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Second degré.
I
Forme développée.
Dénition 1
Une fonction f est dite polynomiale de degré deux si elle est dénie sur R et si
son écriture algébrique développée, ordonnée, réduite est
f (x) = ax2 + bx + c
avec a, b et c des nombres (réels) a étant non nul.
Remarques.
1. Plutôt que fonction polynomiale de degré deux nous dirons plus simplement trinôme .
2. La courbe représentative d'une fonction trinôme est appelée une parabole.
3. Nous dirons que la parabole est
orientée vers le bas
orientée vers le haut
4. Le rôle de la forme développée est d'identier le trinôme via ses trois coecients a (dominant), b et c (terme constant).
5. Le terme c est semblable à l'ordonnée à l'origine de la fonction ane (f (0) =
c).
Exercice 1
Exercice 16 page 48 manuel hachette déclic 2015.
Exercice 2
Exercice 17 page 48 manuel hachette déclic 2015.
Exercice 3
Exercice 18 page 48 manuel hachette déclic 2015.
-1
II
Forme canonique.
Dénition 2
Étant donné une fonction trinôme dénie par f (x) = ax2 + bx + c, pour tout x
réel, la forme canonique de f est l'écriture
2
f (x) = a (x − α) + β
avec
α=−
b
2a
et β = f (α)
Remarques.
1. Pour calculer β = f (α) il faut utiliser la forme développée de f .
2. Les formes développée et canonique sont deux écritures pour une même fonction.
3. La forme canonique permet de trouver les variations d'une fonction trinôme.
Si a est positif, alors la parabole est orientée vers le haut. Si a est négatif,
alors la parabole est orientée vers le bas.
(α,β) sont les coordonnées du sommet de la parabole.
4. Une autre façon de dire la précédente remarque : f admet un extremum égale
à β qui est atteint pour x = α.
5. La forme canonique permet de dresser le tableau de variation de la fonction
trinôme.
Exercice 4
Déterminez la forme canonique du trinôme dénie, pour tout x réel, par la formule :
f (x) = −8x2 − 32x − 39
Exercice 5
Dressez le tableau de variation de la fonction f dénie sur R par f (x) = −2(x+1)2 −2.
Exercice 6
Exercice 26 page 49 manuel hachette déclic 2015.
Exercice 7
Exercice 70 page 53 manuel hachette déclic 2015.
-2
III
Forme factorisée.
Dénition.
Dénition 3
Étant donné une fonction trinôme dénie par f (x) = ax2 + bx + c, pour tout x
réel, la forme factorisée de f , si elle existe, est l'écriture
f (x) = a (x − x1 ) (x − x2 )
avec x1 et x2 des nombres.
Remarques.
1. x1 et x2 sont appelés les racines (ou les zéros) de la fonction trinôme.
En eet f (x1 ) = f (x2 ) = 0 et se sont les seules valeurs qui annulent f .
Ainsi trouver les racines d'un trinôme f consiste à résoudre l'équation f (x) =
0.
2. x1 et x2 sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe
des abscisses.
y = f (x)
x1
x2
x
3. Il n'est pas toujours possible de donner la forme factorisée d'un trinôme dans
l'ensemble des nombres réels. Ainsi : x2 + 1 ne peut être factorisé.
4. Trouver la forme factorisée d'un trinôme équivaut à trouver ses racines. Par
exemple les racines de −2(x − 1)(x + 3) sont 1 et −3.
5. La forme factorisée permet de trouver les racines et d'étudier le signe du
trinôme.
Recherche des racines d'un trinôme.
Rechercher les racines du trinôme f (x) équivaut à résoudre à l'équation
f (x) = 0
-3
Dans certains cas il est possible de trouver facilement les racines d'un trinôme.
Exercice 8
Trouvez une expression factorisée du trinôme puis trouvez ses racines.
1. f (x) = x2 − 4
2. g(x) = x2 − 2x + 1
Cependant,
en général, il n'est pas simple de trouver les racines. Ainsi si f (x) =
√
x2 + 2 2x − 6 admet deux racines (visible sur sa représentation graphique) il reste
dicile de trouver les valeurs exactes de ses racines.
Nous allons voir une méthode pour déterminer ces racines.
Exercice 9
Recherchez les racines du trinôme f (x) = −3(x − 1)2 + 12 en résolvant l'équation
f (x) = 0.
−3(x − 1)2 + 12 = 0
−3(x − 1)2 + 12 . . . . . . . . . . . = 0 . . . . . . . . . . .
−3(x − 1)2 = . . . . . . . . . . .
...........
...........
(x − 1)2 = . . . . . . . . . . .
−3(x − 1)2
...........
donc : p
(x − 1)2 =
x−1=
x − 1. . . . . . . . . . . =
Conclusion :
x=
√
...........
...........
...........
...........
=
p
(x − 1)2 =
x−1=
x − 1. . . . . . . . . . . =
x=
√
− ...........
...........
...........
...........
Exercice 10
Recherchez les racines du trinôme f (x) = 2(x+3)2 +8 en résolvant l'équation f (x) = 0.
2(x + 3)2 + 8 = 0
2(x + 3) + 8 . . . . . . . . . . . = 0 . . . . . . . . . . .
2
2(x + 3)2 = . . . . . . . . . . .
-4
Conclusion :
La démarche vue dans les deux exercices précédents se généralise.
La forme canonique de la fonction f (x) = ax2 + bx + c est :
2
−b
b2 − 4ac
f (x) = a x −
−
2a
4a
En résolvant l'équation comme on l'a fait précédemment :
−b
x−
2a
2
=
b2 − 4ac
4a2
Pour pouvoir prendre la racine carré des deux côtés de l'égalité je dois d'abord
m'assurer qu'il s'agit de nombres positifs.
Pour cela je cherche le signe du nombre b2 − 4ac qui est appelé discriminant et
est noté ∆.
∆ = b2 − 4ac
S'il existe des racines elles sont alors données par les formules :
x1 =
√
−b − ∆
2a
x2 =
√
−b + ∆
2a
Exercice 11
Déterminez les solutions réelles de l'équation −3x2 − 6x + 24 = 0.
Exercice 12
Déterminez les solutions réelles de l'équation 2x2 + 24x + 72 = 0.
Exercice 13
Déterminez les solutions réelles de l'équation x2 + x + 1 = 0.
Exercice 14
Exercice 35 page 49 manuel hachette déclic 2015 : résolution d'une équation du second
degré.
Exercice 15
Exercice 58 page 51 manuel hachette déclic 2015 : recherche graphique du signe du
discriminant, des racines et du signe.
-5
Étude du signe d'un trinôme.
Le signe du trinôme peut s'obtenir en cherchant les racines et en construisant
un tableau de de variation.
L'observation géométrique sur geogebra (en ligne ou en téléchargement) fait
apparaître une règle générale.
Nous retiendrons la formule mnémotechnique suivante : un trinôme est du signe
de son coecient dominant sauf entre les éventuelles racines.
Exercice 16
Dressez le tableau de signe de la fonction f dénie sur [−10; 10] par f (x) = −2(x −
2)(x + 3) pour tout x ∈ [−10; 10].
Exercice 17
Dressez le tableau de signe de la fonction g dénie sur [−5; 3] par g(x) = x2 + x − 2
pour tout x ∈ [−5; 3].
Exercice 18
Construisez le tableau de signe de la fonction h trinôme dénie pour tout x ∈ [−2; 2]
par h(x) = −x2 + 4x − 3.
Exercice 19
Résolvez l'inéquation 2x2 − 220x + 2000 > 0 dans R.
IV
Exercices.
Exercice 20
Exercice 112 page 56 manuel hachette déclic 2015 : fonction bénéce, signe et variation.
Exercice 21
Exercice 114 page 56 manuel hachette déclic 2015 : fonction bénéce, signe et variation.
Exercice 22
Exercice 127 page 59 manuel hachette déclic 2015 : coût marginal.
Exercice 23
Exercice 90 page 54 manuel hachette déclic 2015.
Exercice 24
Rédigez un algorithme sur la Ti82 qui, à partir de la forme développée du trinôme,
renvoie le discriminant et les éventuelles racines du trinôme.
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