse : 210 ou 1024
6. Solution 1
Soit nle nombre de cˆot´es du polygone.
On prolonge le cˆot´e CB vers l’ext´erieur du polygone. Puisque la somme des mesures des angles
ext´erieurs d’un polygone est toujours ´egale `a 360◦, alors ∠ABE =360
n◦, puisqu’il y a n
angles ext´erieurs de mˆeme mesure.
A
BCD
E
Donc ∠ABC = 180◦−360
n◦. Puisque le polygone est r´egulier, cette mesure est aussi celle
de l’angle BCD.
Puisque le polygone est r´egulier, AB =BC et le triangle ABC est isoc`ele.
Donc ∠BAC =∠BCA. Donc :
∠BCA =1
2(180◦−∠ABC) = 1 2180◦−180◦−360 n◦=180 n◦
Or ∠BCD =∠BCA +∠ACD. Donc :
180◦−360
n◦=180 n◦+ 120◦
60 = 540
n
n= 9
Le polygone a donc 9 cˆot´es.
Solution 2
Soit nle nombre de cˆot´es du polygone et Ole centre du polygone.
On joint Oaux sommets A,B,Cet D.
Puisque le polygone est r´egulier, alors les angles au centre intercept´es par les ncˆot´es sont
congrus et la somme de leur mesure est ´egale `a 360◦.