Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Règles d’utilisation d’un arbre pondéré (2nde)
Exercice 1
Une fourmi se déplace de sommet en sommet, en sui-
vant les arêtes, sur le cube ABCDEF GH représenté
ci-dessous.
À chaque étape, elle se déplace de manière aléatoire
sans jamais retourner sur ses pas.
La fourmi se trouve en A, quelle est la probabilité
qu’en trois étapes elle se retrouve, au sommet opposé
G?
A B
E F
CD
GH
Exercice 2
Une partie du jeu du lièvre et de la tortue se déroule
de la manière suivante :
On lance un dé équilibré à six faces numérotées.
•Si le dé ne tombe pas sur 6, la tortue avance
d’une case.
Si elle avance de quatre cases, la tortue atteint l’ar-
rivée et gagne la partie.
•Si le dé tombe sur 6alors le lièvre atteint directe-
ment l’arrivée. La partie est alors terminée, le lièvre
a gagné.
Utiliser un arbre de probabilités pour déterminer la
probabilité de l’événement « La tortue gagne. ».
Exercice 3
Dans cet exercice, les probabilités seront données sous
forme de fractions irréductibles.
Une urne contient dix boules, quatre vertes et six
bleues, indiscernables au toucher.
Un joueur tire, avec remise, deux boules de l’urne et
examine leurs couleurs.
1. a) Schématiser l’expérience aléatoire à l’aide d’un
arbre pondéré.
b) Calculer la probabilité de l’événement A: « Les
deux boules choisies sont vertes. ».
c) Calculer la probabilité de l’événement B: « Une
seule des deux boules choisies est verte. ».
2. Reprendre la question 1dans le cas de tirages sans
remise.
Exercice 4
Luc s’entraîne à un jeu électronique. Il arrive à l’entrée
Ad’un labyrinthe (figure ci-dessous) où les doubles
flèches représentent des portes s’ouvrant dans les deux
sens :
⇐⇒
⇐⇒ ⇐⇒
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
F G H
D E
B A C
Son parcours est régi par les règles suivantes :
•Il passe au hasard d’une salle à une autre, chaque
porte possible étant équiprobable.
•Dès qu’il franchit une porte, elle se referme derrière
lui, l’empêchant ainsi de la franchir à nouveau.
•La sortie est G. Il gagne la partie dès qu’il arrive en
G.
•S’il franchit trois portes, l’entrée Aet la sortie G
exclues, toutes les portes se ferment et la partie est
terminée.
Luc décide de jouer une partie.
1. Construire l’arbre pondéré des huit trajets pos-
sibles.
2. Justifier que la probabilité du trajet A−C−E−H
est égale à 1
6.
3. Déterminer la probabilité que Luc remporte la par-
tie.
Loi binomiale (1ere)
Exercice 5
Un supermarché délivre, à chaque passage en caisse,
une carte à gratter. La probabilité de découvrir le mes-
sage « Gagné ! » en grattant une carte est 0,1.
On nomme Xla variable aléatoire comptant le nombre
de messages « Gagné ! » après trois passages en caisse.
Déterminer la loi de probabilité puis l’espérance de X.
Exercice 6
On lance quatre fois de suite un dé équilibré à six faces
numérotées de 1à6.
Soit Nla variable aléatoire définie par le nombre de
fois où le six est apparu lors des quatre lancers.
Déterminer la loi de probabilité de Npuis calculer son
espérance.
Exercice 7
Un dé octaédrique (dé à huit faces) non truqué a cinq
faces bleues et trois faces vertes.
1. On lance ce dé une fois. Quelle est la probabilité
d’avoir une face supérieure verte ?

2. Dans cette question, les probabilités seront expri-
mées sous forme décimale, arrondies au millième.
On répète cette épreuve trois fois de suite.
Calculer la probabilité qu’une face verte :
a) apparaisse exactement une fois ?
b) apparaisse au plus une fois ?
c) apparaisse au moins une fois ?
Exercice 8
On lance cinq fois de suite une pièce équilibrée.
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux
fois « pile » ?
Exercice 9
Un questionnaire à choix multiple comporte huit ques-
tions offrant chacune trois réponses possibles dont une
seule est exacte.
On répond au hasard aux huit questions.
Déterminer, à 10−4près, la probabilité :
1. de répondre correctement à toutes les questions ;
2. de commettre exactement une erreur ;
3. de commettre au moins une erreur ;
4. de commettre au plus une erreur.
Exercice 10
On tire successivement cinq cartes avec remise dans un
jeu de trente-deux et on note Xla variable aléatoire
égale au nombre d’as obtenus.
Déterminer la loi de Xpuis son espérance.
Exercice 11
Une usine fabrique des objets dont 2 % possèdent des
défauts.
On prélève un échantillon de cinquante objets.
Quelle est la probabilité qu’au plus trois d’entre eux
soient défectueux ?
Exercice 12
Une urne contient dix boules indiscernables au toucher
dont sept sont de couleur jaune et les trois autres de
couleur rouge.
On tire successivement et avec remise quatre boules
du sac et on nomme Rla variable aléatoire égale au
nombre de boules rouges tirées.
1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire R?
2. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux
boules rouges.
3. Calculer P(R61) et interpréter le résultat obtenu.
4. Déterminer la probabilité de l’événement A: « Ob-
tenir au moins deux boules rouges. ».
Exercice 13
Lors d’une fête foraine, Luc lance six fois de suite une
fléchette sur une cible, les lancers étant indépendants.
Il s’entraîne régulièrement chez lui et sait, qu’à chaque
lancer, sa probabilité d’atteindre le centre de la cible
est égale à 80 %.
Calculer la probabilité que Luc en réussisse :
1. exactement trois ;
2. au moins cinq ;
3. au plus quatre ;
4. au moins un.
Exercice 14
Dans cet exercice, les probabilités seront données sous
forme décimale, arrondies à 10−3près.
Dans une entreprise spécialisée dans la fabrication en
série d’un article, un contrôle de qualité a montré
qu’un article produit par cette entreprise était défec-
tueux avec une probabilité égale à 0,05.
Une grande surface reçoit 800 articles en provenance
de cette entreprise.
Soit Xla variable aléatoire qui, à cette livraison, as-
socie le nombre d’articles défectueux. Le nombre d’ar-
ticles est suffisamment grand pour que l’on puisse as-
similer cette épreuve à un tirage avec remise.
1. Définir la loi suivie par la variable aléatoire X.
2. Calculer la probabilité que le nombre d’articles dé-
fectueux soit inférieur ou égal à 40.
3. Calculer P(X>45) puis P(30 6X650).
4. Calculer l’espérance de Xet interpréter le résultat.
Exercice 15
Dans cet exercice, les probabilités seront données sous
forme décimale, au besoin arrondies à 10−3près.
Un sac contient 3boules bleues et 7boules rouges,
toutes indiscernables au toucher.
On tire successivement et avec remise plusieurs boules
du sac et on note Rla variable aléatoire égale au
nombre de boules rouges tirées.
1. Dans cette question, on procède à trois tirages.
a) Schématiser cette expérience aléatoire à l’aide
d’un arbre pondéré.
b) Déterminer, à l’aide de l’arbre réalisé, la proba-
bilité de l’événement (R= 1).
c) Calculer la probabilité d’obtenir au moins une
boule rouge.
2. Dans cette question, on procède à neuf tirages.
a) Indiquer, sans justifier, la loi suivie par la va-
riable aléatoire R.
b) En déduire la probabilité de l’événement (R=
6). On précisera sur la copie le calcul effectué.
Dans les questions 2c et 2d, les réponses seront
obtenues à l’aide de la calculatrice et aucune justi-
fication n’est demandée à ce sujet.
c) Calculer la probabilité d’obtenir au plus six
boules rouges.
d) Calculer la probabilité d’obtenir au moins huit
boules rouges.