I. Diviseurs communs à deux entiers
Rappel : 18 = 6 x 3 . On dit que 6 et 3 sont des diviseurs de 18
et que 18 est un multiple de 3 et de 6
On a 18 = 1 x 18 = 2 x 9 = 3 x 6
Donc tous les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18
Critères de divisibilité
Un nombre est divisible :
•par 2 s'il se termine par 0,2,4,6 ou 8
•par 5 s'il se termine par 0 ou 5
•par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
•par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
•par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4
Exemple : Donner tous les diviseurs de 210
1; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10 ; 14 ;
15 ; 21 ; 30 ; 35 ; 42 ; 70 ; 105 ; 210
Définition : Un diviseur commun à deux nombres a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b
Exemple : Les diviseurs communs à 18 et 420 sont 1 ; 2 ; 3 ; 6
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b
Définition : Parmi tous les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres. On
l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur noté PGCD et on le note PGCD(a;b)
Ainsi PGCD(18;420)=6
Exemple 1 : Trouver le PGCD(56;72)
Diviseurs de 56 : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56
Diviseurs de 72 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72
Donc PGCD(56;72)=8
Exemple 2 : Trouver le PGCD(21;25)
Diviseurs de 21 : 1 ; 3 ; 7 ; 21
Diviseurs de 25 : 1 ; 5 ; 25
Donc PGCD(21;25)=1
Propriété : PGCD(a;a)=a
PGCD(a;b)=PGCD(b;a)
Remarque : Lorsqu'il s'agit de « petits nombres », on peut faire la liste des diviseurs pour trouver le PGCD,
mais pour des nombres plus grands, on utilisera un autre procédé.
II.Calcul du PGCD
Méthode 1 : Soustractions successives
Propriété : (admise) a et b sont des nombres entiers tel que a > b. on a PGCD(a;b)=PGCD(b;a-b)
Exemple : Calcul du PGCD(294;70)
294>70 294-70=224
224>70 224-70=154
154>70 154-70=8'
84>70 84-70=14
70>14 70-14=56
56>14 56-14=42