I. Diviseurs communs à deux entiers Rappel : 18 = 6 x 3 . On

PGCD
I. Diviseurs communs à deux entiers
Rappel : 18 = 6 x 3 . On dit que 6 et 3 sont des diviseurs de 18
et que 18 est un multiple de 3 et de 6
On a 18 = 1 x 18 = 2 x 9 = 3 x 6
Donc tous les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18
Critères de divisibilité
Un nombre est divisible :
• par 2 s'il se termine par 0,2,4,6 ou 8
• par 5 s'il se termine par 0 ou 5
• par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
• par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
• par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4
Exemple : Donner tous les diviseurs de 210
1; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10 ; 14 ;
15 ; 21 ; 30 ; 35 ; 42 ; 70 ; 105 ; 210
Définition : Un diviseur commun à deux nombres a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b
Exemple : Les diviseurs communs à 18 et 420 sont 1 ; 2 ; 3 ; 6
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b
Définition : Parmi tous les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres. On
l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur noté PGCD et on le note PGCD(a;b)
Ainsi PGCD(18;420)=6
Exemple 1 : Trouver le PGCD(56;72)
Diviseurs de 56 : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56
Diviseurs de 72 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72
Donc PGCD(56;72)=8
Exemple 2 : Trouver le PGCD(21;25)
Diviseurs de 21 : 1 ; 3 ; 7 ; 21
Diviseurs de 25 : 1 ; 5 ; 25
Donc PGCD(21;25)=1
Propriété : PGCD(a;a)=a
PGCD(a;b)=PGCD(b;a)
Remarque : Lorsqu'il s'agit de « petits nombres », on peut faire la liste des diviseurs pour trouver le PGCD,
mais pour des nombres plus grands, on utilisera un autre procédé.
II.Calcul du PGCD
Méthode 1 : Soustractions successives
Propriété : (admise) a et b sont des nombres entiers tel que a > b. on a PGCD(a;b)=PGCD(b;a-b)
Exemple : Calcul du PGCD(294;70)
294>70
294-70=224
224>70
224-70=154
154>70
154-70=8'
84>70
84-70=14
70>14
70-14=56
56>14
56-14=42
42>14
28>14
42-14=28
28-14=14
14-14=0
Donc PGCD(294;70)=14
dernière différence non nulle
Méthode 2 : Algorithme d'Euclide (divisions successives)
Propriété :(admise) Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (a>b) alors
PGCD(a;b)=PGCD(b;r)
Exemple : Calcul du PGCD(741;198)
Dividende Diviseur reste
741
198
147
198
147
51
147
51
45
51
45
6
45
6
3
6
3
0
Dernier reste non nul
Donc PGCD(741;198)=3
III.Fractions irréductibles
Définition : Lorsque PGCD(a;b)=1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemple : PGCD(21;25) = 1 et PGCD(56;72) = 8
Calculatrice : Casio : touche seconde touche CALC
TI : touche maths touche 1
21 et 25 sont premiers entre eux mais 56 et 72 ne sont pas premiers entre eux
Définition : Une fraction
Exemple 1 :
Exemple 2 :
a
b
est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux
7
est irréductible car PGCD(7;11)=1
11
12
n'est pas irréductible car PGCD(12;16) = 4 donc on peut diviser par 4 le numérateur et le
16
dénominateur
Propriété : Pour rendre irréductible une fraction
a
b
en une seule simplification, on calcule le
PGCD(a;b) puis on divise le numérateur et le dénominateur par ce PGCD.
Exemple : Simplifier la fraction
357
561
Calcul du PGCD(357;561)
a
b
r
561
357
204
357
204
153
204
153
51
153
51
0
Donc :
357 357÷51 7
=
=
561 561÷51 11
Ce qu’il faut connaître et savoir faire à la fin du chapitre 1
Ce qu’il faut connaître
1. Le vocabulaire : diviseur, multiple, diviseur commun, PGCD, fraction
irréductible
2. Les critères de divisibilité par 2 ; par 5 ; par 3 ; par 9 ; par 4
Ce qu’il faut savoir faire
1. Calculer le PGCD de deux nombres avec les soustractions
successives et/ou l'algorithme d'Euclide
2. Simplifier une fraction pour la rendre irréductible