Probabilités. Probabilités conditionnelles et indépendance. I

Probabilités. Probabilités conditionnelles et indépendance.
I Probabilités
Soit Ωun ensemble représentant les versions possibles du hasard lors d’une expérience aléatoire.
Une probabilité associe à un événement un nombre positif censé représenter les chances que cet événement
se produise. C’est donc une fonction P:P(Ω) →IR+.
On va demander que soient satisfaites deux conditions :
– Normalisation : l’événement certain Ωaura par convention une probabilité égale à 1 (cette normalisation
vient de l’habitude d’estimer les chances en pourcentage : 100 % de chance est interprété comme la certi-
tude)
– Si un événement Aest composé de deux événements Bet Cdisjoints (c’est à dire A=B∪Cet B∩C=∅),
les chances que Ase produise sont la résultante de celles d’obtenir Bet d’obtenir C. Autrement dit,
P(A) = P(B) + P(C).
D’où la définition,
Définition 1 Une probabilité sur Ωest une fonction P:P(Ω) →IR+telle que
–P(Ω) = 1
– Si Bet Csont deux événements tels que B∩C=∅, alors P(B∪C) = P(B) + P(C).
Le couple (Ω, P )est dit un espace de probabilités.
Quand Aest un événement, l’événement contraire Ω−Aest noté Ac.
On a alors
Proposition 1
–P(Ac)=1−P(A). En particulier, P(∅)=0.
– Si A⊂B, P (A)≤P(B)
– pour tout A∈ P(Ω),0≤P(A)≤1
– Si A1, A2, . . . , Ansont névénements disjoints deux à deux (c’est-à-dire que Ai∩Aj=∅pour tous iet j
distincts), on a
P(
n
[
k=1
Ak) =
n
X
k=1
P(Ak)
Cas particulier : quand Ωest un ensemble fini Ω = {ω1, . . . , ωn}.
Soit Pune probabilité sur Ω. Posant pi=P({ωi}), on a nnombres compris entre 0 et 1 tels que
n
X
i=1
pi=
P(Ω) = 1.
Réciproquement, soient p1, . . . , pn,nnombres dans [0,1] tels que
n
X
i=1
pi=P(Ω) = 1. Soit A∈ P(Ω),
A={ωi1, . . . , ωip}. On définit une probabilité en posant pour A={ωi1, . . . , ωip}, Q(A) =
p
X
k=1
pik.
On a donc : dans le cas où Ω = {ω1, . . . , ωn}est fini, toute probabilité Pest définie par la donnée des
nombres positifs p1, p2, . . . , pntels que
n
X
i=1
pi= 1 où pi=P({ωi}).
Exemple important : p1=p2=. . . =pn=1
n=1
|Ω|.
1

On a alors P(A) = |A|
|Ω|et on parle de la probabilité uniforme sur Ωpour laquelle la probabilité d’un
événement vaut le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas total.
Cette probabilité est en général choisie en vertu du principe de raison insuffisante, si on n’a pas de raison
spécifique de supposer qu’on a une dyssimétrie entre les différentes versions du hasard.
II Probabilités conditionnelles et indépendance
Soient Aet Bdeux événements. On cherche à mesurer l’influence que Ba sur A. Si on suppose que Bse
produit, l’événement qui exprime que Ase produit aussi est A∩B. Donc l’influence que Ba sur Aest reliée
est P(A∩B). Par normalisation, on obtient la définition suivante :
Définition 2 Si P(B)6= 0, on définit la probabilité de Asachant (que) B(se produit) - ou probabilité
conditionnelle de Asachant B- par
P(A/B) = P(A∩B)
P(B).
Proposition 2 A7→ P(A/B)définit une probabilité sur Ωet en a donc toutes les propriétés.
En particulier, exprimer que Bn’a pas d’influence sur Ase traduit par P(A/B) = P(A)c’est à dire P(A∩
B) = P(A)P(B). Cette relation garde un sens même si P(B)=0. D’où :
Définition 3 On dit que Aet Bsont indépendants si P(A∩B) = P(A)P(B).
!4!4!4Il faut bien faire la distinction entre l’ indépendance et la disjonction. Deux événements disjoints
sont en général dépendants puisque si A∩B=∅, savoir que Bse produit apporte une information capitale sur
Aqui ne peut pas alors se produire.
Dans le cas où on a affaire à plusieurs événements A1, A2, . . . , Anles choses sont un peu plus compliquées
car il faut tenir compte du fait que supposer que certains événements arrivent simultanément apporte de l’infor-
mation. On a alors la définition suivante, moche mais nécessaire
Définition II.1 On dit que les événements A1, A2, . . . , Ansont indépendants (dans leur ensemble) si quel que
soit le choix des indices distincts 1≤i1, i2, . . . , ik≤n, on a
P(
k
\
r=1
Air) =
k
Y
r=1
P(Air).
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