1 Généralités sur les groupes

Agrégation Interne de Mathématiques
Université de La Rochelle
Jean-Philippe Furter
octobre 2010
Quelques points d’algèbre générale
1. Généralités sur les groupes
2. Groupes quotients
3. Groupes diédraux
4. Actions de groupes
5. Généralités sur les anneaux
6. Anneaux quotients
7. Théorème chinois et indicatrice d’Euler
8. Généralités sur les corps
9. Elements algébriques et éléments transcendants
10. Anneaux euclidiens (hors programme)
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Généralités sur les groupes
1. Groupes
Définition 1. Soit E un ensemble. On appelle loi de composition (interne) de E, toute
application f : E × E → E.
Comme son nom l’indique, une loi de composition interne de E permet de composer
(ou si l’on préfère "multiplier") les éléments de E. La plupart du temps, on utilisera donc
une notation du style x ∗ y ou x.y ou xy au lieu de f (x, y).
Exemples. Prenons E = R. Par définition, une loi de composition interne de R est une
application f : R × R = R2 →
R.
(x, y)
7→ f (x, y)
On peut prendre
1) f (x, y) = x ; 2) f (x, y) = y ; 3) f (x, y) = x + y ; 4) f (x, y) = xy ;
5) f (x, y) = x2 + y 2 .
Définition 2. Un groupe est un couple (G, .) où G est un ensemble et . une loi de
composition interne de G satisfaisant les 3 axiomes suivants :
G1. Associativité : ∀ (g1 , g2 , g3 ) ∈ G3 , g1 .(g2 .g3 ) = (g1 .g2 ).g3 ;
G2. Existence d’un élément neutre : ∃ e ∈ G, ∀g ∈ G, g.e = e.g = g ;
G3. Existence d’un inverse : ∀ g ∈ G, ∃ g 0 ∈ G, g.g 0 = g 0 .g = e.
1
Remarques. 1. Si G satisfait uniquement G1 et G2, on dit que G est un monoïde ou
semi-groupe.
2. Un groupe est en toute rigueur un couple (G, .). Cependant, quand la loi . est
implicite, nous dirons abusivement que G est un groupe.
Propriétés. 1. Unicité de l’élément neutre.
En effet, si e et e0 sont des éléments neutres, on a e = e.e0 = e0 .
L’élément neutre d’un groupe est souvent désigné par 1 au lieu de e.
2. Unicité de l’inverse. Si g 0 et g 00 sont des inverses de g, on a g 0 = g 0 .1 = g 0 .(g.g 00 ) =
0
(g .g).g 00 = 1.g 00 = g 00 .
L’inverse de g est usuellement désigné par g −1 .
3. On a ∀ g ∈ G, (g −1 )−1 = g et ∀ (g, h) ∈ G2 , (gh)−1 = h−1 g −1 .
4. Dans un groupe, tout élément est simplifiable.
Cela signifie qu’étant donnés g, x, y ∈ G, on a
gx = gy =⇒ x = y (g est simplifiable à gauche) et
xg = yg =⇒ x = y (g est simplifiable à droite).
En effet, en multipliant l’égalité gx = gy par g −1 à gauche, on obtient g −1 gx = g −1 gy,
i.e. 1x = 1y, i.e. x = y.
On montrerait de même que g est simplifiable à droite.
Exemples. 1. Pour chacune des 5 lois de composition interne définies précédemment,
dire si les axiomes G1, G2, G3 sont vérifiés. Dans quel cas obtient-on une structure de
groupe ?
2. Parmi les couples suivants, lesquels sont des groupes ? (R, +) ; (R, ×) ; (R∗ , ×) ;
∗
(R+ , ×) ; (N, +) ; (Z, +) ; (Z, ×) ; (Z∗ , ×), ({−1, 1}, ×).
3. Si E est un ensemble quelconque, l’ensemble E E des applications de E dans E, muni
de la loi de composition est un monoïde (il est connu que la composition est associative,
de plus IdE est élément neutre de (E E , ◦)). Par contre, une application quelconque de E
dans E possède un inverse pour la composition si et seulement si elle est bijective. Cela
explique que l’ensemble des permutations de E (ie bijections de E dans E) muni de la
loi de composition est un groupe. On le notera (Per(E), ◦) ou Per(E).
Si En = {1, . . . , n}, alors le groupe des permutations de En s’appelle le n-ème groupe
symétrique et on le dénote Sn .
Définition 3. On dit qu’un groupe G est commutatif (ou abélien) si :
∀ (g, g 0 ) ∈ G2 , gg 0 = g 0 g.
Notation. Si G est un groupe abélien (et uniquement dans ce cas), on pourra utiliser
des
 notations additivesau lieu de multiplicatives pour G. C’est-à-dire que l’on notera
 g1 + g2
 g1 g2
−g
g −1 .
au lieu de


0
1
L’élément −g sera alors souvent appelé l’opposé de g au lieu de son inverse.
2
Deux exemples de construction de groupes. 1. Si G et H sont deux groupes, alors on
peut définir une structure de groupe sur G × H en posant (g1 , h1 ).(g2 , h2 ) = (g1 g2 , h1 h2 ).
2. Si (G, .) est un groupe, alors en munissant G de la loi ∗ définie par g ∗ g 0 = g 0 g,
on obtient une autre structure de groupe sur G. Ce nouveau groupe s’appelle le groupe
opposé de G et se dénote Gop .
Exercice. Soit (G, .) un ensemble muni d’une loi de composition interne tel que
(G1 ) ∀(g1 , g2 , g3 ) ∈ G3 , g1 (g2 g3 ) = (g1 g2 )g3 ;
(G’2 ) ∃e ∈ G, ∀g ∈ G , ge = g (existence d’un élément neutre à droite) ;
(G’3 ) ∀g ∈ G, ∃g 0 ∈ G, gg 0 = e (existence d’un inverse à droite).
Montrer que (G, .) est un groupe.
Si g ∈ G, appelons g 0 un élément tel que gg 0 = e et g 00 un élément tel que g 0 g 00 = e.
On pourra utiliser l’identité eg = ege = egg 0 g 00 pour montrer que eg = g (axiome(G2 ))
et que g = g 00 (axiome (G3 )).
Réponse. On a tout d’abord eg = egg 0 g 00 = eeg 00 = eg 00 = gg 0 g 00 = ge = g et ensuite
g 00 = eg 00 = gg 0 g 00 = ge = g.
2. Sous-groupes
Définition 4. On dit qu’un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de (G, .) (et on
note H < G) si H est stable par composition (ie ∀(h, k) ∈ H 2 , hk ∈ H) et H muni de la
loi induite est un groupe.
Théorème 1. Soit H ⊂ G, alors H est un sous-groupe de G si et seulement si
(1) : 1 ∈ H ;
(2) : ∀ (h, k) ∈ H 2 , hk −1 ∈ H.
De plus, on peut remplacer la condition (1) par la condition
(1’) : H 6= ∅
et/ou la condition
(2) par la condition
(i) ∀ (h, k) ∈ H 2 , hk ∈ H
(2’) :
(ii) ∀ h ∈ H, h−1 ∈ H
1
Preuve. Il suffit de montrer que (H sous-groupe) =⇒
0
(1 )
4
5
=⇒
=⇒ (H sous-groupe).
(2)
(1)
2
=⇒
(2)
(1)
3
=⇒
0
(2 )
(10 )
(20 )
1ère implication : soit e l’élément neutre de H, montrons que e = 1 (où 1 est l’élément
neutre de G). Or e.e = e, d’où e = 1 en simplifiant par e, donc 1 ∈ H. De plus, si h ∈ H,
montrons que h−1 ∈ H. Comme H est un groupe, h admet un inverse h0 dans H. On a
donc hh0 = 1, d’où h0 = h−1 , d’où h−1 ∈ H. Finalement, quels que soient h, k ∈ H, on a
h, k −1 ∈ H, d’où hk −1 ∈ H.
3
2ème implication : en appliquant (2) avec h = 1, on voit que ∀ k ∈ H, k −1 ∈ H.
Dès lors, quels que soient h, k ∈ H, on a h, k −1 ∈ H et en appliquant (2), il vient
−1
h(k )−1 = hk ∈ H.
3ème implication : cela provient de l’implication (1) =⇒ (1’) qui est évidente.
4ème implication : cela provient de l’implication (2’) =⇒ (2) qui est presque évidente.
En effet, si h, k ∈ H, alors h, k −1 ∈ H par (ii), donc hk −1 ∈ H par (i).
5ème implication : on suppose que H vérifie (1’) et (2) ; on veut tout d’abord montrer
que H est stable pour la loi de composition, puis que H muni de la loi induite est un
groupe.
Par (1’), on sait que H possède au moins un élément h0 . Dès lors, (2) montre que
h0 h−1
0 = 1 ∈ H, donc (1) est vérifié.
L’implication 2 montre que (2’) est vérifié. En particulier, (2’)(i) signifie que H est
stable par la loi de composition.
Montrons maintenant que (H, .) est un groupe.
L’associativité est évidente car la relation ∀ (g1 , g2 , g3 ) ∈ G3 , g1 (g2 g3 ) = (g1 g2 )g3
implique trivialement ∀ (g1 , g2 , g3 ) ∈ H 3 , g1 (g2 g3 ) = (g1 g2 )g3 (car H ⊂ G !).
Il est clair que 1 est élément neutre de (H, .) (car 1 est élément neutre de G et l’on a
déjà vu que 1 ∈ H).
Finalement, si h ∈ H, il est clair que h−1 est un inverse de h dans H.
Exemples. {1} et G sont des sous-groupes de G. On les qualifie de sous-groupes triviaux.
Exercice. Les sous-groupes de (Z, +) sont de la forme nZ où n ∈ N..
Réponse. Soit H < Z. Montrons qu’il existe n ∈ N tel que H = nZ.
Si H = {0}, alors H = 0Z.
Sinon, on a H ∩ N∗ 6= ∅ (car H possède un élément non nul et quitte à prendre
l’opposé de cet élément, on peut toujours supposer qu’il est strictement positif). Posons
alors n = min H ∩ N∗ et montrons que H = nZ.
On a n ∈ H, donc < n >= nZ ⊂ H.
Réciproquement, si m ∈ H, on peut écrire m sous la forme m = qn+r où (q, r) ∈ Z×Z
et 0 ≤ r < n. Or r = m − qn ∈ H, donc r = 0, d’où m = qn ∈ nZ.
Exemples de sous-groupes de (C∗ , ×) :
1. ({1, −1}, ×).
2. Le groupe des racines n-èmes de l’unité : (µn , ×) où µn
=
n
{z ∈ C, z = 1}.
3. Le groupe des nombres complexes de module 1 : (S 1 , ×) où S 1 = {z ∈ C, |z| = 1}.
Exercice. Tout sous-groupe fini de C∗ est inclus dans S 1 .
4
Réponse. Soit H un sous-groupe fini de C∗ et soit z ∈ H. On a ∀ n ∈ N, z n ∈ H, donc
il existe des entiers naturels distincts m et n tels que z m = z n . Quitte à échanger m et
n, on peut supposer que m > n. En prenant les modules, on obtient |z|m = |z|n , d’où
|z|m−n = 1, d’où |z| = 1.
On pourrait en fait montrer que tout sous-groupe fini de C∗ est égal à un certain µn .
3. Morphismes de groupes
Définition 5. Soient G et G0 deux groupes et soit ϕ : G → G0 une application. On dit
que ϕ est un morphisme (ou homomorphisme) de groupes si ϕ est compatible avec les
structures de groupes de G et G0 , i.e.
∀ (g, h) ∈ G2 , ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h).
Désignons par 1 (resp. 10 ) l’élément neutre de G (resp. G0 )
Définition 6. Si ϕ : G → G0 est un morphisme de groupes, on pose ker(ϕ) =
ϕ−1 ({10 }) = {g ∈ G, ϕ(g) = 10 } et Im(ϕ) = ϕ(G) = {ϕ(g), g ∈ G}.
Propriétés. 1. ϕ(1) = 10 .
En effet, ϕ(1) = ϕ(1.1) = ϕ(1)ϕ(1), d’où le résultat en simplifiant par ϕ(1).
2. ∀ g ∈ G, ϕ(g −1 ) = ϕ(g)−1 .
En effet, ϕ(g)ϕ(g −1 ) = ϕ(gg −1 ) = ϕ(1) = 10 .
3. ker ϕ < G.
En effet, 1 ∈ ker ϕ et si g, h ∈ ker ϕ, alors ϕ(gh−1 ) = ϕ(g)ϕ(h)−1 = 10 (10 )−1 = 10 , donc
gh−1 ∈ ker ϕ.
4. ϕ est injective si et seulement si ker ϕ = {1}.
Si ϕ est injective, on a quel que soit g ∈ G, ϕ(g) = 10 ⇐⇒ ϕ(g) = ϕ(1) ⇐⇒ g = 1, donc
ker ϕ = {1}.
Réciproquement, si ker ϕ = {1}, alors quels que soient g, h ∈ G, on a ϕ(g) = ϕ(h) ⇐⇒
ϕ(g)ϕ(h)−1 = 10 ⇐⇒ ϕ(gh−1 ) = 10 ⇐⇒ gh−1 = 1 ⇐⇒ g = h.
5. Im(ϕ) < G0 .
On a 10 = ϕ(1) ∈ Im(ϕ). De plus, si g 0 , h0 ∈ Im(ϕ) alors il existe g, h ∈ G tels que
ϕ(g) = g 0 et ϕ(h) = h0 . D’où g 0 h0 −1 = ϕ(g)ϕ(h)−1 = ϕ(gh−1 ) ∈ Im(ϕ).
6. ϕ est surjective si et seulement si Im(ϕ) = G0 .
Définition 7. On dit qu’un morphisme de groupes ϕ : G → G0 est un isomorphisme
s’il admet un morphisme réciproque, i.e. s’il existe un morphisme de groupe ψ : G0 → G
tel que ψ ◦ ϕ = IdG et ϕ ◦ ψ = IdG0 .
Proposition. Soit ϕ : G → G0 un morphisme de groupes, alors ϕ est un isomorphisme
si et seulement si ϕ est bijectif.
Preuve. S’il exsite un morphisme ψ tel que ψ ◦ ϕ = IdG et ϕ ◦ ψ = IdG0 , l’égalité
ψ◦ϕ = IdG montre que ϕ est injectif (car ϕ(g) = ϕ(h) =⇒ ψ(ϕ(g)) = ψ(ϕ(h)), i.e. g = h),
5
tandis que l’égalité ϕ ◦ ψ = IdG0 montre que ϕ est surjectif (car ∀ g 0 ∈ G0 , g 0 = ϕ(ψ(g 0 )),
donc g 0 admet un antécédent par ϕ qui est ψ(g 0 )).
Réciproquement, si ϕ est bijectif, désignons par ϕ−1 la bijection réciproque de ϕ. On
sait que ϕ−1 ◦ ϕ = IdG et ϕ ◦ ϕ−1 = IdG0 . La seule chose à vérifier est donc que ϕ−1 est
un morphisme de groupes, i.e.
∀ (g 0 , h0 ) ∈ H 2 , ϕ−1 (g 0 h0 ) = ϕ−1 (g 0 )ϕ−1 (h0 )
.
Mais comme ϕ est injectif, il suffit de vérifier que
ϕ(ϕ−1 (g 0 h0 )) = ϕ(ϕ−1 (g 0 )ϕ−1 (h0 )).
Cela revient à vérifier que
ϕ(ϕ−1 (g 0 h0 )) = ϕ(ϕ−1 (g 0 ))ϕ(ϕ−1 (h0 )),
ce qui est évident.
Corollaire de la preuve. Si ϕ est un isomorphisme, alors ϕ−1 aussi.
Propriétés. 1. La composition (quand elle est possible !) de deux morphismes est un
morphisme.
2. la composition (quand elle est possible) de deux isomorphismes est un isomorphisme.
Nous dirons que deux groupes G et G0 sont isomorphes s’il existe un isomorphisme
ϕ : G → G0 . Nous noterons alors G ' G0 et même G ' G0 si l’on veut se rappeler que ϕ
ϕ
réalise un tel isomorphisme. La relation d’isomorphie est une relation d’équivalence sur
les groupes. On pourra souvent identifier deux groupes qui sont isomorphes.
Définition 8. Si ϕ : G → G est un isomorphisme, on dit encore que ϕ est un automorphisme de G. L’ensemble des automorphismes de G sera désigné par Aut(G).
Propriété. L’ensemble Aut(G) muni de la loi de composition naturelle des automorphismes est un groupe (Aut(G), ◦).
Théorème 2. Soit G un groupe.
1. Quel que soit g ∈ G, l’application ϕg : G → G, x 7→ gxg −1 est un automorphisme
de G :
Quels que soient x, y ∈ G, on a ϕg (xy) = g(xy)g −1 = (gxg −1 )(gyg −1 ) = ϕg (x)ϕg (y),
donc ϕg est un morphisme (de groupes).
De plus, ϕg (x) = 1 ⇐⇒ gxg −1 = 1 ⇐⇒ x = g −1 g = 1 donc ϕg est injective.
Enfin, si y est un élément quelconque de G, alors x est un antécédent de y pour ϕg si et
seulement si ϕg (x) = y ⇐⇒ gxg −1 = y ⇐⇒ x = g −1 yg, donc ϕg est surjective.
Les automorphismes ϕg s’appellent les automorphismes intérieurs de G.
2. L’application ϕ : G → Aut(G), g 7→ ϕg est un morphisme de groupes.
Il suffit de vérifier que ϕgh = ϕg ◦ ϕh , i.e.
6
∀ x ∈ G, ϕgh (x) = ϕg (ϕh (x))
⇐⇒ (gh)x(gh)−1 = g(hgh−1 )g −1 .
Définition 9. Soit G un groupe et g ∈ G. On définit g n pour n ∈ N par les relations
g 0 = 1 et ∀ n ∈ N∗ , g n = g n−1 .g. Ou, si l’on préfère g n = g . . . g . Si n est un entier
| {z }
n
strictement négatif, on pose g n = (g −n )−1 .
Théorème 3. Soit G un groupe et g ∈ G. On a ∀ (m, n) ∈ Z2 , g m+n = g m g n . Cela
revient à dire que l’application ϕ : Z → G, n 7→ g n est un morphisme de groupes.
Comme ker ϕ est un sous-groupe de Z, il existe un entier n ≥ 0 tel que ker ϕ = nZ.
On distingue alors deux cas.
1er cas : n > 0. Alors n est le plus petit entier strictement positif tel que g n = 1. On
appelle n l’ordre de g et on écrit O(g) = n.
2ème cas : n = 0. Alors ϕ est injective. On a g m 6= 1 pour tout entier m > 0. On dit
que g est d’ordre infini et l’on écrit O(g) = +∞.
Remarque. Dans tous les cas, on a O(g) = | < g > |, où < g > désigne le sous-groupe
engendré par g, i.e. < g >= {g k , k ∈ Z}.
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2
Groupes quotients
1. Rappel sur les relations d’équivalence
Si X est un ensemble et R une relation d’équivalence sur X, l’ensemble des classes
d’équivalence de X modulo R est classiquement désigné par X/R. On dispose alors de
la surjection canonique π : X → X/R qui associe à tout élément de X sa classe
d’équivalence modulo R. De plus, si f : X → Y est une application compatible avec
R (i.e. satisfaisant x1 Rx2 =⇒ f (x1 ) = f (x2 )), alors il existe une unique application
f : X/R → Y telle que f = f ◦ π. On dit que l’on a obtenu f à partir de f en passant
au quotient (modulo R).
2. Relation d’équivalence compatible avec la loi de groupe
Définition. On dit qu’une relation d’équivalence R définie sur un groupe G est compatible avec la loi de G si quels que soient x, y, z et t dans G, on a :
xRy et zRt =⇒ xzRyt.
Remarque. Désignons par π : G → G/R la surjection canonique. La définition précédente est une CNS pour que la loi de G passe au quotient, c’est-à-dire pour qu’on puisse
la définir sur G/R par la formule naturelle :
∀ x, y ∈ G,
π(x)π(y) = π(xy).
On a en fait l’énoncé suivant :
Théorème. Si la relation d’équivalence R est compatible avec la loi de G, alors l’ensemble
quotient G/R muni de la loi quotient est un groupe. Ce groupe s’appelle le groupe
quotient de G par R.
Preuve. Le fait que (G/R, .) vérifie les axiomes G1, G2 et G3 de la définition des
groupes provient directement des faits correspondants pour (G, .) et de la définition
π(x)π(y) = π(xy) :
G1. Soit e l’élément neutre de G. On a π(e)π(g) = π(eg) = π(g) et π(g)π(e) =
π(ge) = π(g) quel que soit g dans G donc π(e) est un élément neutre de (G/R, .).
G2. On a
π(g1 )[π(g2 )π(g3 )] = π(g1 )π(g2 g3 )
= π(g1 (g2 g3 ))
= π((g1 g2 )g3 )
= π(g1 g2 )π(g3 )
= [π(g1 )π(g2 )]π(g3 ).
G3. On sait que ∀g ∈ G, ∃g 0 ∈ G, gg 0 = g 0 g = e. En appliquant π, il vient π(gg 0 ) =
= π(e), puis π(g)π(g 0 ) = π(g 0 )π(g) = π(e), donc π(g) est inversible d’inverse
π(g 0 ).
π(g 0 g)
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3. Sous-groupes distingués
Théorème et définition. On dit qu’un sous-groupe H de G est distingué (ou normal)
dans G (et on note H / G) s’il satisfait l’une des 2 conditions équivalentes suivantes :
1. ∀g ∈ G, gHg −1 = H ;
2. ∀g ∈ G, gHg −1 ⊆ H.
Exemples. On a {e} / G et G / G. Si G est commutatif, tout sous-groupe est distingué.
Exercice. Soit G = S3 . Les sous-groupes H1 :=< (1, 2, 3) > et H2 :=< (1, 2) > de G
sont ils distingués dans G ?
Définition. Si H / G, on définit la relation binaire RH sur G par
∀ x, y ∈ G,
xRH y
⇐⇒
x−1 y ∈ H.
Théorème. Si H / G, alors RH est une relation d’équivalence compatible avec la loi de
G. Le groupe quotient est alors désigné par G/H au lieu de G/RH .
Preuve. Admettons que RH soit une relation d’équivalence (exercice !). Montrons que
RH est compatible avec la loi de G. Si xRH y et zRH t, alors (xz)−1 yt = z −1 x−1 yt =
(z −1 t)[t−1 (x−1 y)t] ∈ H, donc xzRH yt.
Il est remarquable de noter que la réciproque est vraie, i.e. toute relation d’équivalence
compatible avec la loi de G est de la forme RH pour un certain sous-groupe distingué
H :
Théorème. Soit R une relation d’équivalence sur un groupe G. Les deux assertions
suivantes sont équivalentes :
1. R est compatible avec la loi de G ;
2. Il existe H / G tel que R = RH .
Démonstration. Supposons que 1 soit vérifié et soit H la classe d’équivalence de e dans
(G, R). L’ensemble H est non vide car e ∈ H. De plus, si x et y ∈ H, alors d’une part
xRy (car xRe et eRy) et d’autre part y −1 Ry −1 , donc (xy −1 )Ryy −1 , ie (xy −1 )Re (par
compatibilité) et donc xy −1 ∈ H. On vient de prouver que H < G.
Soit g ∈ G. Si h ∈ H, on a gRg, hRe et g −1 Rg −1 , donc ghg −1 Rgeg −1 (par compatibilité), ie ghg −1 Re. D’où ghg −1 ∈ H et gHg −1 ⊂ H et l’on a prouvé H / G.
Enfin : xRy ⇐⇒ x−1 yRe (d’une part x−1 Rx−1 et xRy =⇒ x−1 xRx−1 y, ie eRx−1 y,
ie x−1 yRe par symétrie et d’autre part xRx et x−1 yRe =⇒ xx−1 yRxe, ie yRx, ie xRy
par symétrie). De plus, x−1 yRe ⇐⇒ x−1 y ∈ H (par définition de H) et x−1 y ∈
H ⇐⇒ xRH y par définition de RH , d’où xRy ⇐⇒ xRH y, ie R = RH .
L’implication 2 =⇒ 1 n’est autre que l’énoncé du théorème précédent.
4. Théorème d’isomorphisme
Le théorème élémentaire suivant est fondamental :
Théorème d’isomorphisme. Tout morphisme de groupes ϕ : G → H induit un isomorphisme ϕ : G/Ker ϕ → Im ϕ.
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Groupes diédraux
Les groupes diédraux apparaissent partout. Cela est probablement dû à leur définition
naturelle : il s’agit des groupes d’isométries des polygones réguliers du plan.
Dans la première partie (au programme), nous donnons une définition précise du
groupe diédral D2n . Dans la deuxième (hors programme), nous en donnons une caractérisation. Dans la troisième (hors programme), nous démontrons un énoncé qui explique
l’ubiquité des groupes diédraux : tout groupe fini engendré par deux involutions (i.e.
deux éléments d’ordre 2) est un groupe diédral !
1. Définition du groupe diédral D2n
Soit n ≥ 3 un entier, soit E un plan affine euclidien orienté et soit Pn = {M1 , . . . , Mn }
un polygone régulier à n sommets de centre O.
On désigne par D2n le groupe des isométries de E laissant le polygone Pn globalement
invariant et par Cn le sous-groupe de D2n constitué des isométries positives (ou directes).
Nous allons montrer ci-dessous que D2n contient exactement n rotations et n symétries, donc le cardinal de D2n est 2n, ce qui explique la notation.
a. Montrer que Cn est un groupe cyclique de cardinal n engendré par la rotation r
de centre O et d’angle 2π/n.
b. Montrer que D2n \ Cn est constitué de n symétries orthogonales (axiales).
c. Décrire précisément les axes de ces symétries (on pourra distinguer deux cas, suivant
que n est pair ou impair).
d. Si s est l’une de ces symétries, montrer que D2n =< r, s > et que r, s vérifient les
relations rn = 1, s2 = 1 et (rs)2 = 1.
e. Montrer que D2n =< s, rs >.
Remarques
1. On peut réaliser D2n comme le sous-groupe de GL(2, R) engendré par les matrices




cos 2π
− sin 2π
1
0
n
n
 et S = 
.
R=
2π
2π
sin n
cos n
0 −1
En effet, R est la matrice de la rotation de centre l’origine et d’angle 2π/n, tandis
que S est la matrice de la symétrie par rapport à l’axe Ox (dans la base canonique de
R2 ).
2. Tout ce qui vient d’être dit s’étend au cas n = 2 et même n = 1 (en considérant
que deux points du plan constituent un polygone régulier à deux sommets et un point
du plan un polygone à un sommet).
10
2. Caractérisation du groupe diédral D2n
On a vu dans la première partie que D2n est engendré par deux éléments r et s
satisfaisant les relations rn = 1, s2 = 1 et (rs)2 = 1.
Réciproquement, nous allons maintenant montrer que si un groupe de cardinal 2n est
engendré par deux éléments r et s satisfaisant les relations rn = 1, s2 = 1 et (rs)2 = 1,
alors il est isomorphe à D2n .
Pour cela, on considère deux groupes G et G0 de cardinaux 2n. On suppose que G
contient deux éléments r et s tels que G =< r, s >, rn = 1, s2 = 1 et (rs)2 = 1 et l’on
suppose de même que G0 contient deux éléments r0 et s0 tels que G =< r0 , s0 >, r0 n = 1,
s0 2 = 1 et (r0 s0 )2 = 1. Il nous suffit de montrer que G et G0 sont isomorphes.
j
a. Montrer que ∀ (i, j, k, l) ∈ Z4 , ri sj . rk sl = ri+(−1) k sj+l .
b. En déduire que G = {ri sj , (i, j) ∈ Z2 }.
c. En déduire que G = {ri sj , (i, j) ∈ {0, . . . , n − 1} × {0, 1}} et que ri sj = rk sl si et
seulement si i ≡ k[n] et j ≡ l[2].
d. En déduire qu’il existe un unique isomorphisme ϕ : G → G0 tel que ϕ(r) = r0 et
ϕ(s) = s0 (on pourra remarquer que l’on a nécessairement ϕ(ri sj ) = r0 i s0 j ).
3. Ubiquité des groupes diédraux.
On se propose de montrer le résultat suivant.
Théorème. Soit G un groupe fini et soient a, b ∈ G des involutions, alors < a, b > ' D2n
pour un certain n.
On pose H =< a, b >, r := ab, s := a et soit n l’ordre (nécessairement fini !) de r.
a. Montrer que H =< r, s >, rn = 1, s2 = 1 et (rs)2 = 1.
b. Montrer que ∀ i ∈ N, ri s 6= 1.
Indication. On pourra raisonner par récurrence sur i et par l’absurde.
c. En déduire que |H| ≥ 2n.
d. On pose K := {ri sj , (i, j) ∈ {0, . . . , n − 1} × {0, 1}}. Montrer que K est un
sous-groupe de G.
e. En déduire que |H| = 2n et conclure.
11
4
Actions de groupes
1. Définitions.
Définition 1. Soit G un groupe et X un ensemble. On dit que G agit (opère) sur X si
l’on a une application G × X → X, (g, x) 7→ g.x satisfaisant les axiomes suivants :
A1. ∀(g, g 0 ) ∈ G2 , ∀x ∈ X, g.(g 0 .x) = (gg 0 ).x ;
A2. ∀x ∈ X, 1.x = x.
Remarque fondamentale. Il revient au même de se donner un morphisme ϕ : G →
Per(X) où Per(X) est le groupe des permutations de X.
En effet, si ϕ : G → Per(X) est un morphisme, montrons que la formule g.x :=
ϕ(g)(x) définit une action.
On a g.(g 0 .x) = ϕ(g) ϕ(g 0 )(x) = ϕ(g) ◦ ϕ(g 0 ) (x) = ϕ(gg 0 )(x) = (gg 0 ).x.
De plus, 1.x = ϕ(1)(x) = IdX (x) = x.
Réciproquement, si l’on dispose d’une action de G sur X, quel que soit g ∈ G,
définissons ϕ(g) : X → X par ϕ(g)(x) := g.x.
En utilisant l’axiome A1, un calcul analogue à celui qui précède montre que ϕ(g) ◦
ϕ(g 0 ) = ϕ(gg 0 ). De plus, par l’axiome A2, on a ϕ(1) = IdX , donc ϕ(g) ◦ ϕ(g −1 ) =
ϕ(g −1 ) ◦ ϕ(g) = IdX .
Cela montre que ϕ(g) est une bijection de X (de bijection réciproque ϕ(g −1 )).
Dès lors, il est clair que l’application ϕ : G → Per(X), g 7→ ϕ(g) est un morphisme.
Définition 2. On dit que G opère transitivement sur X si
∀(x, y) ∈ X 2 , ∃g ∈ G, y = g.x.
Définition 3. On dit que G opère fidèlement dans X si ϕ : G → Per(X) est injectif,
ie si (∀x ∈ X, g.x = x) =⇒ g = 1.
Définition 4. Si x ∈ X, on définit Gx = {g ∈ G, g.x = x}. C’est un sous-groupe de G
(non distingué en général) appelé le stabilisateur (ou sous-groupe d’isotropie) de x.
Définition 5. On dit que x est un point fixe de X par G si ∀g ∈ G, g.x = x (ie Gx = G).
L’ensemble de tous les points fixes de X par G est dénoté par X G .
Définition 6. On introduit la relation d’équivalence suivante :
xRy ⇐⇒ ∃g ∈ G, y = g.x
qui mesure le défaut de transitivité (en effet, il y a une seule classe d’équivalence pour R
si et seulement si l’action est transitive). Les classes pour cette relation sont les orbites
de X sous G. L’orbite de x ∈ X est notée ω(x). On a ω(x) = {g.x, g ∈ G}.
Remarque. G opère transitivement sur ω(x).
Exemple. Le groupe Sn agit de manière naturelle sur En = {1, . . . , n} par l’application
Sn × En → En , (s, i) 7→ s(i).
12
2. Théorèmes généraux.
Orbites et stabilisateurs sont reliés par le théorème suivant :
Théorème 1. Soit x ∈ X, alors la surjection naturelle ψ : G → ω(x) induit une
g 7→ g.x
bijection ψ : G/Gx → ω(x).
Lorsque G est fini, on a donc |ω(x)| = |G|/|Gx |. En particulier, |ω(x)| divise |G|.
Attention ! Comme Gx n’est (a priori) pas distingué, G/Gx désigne l’ensemble
{gGx , g ∈ G} des classes à gauche modulo Gx et n’est (a priori) pas un groupe !
On pourra oublier ces subtilités en ne retenant que la deuxième partie de l’énoncé, à
savoir |ω(x)| = |G|/|Gx |.
Démonstration. On a ψ(g) = ψ(g 0 ) ⇐⇒ g.x = g 0 .x ⇐⇒ x = (g −1 g 0 ).x ⇐⇒ g −1 g 0 ∈ Gx
⇐⇒ g RGx g 0 ⇐⇒ gGx = g 0 Gx , d’où le résultat.
L’ensemble X est toujours égal à l’union disjointe des orbites de G. Si X est fini et
si ω(x1 ), . . . , ω(xr ) est la liste des orbites de G, on a donc
Formule de décomposition en orbites. |X| =
r
X
|ω(xi )| ou, de manière équivalente :
i=1
|X| =
r
X
|G|/|Gxi |.
i=1
Exercice. Soit G un groupe fini opérant sur un ensemble fini X.
1. Si |G| = 15, |X| = 17 et X G = ∅, trouver le nombre de G-orbites et le cardinal de
chacune d’elle.
2. Si |G| = 33 et |X| = 19, montrer que X G 6= ∅.
Réponse. 1. Les orbites ont pour cardinal un diviseur de 15. Comme il n’y a pas de
point fixe, il ne peut y avoir que des orbites de cardinal 3, 5 ou 15. Désignons par x, y, z
les cardinaux des orbites de cardinal 3 ,5 ,15. On a 3x + 5y + 15z = 17, donc 15z ≤ 17,
donc z ≤ 17
15 < 2, donc z = 0 ou 1.
Si z = 1, on doit avoir 3x + 5y = 2, ce qui est impossible, donc z = 0. Dès lors, on a
3x + 5y = 17. Comme y ≤ 17
5 < 4, on doit avoir y ≤ 3. Or 17 − 5y vaut 17, 12, 7 et 2
quand y vaut 0, 1, 2 et 3. Par conséquent, (x, y) = (4, 1).
b. Il ne peut y avoir que des orbites de cardinal 1, 3 ou 11. Désignons par x, y et z
les cardinaux des orbites de cardinal 1, 3 et 11.
On a x + 3y + 11z = 19, d’où z ≤ 1.
Si z = 0, alors x ne peut pas être nul, car 19 n’est pas divisible par 3.
De même, si z = 1, alors x ne peut pas être nul car 8 n’est pas divisible par 3.
Exercice. Le groupe S4 agit de manière naturelle sur E4 = {1, 2, 3, 4}, donc tout sousgroupe G de S4 aussi.
13
Pour chacun des groupes G suivants, déterminer la décompositon de E4 en G-orbites
ainsi que le stabilisateur de chacun des éléments de E4 .
1. G =< (1, 2, 3) > ;
2. G =< (1, 2), (3, 4) > ;
3. G = A4 .
Réponse. 1. Les orbites sont les ensembles {1, 2, 3} et {4}.
Si x ∈ {1, 2, 3} ,on a Gx = {Id} et si x = 4, alors G4 = G.
2. Les orbites sont les ensembles {1, 2} et {3, 4}.
Si x ∈ {1, 2}, on a Gx =< (3, 4) > et si x ∈ {3, 4}, on a Gx =< (1, 2) >.
3. On a s(1) = 2, t(2) = 3 et s(3) = 4, où s = (1, 2)(3, 4) et t = (1, 4)(2, 3) ∈ A4 ,
donc 2,3 et 4 ∈ ω(1) et il y a une seule orbite qui égale à tout l’ensemble E4 . On sait que
|G/G1 | = 4, donc |G1 | = 3. Or, < (2, 3, 4) >⊂ G1 , d’où G1 =< (2, 3, 4) >.
De même, G2 =< (1, 3, 4) >, G3 =< (1, 2, 4) > et G4 =< (1, 2, 3) >.
3. Formule des classes.
Dans le cas particulier où le groupe fini G agit sur lui-même par conjugaison, la
formule de décomposition en orbites se spécialise en la formule des classes.
Faisons donc opérer G sur lui-même par conjugaison, i.e. posons :
∀ g, x ∈ G, g.x = gxg −1 .
L’orbite de x s’appelle alors la classe de conjugaison de x et l’on dit que deux
éléments sont conjugués s’ils sont dans la même classe de conjugaison. Il est clair que
x et x0 sont conjugués si et seulement s’il existe g tel que x0 = gxg −1 . Le stabilisateur de
x s’appelle alors le centralisateur de x, souvent noté Cx . On a :
Cx = {g ∈ G, gxg −1 = x} = {g ∈ G, gx = xg}.
Notons que |ω(x)| = 1 si et seulement si x appartient au centre Z de G, où :
Z := {x ∈ G, ∀ g ∈ G, gx = xg}.
Si G est fini et si ω(x1 ), . . . , ω(xs ) désignent les orbites de G non réduites à un point,
la formule de décomposition en orbites se spécialise en la
Formule des classes. |G| = |Z| +
s
X
|G|/|Cxi |.
i=1
4. Théorème de Cayley (hors programme)
Théorème de Cayley. Tout groupe fini de cardinal n se plonge dans Sn .
Preuve. soit G un groupe de cardinal n. On peut faire opérer G sur lui-même par
translation à gauche : G × G → G
( g , x ) 7→ gx.
Cette action est fidèle car si g ∈ G vérifie ∀ x ∈ G, gx = x, en prenant x = 1, on voit
que g = 1. Par conséquent, on obtient un morphisme injectif ϕ : G → Per(G) ' Sn . 14
5
Généralités sur les anneaux
1. Anneau, sous-anneau et morphisme d’anneaux
Définition. Un anneau est un triplet (A, +, ×) où + et × sont des lois de composition
internes sur A (dites respectivement addition et multiplication) telles que
A1. (A, +) est un groupe commutatif (d’élément neutre noté 0) ;
A2. La multiplication est associative, commutative, admet un élément neutre (noté
1) et est distributive par rapport à l’addition.
Définition. On dit qu’un sous-ensemble B de A est un sous-anneau de (A, +, ×) si B
est stable par addition et multiplication (ie ∀(a, b) ∈ B 2 , a + b ∈ B et ab ∈ B), si B muni
des lois induites est un anneau et si les éléments unités de A et B coïncident.
Concrètement, on utilise l’énoncé suivant :
Proposition. Un sous-ensemble B de A est un sous-anneau si et seulement si :
∀ a, b ∈ B, a − b ∈ B et ab ∈ B et 1A ∈ B,
où 1A désigne l’élément unité de A (pour la multiplication).
Définition. Si A et B sont deux anneaux et ϕ : A → B une application, on dit que ϕ
est un morphisme (d’anneaux) si
∀ x, y ∈ A, ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) et ϕ(1) = 1.
2. Anneaux euclidiens, principaux et factoriels
Même si les notions d’anneaux euclidiens et factoriels ne sont pas au programme, je
pense qu’il est utile de connaître l’énoncé suivant :
Théorème. euclidien =⇒ principal =⇒ factoriel
Rappelons qu’un anneau A est dit intègre si ∀ a, b ∈ A, ab = 0 =⇒ a ou b = 0.
De plus, un anneau intègre A est dit :
• euclidien s’il est muni d’une division euclidienne (pour les détails, cf. page 22) ;
• principal si tout idéal est principal, i.e. de la forme aA, où a ∈ A ;
• factoriel si tout élément non nul et non inversible de A se décompose de manière
unique comme un produit de facteurs irréductibles au sens suivant :
Si a = p1 . . . pr = q1 . . . qs sont deux décompositions en produits de facteurs irréductibles
de a, alors r = s et quitte à permuter les qi , chaque pi est associé à qi .
Rappels. Désignons par A∗ le groupe des éléments inversibles de A.
1. On dit que a est irréductible s’il est non nul et non inversible et si
∀ b, c ∈ A,
a = bc
=⇒
b ou c ∈ A∗ .
2. On dit que b et c sont associés s’il existe a ∈ A∗ tel que b = ac.
15
6
Anneaux quotients
1. Résumé
La théorie des anneaux quotients est similaire à celle des groupes quotients en remplaçant la notion de sous-groupe distingué par celle d’idéal. Dans un souci de complétude, j’ai néanmoins recopié les énoncés en les modifiant et en omettant les preuves.
2. Relation d’équivalence compatible avec les lois d’anneau
Définition. On dit qu’une relation d’équivalence R définie sur un anneau A est compatible avec les lois de A si quels que soient x, y, z et t dans A, on a :
xRy et zRt =⇒ x + z R y + t et xz R yt.
Remarque. Désignons par π : A → A/R la surjection canonique. La définition précédente est une CNS pour que les lois de A passent au quotient, c’est-à-dire pour qu’on
puisse les définir sur A/R par les formules naturelles :
∀ x, y ∈ A,
π(x) + π(y) = π(x + y) et π(x)π(y) = π(xy).
Théorème. Si la relation d’équivalence R est compatible avec les lois de A, alors l’ensemble quotient A/R muni des lois quotients est un anneau. Cet anneau s’appelle l’anneau
quotient de A par R.
3. Idéaux
Théorème et définition. On dit qu’un sous-ensemble I de A est un idéal s’il satisfait
les conditions suivantes :
1. I est un sous-groupe de (A, +) ;
2. ∀ a ∈ A, ∀ x ∈ I, ax ∈ I.
Remarque. La première condition est souvent remplacée par les deux suivantes :
(i) 0 ∈ I
et
(ii) ∀ x, y ∈ I, x + y ∈ I.
Exemples. {0} et A sont des idéaux de A.
Définition. Si I est un idéal de A on définit la relation binaire RI sur A par
∀ x, y ∈ A,
xRI y
⇐⇒
x − y ∈ I.
Théorème. Si I est un idéal de A, alors RI est une relation d’équivalence compatible
avec les lois de A. L’anneau quotient est désigné par A/I au lieu de A/RI .
Théorème. Soit R une relation d’équivalence sur un anneau A. Les deux assertions
suivantes sont équivalentes :
1. R est compatible avec les lois de A ;
2. Il existe un idéal I tel que R = RI .
4. Théorème d’isomorphisme
Théorème d’isomorphisme. Tout morphisme d’anneaux ϕ : A → B induit un isomorphisme ϕ : A/Ker ϕ → Im ϕ.
16
7
Théorème chinois et indicatrice d’Euler
1. Théorème chinois
Théorème chinois. Si m et n sont deux entiers premiers entre eux, alors les anneaux
Z/mnZ et Z/mZ × Z/nZ sont isomorphes.
Preuve. Calculer le noyau du morphisme ϕ : Z → Z/mZ×Z/nZ, x 7→ (x mod m, x mod n),
en déduire que ϕ induit une injection ϕ : Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ et conclure par un
argument de cardinalité.
Exercice. Montrer la réciproque.
Indication. En prenant la contraposée, il suffit de montrer que si m et n ne sont pas
premiers entre eux, alors les anneaux Z/mnZ et Z/mZ × Z/nZ ne sont pas isomorphes.
Pour cela, il suffit de montrer que les groupes correspondants ne sont pas isomorphes.
Finalement, il suffit donc de montrer que le groupe Z/mZ × Z/nZ n’est pas cyclique . . .
2. Indicatrice d’Euler (presque au programme)
La fonction indicatrice d’Euler est la fonction ϕ : N∗ → R définie de la manière
suivante.
Définition. Soit n > 0 un entier. On appelle ϕ(n) le nombre d’entiers m tels que
1 ≤ m ≤ n et pgcd(m, n) = 1.
1. Soit m ∈ Z, montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) m est premier avec n ;
(ii) m est générateur du groupe (Z/nZ, +) ;
(iii) m ∈ (Z/nZ)∗ groupe des éléments inversibles pour la multiplication de l’anneau Z/nZ.
2. Montrer que ϕ(n) = |(Z/nZ)∗ |.
3. Si p est premier, calculer ϕ(p) et ϕ(pα ) où α ≥ 1.
4. Si m, n > 0 sont premiers entre eux, montrer que ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
On pourra utiliser le théorème chinois.
5. Si n = pα1 1 . . . pαr r est la décomposition en facteurs premiers de n, où les αi ∈ N∗ ,
r
r
Y
Y
1
αi −1
montrer que ϕ(n) =
pi
(pi − 1) = n (1 − ).
pi
i=1
i=1
17
8
Généralités sur les corps
Rappelons la définition fondamentale suivante.
Définition. On dit qu’un anneau K est un corps si tout élément non nul de K est
inversible pour la multiplication, i.e.
∀ x ∈ K \ {0}, ∃ y ∈ K, xy = 1.
1. Si K est un corps, alors K est un anneau intègre. Réciproquement, si K est un
anneau intègre fini, alors K est un corps. En effet, si x ∈ K \ {0}, alors l’application
K → K, y 7→ xy est injective, donc surjective. D’où l’existence d’un inverse pour x. En
particulier, l’anneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.
2. De même, si K est un corps et si L est une K-algèbre intègre finie (ie si L est un
K-espace vectoriel de dimension finie), alors L est un corps. En effet, si x ∈ L \ {0}, alors
l’application L → L, y 7→ xy est une application K-linéaire injective, donc surjective (car
on est en dimension finie). D’où l’existence d’un inverse pour x.
3. Si K est un anneau, on montre que K est un corps si et seulement si ses seuls
idéaux sont {0} et K.
4. Si ϕ : K → L est un morphisme d’anneaux où K et L sont des corps, alors ϕ est
nécessairement injectif. En effet, il est clair que ker ϕ = {0}.
Définition. Si K et L sont des corps tels que K ⊂ L, on dit que L est une extension
de K (ou que K est un sous-corps de L). L’ensemble L est alors un K-espace vectoriel.
Le degré de L sur K est défini par [L : K] = dimK L. L’extension K ⊂ L est dite finie si
[L : K] < +∞.
Exemple. Q ⊂ R, R ⊂ C, R ⊂ R(T ).
Voici un exemple important de sous-corps :
Définition. 1. Le sous-corps premier d’un corps K est le plus petit sous-corps K1 inclus
dans K.
2. Soit ϕ : Z → K, n 7→ n.1 et soit p ∈ N tel que Ker ϕ = pZ. On dit alors que p est
la caractéristique de K.
Remarques. 1. On a K1 =
\
L.
L sous-corps de K
2. On a Z/pZ ' Im ϕ ⊂ K, donc Z/pZ est intègre. Si p 6= 0, cela montre que p est
un nombre premier.
3. Description du sous-corps premier.
Premier cas : car (K) = 0. Alors ϕ : Z → K est injective, si bien que l’on identifiera Z
à un sous-anneau de K. On a nécessairement 1 ∈ K1 , donc Z ⊂ K1 . Comme K1 est un
corps, ∀ n ∈ Z∗ , 1/n ∈ K1 . D’où Q ⊂ K1 et K1 = Q.
Deuxième cas : car (K) = p > 0. On identifie encore Z/pZ à un sous-corps de K. On doit
18
avoir Z/pZ ⊂ K1 , d’où K1 = Z/pZ.
Théorème de la base télescopique. Soient K ⊂ L ⊂ M des corps, (ei )i∈I une base
de L sur K et (fj )j∈J une base de M sur L. Alors (ei fj )(i,j)∈I×J est une base de M sur
K.
Démonstration.
1) La famille (ei fj )(i,j)∈I×J est libre P
sur K
P
P:
Si
λ
e
f
=
0,
λ
∈
K,
alors
(
= 0, donc
i,j
j
i λi,j ei )fj
P i,j i,j i j
∀j,
est une famille libre sur L. Or, comme (ei )i∈I est une
i λi,j ei = 0 car (fj )j∈J P
famille libre sur K, la relation i λi,j ei = 0 montre que ∀i, λi,j = 0.
2) La famille (ei fj )(i,j)∈I×J engendre le K-espace vectoriel M :
SiPx ∈ M , alors il existe une famille presque nulle (µj )j∈J d’éléments de L telle que
x = j µj fj . Or, pour
P chaque j, il existe
Pune famille presque nulle (λi,j )i∈I d’éléments
de K telle que µj = i λi,j ei . D’où x = i,j λi,j ei fj .
Corollaire (multiplicativité du degré). [M : K] = [M : L] × [L : K].
19
9
Elements algébriques et éléments transcendants
Dans la suite, tout morphisme désignera un morphisme d’anneaux et tout K-morphisme
désignera un morphisme d’anneaux fixant chaque élément de K (i.e. si ϕ est ce Kmorphisme, on a ∀ x ∈ K, ϕ(x) = x).
Définition 1. Soit K ⊂ L une extension de corps et soit α ∈ L. Soit ϕ : K[X] → L le
K-morphisme envoyant X sur α. Rappelons que l’on a
∀Q ∈ K[X], ϕ(Q) = Q(α).
Si ϕ est injectif, on dit que α est transcendant sur K.
Sinon, on dit que α est algébrique sur K. Dans ce dernier cas, l’unique polynôme
unitaire P ∈ K[X] tel que Ker ϕ = (P ) s’appelle le polynôme minimal de α sur K.
On pose alors degK α = deg P .
Remarque. On comprendra aisément que ϕ soit souvent appelé le morphisme d’évaluation en α et noté evα .
Définition 2. On définit K[α] comme étant le plus petit sous-anneau de L contenant
K et α. De manière équivalente, K[α] := {Q(α), Q ∈ K[X]}, i.e. K[α] = Im ϕ.
Comme d’habitude, ϕ induit un isomorphisme ϕ : K[X]/Ker ϕ → Im ϕ.
Si α est algébrique, on a donc K[X]/P ' K[α], d’où (par le lemme 1 ci-dessous) :
degK α = dimK K[α].
Proposition. Si α est algébrique, son polynôme minimal est irréductible.
Première démonstration.
Le polynôme P est clairement non constant. D’autre part, si P s’écrivait sous la forme
P = QR avec Q, R non constants, on aurait Q(α)R(α) = 0, donc Q(α) = 0 ou R(α) = 0,
ce qui contredirait la définition de P .
Deuxième démonstration.
On a K[X]/(P ) ' K[α] ⊂ L, donc K[X]/(P ) est intègre, donc l’idéal (P ) est premier,
donc P est un élément premier de l’anneau K[X], donc P est un polynôme irréductible
de K[X].
Exemple. 1. On peut montrer que e et π sont transcendants sur Q.
2. Dans K(X), X est transcendant
sur K.
√
√
√
3
1+ 5
3. Les nombres 2, i, 2 et 7 sont algébriques sur Q.
Lemme 1. Si P ∈ K[X] est non nul, alors dimK K[X]/P = deg P .
20
Démonstration. Posons n = deg P . Soit π : K[X] → K[X]/P la surjection canonique.
On peut montrer assez facilement que 1, X, . . . , X n−1 est une base de K[X]/P .
C’est une famille libre, car tout élément de K[X]/P s’écrit sous la forme M où
M ∈ K[X]. En divisant M par P , on obtient Q, R ∈ K[X] tels que M = P Q + R avec
deg R ≤ n−1. Si R = r0 +r1 X+· · ·+rn−1 X n−1 , on a alors M = R = r0 1+. . .+rn−1 X n−1 .
n−1
n−1
n−1
X
X
X
λi X i = 0, d’où P |
C’est une famille libre, car si
λi X i ,
λi X i = 0, alors
i=0
i=0
d’où
n−1
X
i=0
λi X i = 0 (raisonner sur le degré).
i=0
Lemme 2. Si P ∈ K[X], alors les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(i) P est irréductible ;
(ii) K[X]/P est un anneau intègre ;
(iii) K[X]/P est un corps.
Démonstration.
(i) ⇐⇒ (ii) : P irréductible ⇐⇒ P premier (car K[X] factoriel) ⇐⇒ l’idéal (P ) est
premier ⇐⇒ K[X]/P est intègre.
(ii) ⇐⇒ (iii) : Comme L := K[X]/P est une K-algèbre finie, on sait que L est un
corps si et seulement si L est intègre.
Théorème 1. Soient K ⊂ L et α ∈ L. Les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(i) α est algébrique sur K ;
(ii) K[α] est un corps ;
(iii) dimK K[α] < +∞.
Démonstration.
Si α est algébrique sur K, alors K[α] ' K[X]/P . Dès lors, dimK K[α] < +∞ (par le
lemme 1) et K[α] est un corps (par le lemme 2).
Si α est transcendant sur K, alors K[α] est isomorphe à K[X]. Il est clair que K[X]
n’est pas un corps (X n’est pas inversible) et que dimK K[X] = +∞ (une base de K[X]
est la famille (X n )n∈N ).
Corollaire 1. Si α1 , . . . , αn ∈ L sont algébriques sur K, alors M := K[α1 , . . . , αn ] est
un corps et [M : K] < +∞.
Démonstration. Récurrence facile sur n.
Corollaire 2. Toute extension finie est algébrique.
Corollaire 3. Si α1 , α2 ∈ L sont algébriques sur K, alors α1 + α2 et α1 α2 aussi.
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Anneaux euclidiens (hors programme)
Soit A un anneau (commutatif unitaire).
Définitions. 1. On dit qu’une application v : A \ {0} → N est un stathme (euclidien)
si ∀ (a, b) ∈ A2 , b 6= 0, ∃(q, r) ∈ A2 , a = bq + r avec (r = 0 ou v(r) < v(b)).
2. On dit qu’une application v : A → N est un stathme (euclidien) total si ∀ (a, b) ∈
2
A , b 6= 0, ∃(q, r) ∈ A2 , a = bq + r avec v(r) < v(b).
Proposition. Soit A un anneau, alors les deux assertions suivantes sont équivalentes :
(i) A est muni d’un stathme ;
(ii) A est muni d’un stathme total.
Démonstration. (i) =⇒ (ii). Si v : A \ {0} → N est un stathme, définissons ve : A → N
par ve(0) = 0 et ve(a) = v(a) + 1 pour a 6= 0. On vérifierait aisément que ve est un stathme
total.
(ii) =⇒ (i). Si v : A → N est un stathme total, alors v|A\{0} est un stathme.
Définitions. 1. On dit que A est muni d’une division euclidienne si l’une des assertions
équivalentes de la proposition précédente est vérifiée.
2. On dit que A est euclidien si en outre A est intègre.
Exemples. 1. A = K (corps). Prendre v : K \ {0} → N quelconque (en effet, la division
étant toujours exacte, l’assertion r = 0 sera toujours satisfaite).
2. A = Z. Prendre v : Z → N, n 7→ |n| comme stathme total.
3. A = K[X], où K est un corps. Prendre v : K[X] \ {0} → N, P 7→ deg P comme
stathme.
Notons que dans l’exemple 2, il n’y a pas unicité de la division. En effet, si l’on divise
7 par 2, on a 7 = 2 × 3 + 1 et 7 = 2 × 4 − 1. Le résultat classique d’unicité affirme que
∀ (a, b) ∈ Z2 , b 6= 0, ∃ !(q, r) ∈ Z2 , a = bq + r et 0 ≤ r < |n|.
Dans l’exemple 3, on a ∀ (A, B) ∈ K[X]2 , ∃ !(Q, R) ∈ K[X]2 , A = BQ + R et
deg R < deg B, donc il y a unicité de la division euclidienne.
Nous allons maintenant montrer que tout anneau euclidien A est muni d’un stathme
total minimal.
Théorème. Soit A un anneau euclidien. Si V désigne l’ensemble des stathme totaux de
A muni de l’ordre (partiel) naturel défini par v1 ≤ v2 ⇐⇒ ∀ a ∈ A, v1 (a) ≤ v2 (a), alors
V admet un plus petit élément u. On appelera u le stathme total minimal de A.
Démonstration. Comme A est euclidien, on a V 6= ∅. Définissons u : A → N par
∀ a ∈ A, u(a) := inf v(a). Il nous suffit de vérifier que u est un stathme total. Soit (a, b) ∈
v∈V
A2 avec b 6= 0. On veut montrer qu’il existe (q, r) ∈ A2 tel que a = bq + r avec u(r) <
u(b). Or u(b) = inf v(b), donc il existe w ∈ V tel que u(b) = w(b). Comme w est un
v∈V
stathme total, il existe (q, r) ∈ A2 tel que a = bq + r avec w(r) < w(b). Finalement
u(r) = inf v(r) ≤ w(r) < w(b) = u(b).
v∈V
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