Parimaths - Mathematical Olympiads Club Nombres p

Parimaths - Mathematical Olympiads Club
Nombres p-adiques et nombres réels
Séance du samedi 1er mars 2014
La séance d’aujourd’hui a pour but d’étudier deux extensions des nombres rationnels : les célèbres
nombres réels, et les moins célèbres nombres p-adiques.
1 Les nombres réels
1.1 Écriture décimale
Exercice 1
Montrer que les nombres décimaux sont les nombres rationnels de la forme p
q, où qest un entier
n’ayant aucun facteur premier distinct de 2et 5.
Exercice 2
Montrer que les nombres rationnels sont les nombres dont le développement décimal est pério-
dique à partir d’un certain point.
Exercice 3
Y a-t-il une différence entre les réels 1et 0,99999 . . . ?
Exercice 4
Montrer que tout nombre réel admet un unique développement décimal ne se terminant pas par
une infinité de 9.
Exercice 5
Soit a,bdeux nombres réels de développement décimaux a= 0, a1a2. . . et b= 0, b1b2. . .. On
note C(n)= 0, C(n)
1C(n) 2. . . C(n) 2nle produit des nombres décimaux A(n)= 0, a1a2. . . anet B(n)=
0, b1b2. . . bn.
Montrer, pour tout entier n≥1, que la suite de chiffres C(n)
n, C(n+1) n, . . . admet une limite (que
l’on notera C(∞)
n). Montrer ensuite que 0, C(∞)
1C(∞) 2. . . est un développement décimal du produit
c=a×b.
1.2 Écriture en base b
Exercice 6
Soit b≥2un entier. Montrer que tout entier admet une unique écriture en base b.
Exercice 7
Reprendre les exercices ci-dessus en parlant d’écriture en base bplutôt que d’écriture décimale.
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2 Les nombres 10-adiques
2.1 Découverte d’un monde étrange
Exercice 8
Quelle est la différence entre les entiers −1et . . . 999 ?
Exercice 9
Soit a,bdeux entiers 10-adiques de développements 10-adiques a=. . . a2a1a0et b=. . . b2b1b0.
Montrer que le produit c=a×best bien en entier 10-adique, dont le développement 10-adique
c=. . . c2c1c0est tel que cncn−1. . . c0≡anan−1. . . a0×bnbn−1. . . b0(mod 10n+1).
Exercice 10
Soit pun nombre premier. Montrer que le rationnel 1
padmet un unique développement 10-adique.
Exercice 11
Montrer que tout rationnel admet un unique développement 10-adique.
Exercice 12
Montrer qu’un nombre 10-adique est rationnel si et seulement si son développement 10-adique
est périodique à partir d’un certain point.
Exercice 13
Montrer qu’il existe deux nombres 10-adiques non nuls dont le produit est nul.
2.2 Les p-adiques
Exercice 14
Reprendre les exercices ci-dessus en s’intéressant aux nombres p-adiques, où pest un nombre
premier.
3 Réels et 3-adiques, même combat ?
Exercice 15
Montrer que nul nombre 3-adique n’est une racine carrée de 2.
Exercice 16
Montrer qu’il existe exactement deux nombres 3-adiques qui sont des racines carrées de −2.
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