Théorème de Rothstein-Trager

Théorème de Rothstein-Trager
Riffaut Antonin
2013-2014
Théorème 1 (Rothstein-Trager).Soient P, Q ∈Q[X]deux polynômes premiers entre eux, avec
deg P < deg Qet Qsans facteur carré et unitaire. Soit Kune extension de Qdans laquelle on puisse
écrire
ZP
Q=
r
X
i=1
cilog Pi,
où les cisont des constantes distinctes non nulles de K, et où les Pisont des polynômes de K[X]
unitaires, non constants, sans facteur carré et deux à deux premiers entre eux. Alors les cisont les
racines distinctes du polynôme
R(Y) = ResX(P−Y Q0, Q)∈K[Y],
et, pour chaque i, le polynôme Pivaut
Pi= pgcd(P−ciQ0, Q).(1)
Démonstration. Pour tout i∈ {1, . . . , r}, définissons Ui=Qj6=iPj∈K[X]. Par hypothèse,
P
Q=
r
X
i=1
ci
P0
i
Pi
=Pr
i=1 ciP0
iUi
Qr
i=1 Pi
,
en réduisant au même dénominateur, soit
P
r
Y
i=1
Pi=Q
r
X
i=1
ciP0
iUi.
Ainsi, d’une part, Qdivise Qr
i=1 Pi, car Pet Qsont premiers entre eux ; d’autre part, pour tout
i∈ {1, . . . , r},Pidivise QPr
j=1 cjP0
jUj. Comme Pidivise Uj, pour tout j6=i, et comme ci6= 0,
alors Pidivise QP 0
iUi; or Piest premier avec chacun des Pj,j6=i, donc avec Ui; de plus, Piest
premier avec P0
i, car Piest sans facteur carré. Il s’ensuit que Pi|Q, pour tout i∈ {1, . . . , r}, et de
nouveau, comme les Pisont deux à deux premiers entre eux, que Qr
i=1 Pidivise Q. Par conséquent,
Qet Qr
i=1 Pisont associés, et finalement égaux, car tous deux unitaires :
Q=
r
Y
i=1
Pi,
d’où
P=
r
X
i=1
ciP0
iUi.
1

À présent, démontrons que pour tout i∈ {1, . . . , r},Pidivise P−ciQ0. On a
Q0=
r
X
j=1
P0
jUj,
d’où
P−ciQ0=
r
X
j=1
(cj−ci)P0
jUj,
le terme en j=iétant nul, de sorte que Pidivise bien P−ciQ0. Reste à prouver que Pi= pgcd(P−
ciQ0, Q). En effet,
pgcd(P−ciQ0, Q) = pgcd 
P−ciQ0,
r
Y
j=1
Pj
=
r
Y
j=1
pgcd(P−ciQ0, Pj),
puisque les Pjsont deux à deux premiers entre eux. Néanmoins, pour j6=i,
pgcd(P−ciQ0, Pj) = pgcd r
X
k=1
(ck−ci)P0
kUk, Pj!
= pgcd((cj−ci)P0
jUj, Pj)
= 1,
car cj−ci6= 0 par hypothèse, et que Pjest premier avec P0
jet Uj. En conséquence, sachant que nous
avons montré que Pidivise P−ciQ0,
pgcd(P−ciQ0, Q) = pgcd(P−ciQ0, Pi) = Pi,
ce qui vérifie l’égalité (1).
Désormais, démontrons que les racines de R(Y) = ResX(P−Y Q0, Q)sont exactement les ci. Nous
venons de montrer que pour tout i∈ {1, . . . , r},P−ciQ0et Qont un facteur commun non constant
dans K[X], à savoir leur pgcd Pi, si bien que R(ci) = 0.
Il s’agit alors de montrer que si cest une racine de R(Y)dans le corps de décomposition Lde
R(Y)sur K, alors cest l’un des ci. Dire que cest une racine de R(Y)signifie que le pgcd de Pi−cQ0
et Qest non constant dans L[X], notons-le S. Considérons un facteur irréductible Tde Sdans L[X].
D’une part, Tdivise Q=Qr
i=1 Pi, et comme les Pisont deux à deux premiers entre eux, alors T
divise l’un des Pi, disons Pi0. Par ailleurs, Tdivise également P−cQ0=Pr
i=1(ci−c)P0
iUi, donc T
divise (ci0−c)P0
i0Ui0; mais comme Test premier avec P0 i0et Ui0(car Pi0l’est), alors Tdivise ci0−c,
et pour des raisons de degrés, c=ci0. Le théorème est démontré. 
Remarque. On pourra énoncer le théorème de la manière suivante, afin d’écarter le problème de
l’existence des « log Pi» :
Soient P, Q ∈Q[X]deux polynômes premiers entre eux, avec deg P < deg Qet Qsans facteur
carré et unitaire. Supposons qu’il existe des constantes non nulles distinctes c1, . . . , cr∈C, et des
polynômes P1, . . . , Pr∈C[X]unitaires, non constants, sans facteur carré et deux à deux premiers
entre eux, tels que
P
Q=
r
X
i=1
ci
P0
i
Pi
.
Alors les cisont les racines distinctes du polynôme
R(Y) = ResX(P−Y Q0, Q)∈C[Y],
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et, pour chaque i, le polynôme Pivaut
Pi= pgcd(P−ciQ0, Q).
Références
[SP] Philippe Saux Picart,Cours de calcul formel : Algorithmes fondamentaux, Ellipses, 1999.
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