af - fonctions lipschitziennes

AF - FONCTIONS LIPSCHITZIENNES
Définitions Soit (M, d)et (M′, d′)deux espaces métriques. Si kest un réel positif, on appelle
application lipschitzienne de rapport k, une application de Mdans M′qui est telle que, pour tout
couple (x, y)de M2, on ait
d′(f(x), f(y)) ≤k d(x, y).
On notera Lipk(M, M ′)l’ensemble des applications lipschitziennes de rapport kde Mdans M′, et
Lip(M, M ′)la réunion de ces ensembles lorsque kdécrit R+.
On appellera fonction lipschitzienne un élément de cet espace.
Si fest lipschitzienne, on posera
D(f) = sup
x6=y
d′(f(x), f(y))
f(x, y)= inf{k∈R+| ∀(x, y)∈M2, d′(f(x), f(y)) ≤k d(x, y)}.
Par définition de fle nombre D(f)est fini et c’est le plus petit réel ktel que fsoit dans Lipk(M, M ′).
Propriétés élémentaires
1) Si fest dans Lip(M, M′), elle est uniformément continue sur M.
2) L’ensemble Lipk(M, M′)est une famille de fonctions uniformément équicontinues sur M.
3) Si k≤k′, l’ensemble Lipk(M, M′)est inclus dans Lipk′(M, M′).
4) L’ensemble Lip(M, M ′)est la réunion des ensembles Lipkn(M, M′), où (kn)est une suite crois-
sante de réels positifs de limite +∞.
5) Si Best une partie bornée de M, la famille {f(B)|f∈Lipk(M, M′)}est uniformément bornée
dans M′, et l’on a, pour tout fde Lipk(M, M′)
diam(f(B)) ≤kdiam(B).
6 ) Si fest dans Lip(M, M′)et gdans Lip(M′, M′′), alors g◦fest dans Lip(M, M′′), et
D(f◦g)≤D(f)D(g).
7) Une fonction fest constante sur Msi et seulement si fest lipschitzienne et D(f)est nul.
1) et 2) Soit flipschitzienne de rapport k > 0. Soit ε > 0, si
d(x, y)<ε
k
alors
d′(f(x), f(y)) < ε ,

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et donc fest uniformément continue sur M, et l’ensemble Lipk(M, M ′)est une famille de fonctions
uniformément équicontinues sur M.
3) Si k≤k′, et si fest dans Lipk(M, M ′), on a, quels que soient (x, y)dans M2,
d′(f(x), f(y)) ≤kd(x, y)≤k′d(x, y)
et fest aussi dans Lipk′(M, M′).
4) Si fest dans Lipk(M, M′), il existe kntel que kn≥k, alors, fest dans Lipkn(M, M′), donc dans la
réunion de ces ensembles. On en déduit l’inclusion
[
k∈R+
Lipk(M, M′)⊂[
n∈N
Lipkn(M, M′),
et comme l’inclusion inverse est toujours vraie, on a égalité.
5) Fixons ydans B, et soit fdans Lipk(M, M′). Soit zdans f(B). Il existe xdans Btel que
f(x) = z .
Alors
d′(f(x), f(y)) ≤kd(x, y)≤kdiam(B),
et le membre de droite ne dépend pas de f. Donc la famille {f(B)|f∈Lipk(M, M′)}est uniformément
bornée dans M′. De plus, comme kdiam(B)majore toutes les distances entre deux éléments de f(B),
on obtient
diam(f(B)) ≤kdiam(B).
6) Si fest dans Lip(M, M′)et gdans Lip(M′, M′′), alors
d′′(g◦f(x), g ◦f(y)) ≤D(g)d′(f(x), f (y)) ≤D(g)D(f)d(x, y).
Alors g◦fest dans Lip(M, M′)et
D(f◦g)≤D(f)D(g).
7) Si fest constante, on a, quels que soient (x, y)dans M2, et kréel positif,
d′(f(x), f(y)) = 0 ≤k d(x, y)
et il en résulte que D(f)est nul.
Réciproquement, si D(f)est nul, alors, quels que soient (x, y)dans M2,
d′(f(x), f(y)) ≤0 = D(f)d(x, y),
et donc
f(x) = f(y).
Il en résulte que fest constante.

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Propriétés supplémentaires Supposons maintenant que (M′, d)soit un espace vectoriel normé
Esur le corps Kégal à Rou C.
1) L’ensemble Lip(M, E)est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions uniformément conti-
nues sur Mà valeurs dans E.
2) L’application Dest une semi-norme sur Lip(M, E).
3) Pour tout réel positif k, l’ensemble Lipk(M, E)est une partie convexe de Lip(M, E).
4) Si fet gsont deux fonctions bornées de Lip(M, E), alors fg appartient à Lip(M, E).
1) et 2). Soit fet gdans Lip(M, E). On a, quels que soient (x, y)dans M2,
k(f+g)(x)−(f+g)(y)k ≤ kf(x)−f(y)k+kg(x)−g(y)k ≤ D(f)d(x, y) + D(g)d(x, y).
Donc f+gest dans Lip(M, E)et
D(f+g)≤D(f) + D(g).
Si λest dans K, on a aussi, quel que soit (x, y)dans M2,
k(λf)(x)−(λf)(y)k=|λ| kf(x)−f(y)k ≤ |λ|D(d)d(x, y).
Donc λf est dans Lip(M, E)et
D(λf)≤ |λ|D(f).
Si λest nul, on a
D(λf) = |λ|D(f) = 0 .
Si λn’est pas nul,
D(f) = D1
λ(λf)≤1 |λ|D(λf),
ce qui donne
|λ|D(f)≤D(λf).
Finalement, on a bien
D(λf) = |λ|D(f).
Donc Dest une semi-norme sur Lip(M, E). Et on a vu que D(f)est nulle si et seulement si fest
constante. Ce n’est donc pas une norme.
3) Soit λdans [ 0,1 ] . Alors, si fet gsont dans Lipk(M, E), on a
D(λf + (1 −λ)g)≤ |λ|D(f) + (1 −λ)D(g)≤ |λ|k+ (1 −λ)k=k .
Donc λf + (1 −λ)gappartient à Lipk(M, E)qui est bien convexe.
4) On a
k(fg)(x)−(fg)(y)k ≤ kf(x)k kg(x)−g(y)k+kg(y)k kf(x)−f(y)k.
Donc
k(fg)(x)−(fg)(y)k ≤ (kfk∞D(g) + kgk∞D(f))d(x, y).

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Normes sur Lip(M, E)
Proposition 1 Soit fdans Lip(M, E), et x0,y0dans M. On pose
kfkLip =kf(x0)k+D(f) et kfk′
Lip =kf(y0)k+D(f).
Alors
i) On définit ainsi deux normes équivalentes sur Lip(M, E).
ii) L’application Dest continue de Lip(M, E)muni d’une de ces normes dans R.
iii) L’ensemble Lipk(M, E)est une partie convexe fermée de Lip(M, E).
i) Tout d’abord, pour tout xde Mon a
kf(x)k ≤ kf(x0)k+kf(x)−f(x0)k ≤ kf(x0)k+D(f)d(x, x0),
et donc
(1) kf(x)k ≤ (1 + d(x, x0))kfkLip .
Alors
kf(y0)k ≤ (1 + d(y0, x0))kfkLip .
et l’on en déduit
kfk′
Lip ≤(2 + d(y0, x0))kfkLip .
Puis, en permutant les rôles de x0et y0,
kfkLip ≤(2 + d(y0, x0))kfk′
Lip .
Alors, en posant
A= 2 + d(y0, x0)
on obtient immédiatement 1
AkfkLip ≤ kfk′
Lip ≤AkfkLip ,
ce qui montre que les deux normes sont équivalentes.
ii) Puisque
|D(f)−D(g)| ≤ D(f−g)≤ kf−gkLip ,
la continuité de Den résulte.
iii) Alors
Lipk(M, E) = D−1( [ 0, k ] )
est un ensemble fermé.

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Proposition 2
i) La convergence au sens de la norme Lip entraîne la convergence uniforme sur les compacts de M.
ii) Si Mest compact, pour tout fde Lip(M, E), posons
N(f) = kfk∞+D(f).
On obtient une norme sur Lip(M, E)équivalente à la norme Lip.
i) Soit Kun compact de M. Il résulte de la formule (1) que
sup
x∈K
kf(x)k ≤ (1 + sup
x∈K
d(x, x0))kfkLip ≤(1 + diam M)kfkLip .
Donc la convergence au sens de la norme Lip entraîne la convergence uniforme sur K.
ii) L’application Nest la somme d’une norme et d’une semi-norme. C’est donc une norme.
Si Mest compact, la fonction fatteint son maximum en un point y, alors
N(f) = kf(y)k+D(f)≤(2 + d(x0, y))kfkLip ≤(2 + diam M)kfkLip .
Comme d’autre part
kfkLip ≤N(f),
on a bien l’équivalence des deux normes.
Remarque : la convergence uniforme n’entraîne pas la convergence pour la norme Lip comme le
montre l’exemple suivant.
Soit M=R+. Prenons x0= 0. Pour xpositif, on pose
fn(x) = inf(nx, 1/n).
On a de manière évidente
kfnk∞=1
n,
par contre
kfnkLip =D(fn) = n .
La suite fnconverge uniformément vers 0 pour la norme infinie, mais pas pour la norme Lip.
Théorème 1 Si Eest un espace de Banach, l’espace Lip(M, E)est complet pour la norme Lip.
Soit (fn)une suite de Cauchy de Lip(M, E). D’après la formule (1), on a
kfn(x)−fm(x)k ≤ (d(x, x0) + 1)kfn−fmkLip .